Calculadora de potencia complexa
(1 + i)² é 2i: informe as partes real e imaginária e um expoente inteiro e obtenha a potência na forma a + bi com o módulo e o ângulo que a geram, sem multiplicações longas. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- Parte real
- 1
- Parte imaginária
- 1
- N
- 2
- Módulo
- 1,4142135624
- Argumento
- 0,7853981634
- Resultado (parte real)
- 0
- Resultado (parte imaginária)
- 2
Elevar um número complexo a uma potência inteira é tarefa padrão em álgebra, trigonometria e trabalho com fasores de engenharia. Escrever (a+bi)^n por multiplicação repetida fica lento e propenso a erros quando o expoente cresce, e a expansão binomial à mão é trabalhosa. O teorema de De Moivre converte a base à forma polar, multiplica o argumento por n, eleva o módulo a n e volta às coordenadas retangulares num número fixo de passos. Esta calculadora de potência de número complexo aceita as partes real e imaginária de z e um expoente inteiro n, aplica De Moivre de forma determinística e devolve o resultado retangular mais o módulo e o argumento intermediários para que estudantes, tutores e scripts de automação verifiquem cada passo. A base zero é tratada com cuidado: potências positivas produzem zero, enquanto 0^0 e potências negativas de zero falham como entrada inválida.
Teorema de De Moivre e o caminho polar até z^n
Qualquer número complexo não nulo z igual a a mais b vezes i pode ser escrito na forma polar como z igual a r vezes a soma de cos theta e i sin theta, em que r é o módulo raiz de a ao quadrado mais b ao quadrado e theta é o argumento principal dado por atan2 de b e a.
O teorema de De Moivre afirma que, para todo inteiro n, a potência z à n é igual a r à n vezes cos de n theta mais i sin de n theta. Essa identidade é todo o algoritmo: calcule r e theta uma vez, escale o raio pela potência e o ângulo pelo expoente e expanda com cosseno e seno para recuperar as partes retangulares. Um n positivo estica ou encolhe o vetor e o gira n vezes em torno da origem.
Um n negativo é a potência recíproca: r vira um sobre r ao valor absoluto de n e o ângulo inverte o sinal, exatamente o que você precisa para 1 sobre z à k. O expoente zero sempre devolve um mais zero i para qualquer base não nula, alinhado à identidade algébrica z à zero igual a um.
A capacidade devolve o módulo e o argumento intermediários ao lado do resultado retangular para que demonstrações em sala e testes unitários fixem tanto o intermediário polar quanto a string final a mais bi sem recalcular atan2 por conta própria.
Onde potências de complexos são úteis
Salas de aula e plataformas de tutoria usam uma calculadora de potência de número complexo para que quem estuda confira (a+bi)^n sem expandir binômios à mão nem perder um sinal na rotação. Geradores de preparação para exames precisam de um oráculo determinístico que trate 0^0 e potências negativas de zero como falhas rígidas em vez de NaN silenciosos que um corretor com bugs poderia aceitar.
Mantenha as requisições pequenas, fixe as partes retangulares arredondadas nos testes e você obtém potências reproduzíveis para tarefas, plugins de LMS e edge workers sem montar infraestrutura própria de matemática simbólica.
Casos de uso
Checagens em sala e lição de casa
Permita que os alunos enviem a, b e o inteiro n para (a+bi)^n e verifiquem os resultados retangulares contra os passos de De Moivre sem erros de multiplicação manual.
Correção automática em exames e LMS
Marque itens de potência complexa com um oráculo determinístico que rejeita 0^0 e zero a potência negativa como inválidos, sem inventar resposta retangular.
Cadernos de fasores e sinais
Eleve fasores de engenharia a+bi a potências inteiras de estágio em scripts sem importar uma biblioteca completa de álgebra computacional.
Perguntas frequentes
Como elevo um número complexo a uma potência inteira?
Envie números finitos real e imag para z=a+bi, mais o inteiro n.
O que é o teorema de De Moivre nesta calculadora?
Para z = r(cos θ + i sin θ) e inteiro n, z^n = r^n (cos(nθ) + i sin(nθ)).
n pode ser fração ou expoente complexo?
Não. Esta capacidade exige um inteiro finito n.
O que acontece com um expoente negativo?
Você obtém a potência recíproca: o módulo passa a ser um dividido por r elevado ao valor absoluto do expoente, e o ângulo gira no sentido contrário. É exatamente o que se precisa para 1 sobre z elevado a uma potência.
Quanto vale um número complexo elevado a 0?
Vale 1 para qualquer número diferente de zero, como na álgebra comum. Para o próprio zero, 0 elevado a 0 e as potências negativas são recusadas: a primeira não é definida e a segunda dividiria por zero.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-power \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"real":1,"imag":1,"n":2}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-power", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"real": 1,
"imag": 1,
"n": 2
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-power",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"real": 1,
"imag": 1,
"n": 2
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-power", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"real":1,"imag":1,"n":2}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"real":1,"imag":1,"n":2}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-power", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"real": 1,
"imag": 1,
"n": 2
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.complex_power",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Contrato de entrada, forma da resposta e casos extremos
O expoente n deve ser inteiro: potências fracionárias exigiriam raízes complexas multivaloradas, fora deste contrato univalorado de potência inteira de De Moivre, de modo que um n não inteiro é rejeitado. Exemplo: real um, imag um, n dois produz módulo raiz de dois, argumento pi sobre quatro e resultado retangular zero mais dois i, coincidindo com (1+i)^2 igual a 2i. Envie por POST um corpo JSON com três números finitos obrigatórios: real, a parte real a da base; imag, a parte imaginária b; e n, o expoente inteiro. Cada campo pode chegar como número JSON ou como string numérica; campos ausentes, strings vazias e valores não finitos falham com invalid_input nomeando o campo. Valores absolutos de n maiores que um milhão também são rejeitados para manter resultados finitos em ponto flutuante IEEE. Quando a base é o zero complexo, n maior que zero devolve result_real e result_imag ambos zero; n igual a zero falha porque zero à zero é indefinido; n menor que zero falha porque dividiria por zero. Em sucesso o corpo ecoa real, imag e n; informa o módulo r e o argumento theta em radianos; dá result_real e result_imag arredondados a doze casas decimais para goldens estáveis; inclui uma string de exibição retangular; e reafirma a fórmula de De Moivre. Validação falha não é cobrada; chamadas bem-sucedidas usam o preço base publicado US$ 0,002.
Onde uma API de potência complexa vale a pena
Cadernos de engenharia elétrica elevam fasores a potências inteiras ao modelar ganhos de estágio, polos de filtro ou passos de Fourier discretos; chamar uma pequena API de parse evita puxar um sistema completo de álgebra computacional por três coeficientes e um inteiro. Como a implementação é parse puro de tier A, cada chamada bem-sucedida custa US$ 0,002 sem tokens de modelo nem rede de saída.
Perguntas técnicas
O que acontece com 0^0 ou zero a uma potência negativa?
Ambos os casos falham com invalid_input. Zero a uma potência positiva devolve 0+0i. Bases não nulas com n=0 devolvem 1+0i.
Quanto custa a calculadora de potência de número complexo?
A ferramenta do navegador é gratuita. Requisições à API usam saldo pré-pago do KIT a US$ 0,002 por chamada bem-sucedida; entrada inválida não é cobrada.