Komplexzahl-Potenzrechner

Eine komplexe Zahl mit einer ganzen Zahl zu potenzieren ist Standard in Algebra, Trigonometrie und der Phasor-Arbeit in der Technik. (a+bi)^n durch wiederholte Multiplikation zu schreiben wird bei wachsendem Exponenten langsam und fehleranfällig; die binomische Entwicklung von Hand ist mühsam. Der Satz von De Moivre wandelt die Basis in Polarform um, multipliziert das Argument mit n, erhebt den Betrag zur n-ten Potenz und kehrt in einer festen Schrittzahl zu kartesischen Koordinaten zurück. Dieser Komplexzahl-Potenzrechner nimmt Real- und Imaginärteil von z sowie einen ganzzahligen Exponenten n entgegen, wendet De Moivre deterministisch an und liefert das kartesische Ergebnis plus Betrag und Argument dazwischen, damit Lernende, Tutoren und Automatisierungsskripte jeden Schritt prüfen können. Die Nullbasis wird sorgfältig behandelt: positive Potenzen ergeben null, während 0^0 und negative Potenzen von null als ungültige Eingabe scheitern.

De-Moivre-Satz und der Polarweg zu z^n

Jede nicht verschwindende komplexe Zahl z gleich a plus b mal i lässt sich in Polarform schreiben als z gleich r mal der Summe aus cos theta und i sin theta, wobei r der Betrag Wurzel aus a im Quadrat plus b im Quadrat ist und theta das Hauptargument aus atan2 von b und a. Der Satz von De Moivre besagt, dass für jede ganze Zahl n die Potenz z hoch n gleich r hoch n mal cos von n theta plus i sin von n theta ist.

Diese Identität ist der gesamte Algorithmus: berechnen Sie r und theta einmal, skalieren Sie den Radius mit der Potenz und den Winkel mit dem Exponenten und entwickeln Sie mit Kosinus und Sinus die kartesischen Anteile. Ein positives n streckt oder staucht den Vektor und dreht ihn n-mal um den Ursprung. Ein negatives n ist die reziproke Potenz: r wird eins über r zum Betrag von n und der Winkel wechselt das Vorzeichen — genau das, was Sie für 1 über z hoch k brauchen.

Der Exponent null liefert für jede nicht verschwindende Basis stets eins plus null i, passend zur algebraischen Identität z hoch null gleich eins. Die Fähigkeit gibt Betrag und Argument neben dem kartesischen Ergebnis zurück, damit Unterrichtsdemos und Unit-Tests sowohl das Polar-Zwischenprodukt als auch die endgültige a-plus-bi-Zeichenkette fixieren können, ohne atan2 selbst neu zu berechnen.

Unterrichtsräume und Tutorenplattformen nutzen einen Komplexzahl-Potenzrechner, damit Lernende (a+bi)^n prüfen können, ohne Binome von Hand auszumultiplizieren oder ein Vorzeichen in der Drehung zu verlieren. Prüfungsvorbereitungs-Generatoren brauchen ein deterministisches Orakel, das 0^0 und negative Potenzen von null als harte Fehler behandelt statt als stille NaN, die ein fehlerhafter Bewerter akzeptieren könnte. Halten Sie Anfragen klein, pinnen Sie die gerundeten kartesischen Teile in Tests, und Sie erhalten reproduzierbare Potenzen für Hausaufgaben, LMS-Plugins und Edge-Worker, ohne eigene symbolische Mathematik-Infrastruktur aufzubauen.