Potenza di un numero complesso
(1 + i)² fa 2i: inserisca le parti reale e immaginaria e un esponente intero, e ottenga la potenza in forma a + bi con il modulo e l'angolo usati, senza lunghe moltiplicazioni. Gratis nel suo browser.
- Gratis
- Funziona nel suo browser
- Senza registrazione
- I suoi dati restano sul dispositivo
Esegui gratis nel browser
Esempio risolto
- Parte reale
- 1
- Parte immaginaria
- 1
- N
- 2
- Modulo
- 1,4142135624
- Argomento
- 0,7853981634
- Risultato (parte reale)
- 0
- Risultato (parte immaginaria)
- 2
Elevare un numero complesso a una potenza intera è un compito standard in algebra, trigonometria e nel lavoro ingegneristico con i fasori. Scrivere (a+bi)^n per moltiplicazioni ripetute è lento e soggetto a errori quando l'esponente cresce, e lo sviluppo binomiale a mano è noioso. Il teorema di De Moivre converte la base in forma polare, moltiplica l'argomento per n, eleva il modulo a n e torna alle coordinate rettangolari in un numero fisso di passi. Questa calcolatrice di potenza di un numero complesso accetta le parti reale e immaginaria di z e un esponente intero n, applica De Moivre in modo deterministico e restituisce il risultato rettangolare più modulo e argomento intermedi affinché studenti, tutor e script di automazione possano verificare ogni passo. La base zero è gestita con cura: le potenze positive danno zero, mentre 0^0 e le potenze negative di zero falliscono come input non valido.
Teorema di De Moivre e il percorso polare verso z^n
Qualsiasi numero complesso non nullo z uguale ad a più b volte i può essere scritto in forma polare come z uguale a r volte la somma di cos theta e i sin theta, dove r è il modulo radice di a al quadrato più b al quadrato e theta è l'argomento principale dato da atan2 di b e a.
Il teorema di De Moivre afferma che per ogni intero n la potenza z alla n è uguale a r alla n volte cos di n theta più i sin di n theta. Quell'identità è l'intero algoritmo: calcoli r e theta una sola volta, scali il raggio con la potenza e l'angolo con l'esponente, poi espanda con coseno e seno per recuperare le parti rettangolari. Un n positivo allunga o contrae il vettore e lo ruota n volte attorno all'origine.
Un n negativo è la potenza reciproca: r diventa uno su r al valore assoluto di n e l'angolo inverte il segno, esattamente ciò che serve per 1 su z alla k. L'esponente zero restituisce sempre uno più zero i per ogni base non nulla, in linea con l'identità algebrica z alla zero uguale a uno.
La capacità restituisce modulo e argomento intermedi accanto al risultato rettangolare così che dimostrazioni in aula e test unitari possano fissare sia l'intermedio polare sia la stringa finale a più bi senza ricalcolare atan2 da soli.
Dove servono le potenze dei complessi
Aule e piattaforme di tutoraggio usano una calcolatrice di potenza di un numero complesso affinché chi impara possa controllare (a+bi)^n senza espandere binomiali a mano né perdere un segno nella rotazione. I generatori di preparazione agli esami necessitano di un oracolo deterministico che tratti 0^0 e le potenze negative di zero come fallimenti duri invece di NaN silenziosi che un correttore difettoso potrebbe accettare.
Mantenga le richieste piccole, fissi le parti rettangolari arrotondate nei test e otterrà potenze riproducibili per compiti, plugin LMS e edge worker senza montare una propria infrastruttura di matematica simbolica.
Casi d'uso
Controlli in aula e compiti a casa
Consenta agli studenti di inviare a, b e l'intero n per (a+bi)^n e di verificare i risultati rettangolari rispetto ai passi di De Moivre senza errori di moltiplicazione a mano.
Valutazione automatica esami e LMS
Corregga voci di potenza complessa con un oracolo deterministico che rifiuta 0^0 e zero a potenza negativa come non validi, senza inventare una risposta rettangolare.
Notebook di fasori e segnali
Elevi fasori ingegneristici a+bi a potenze intere di stadio negli script senza importare una libreria completa di algebra computazionale.
Domande frequenti
Come elevo un numero complesso a una potenza intera?
Invii numeri finiti real e imag per z=a+bi, più l'intero n.
Che cos'è il teorema di De Moivre in questa calcolatrice?
Per z = r(cos θ + i sin θ) e intero n, z^n = r^n (cos(nθ) + i sin(nθ)).
n può essere una frazione o un esponente complesso?
No. Questa capacità richiede un intero finito n.
Cosa succede con un esponente negativo?
Ottiene la potenza reciproca: il modulo diventa uno fratto r elevato al valore assoluto dell'esponente e l'angolo ruota nel verso opposto. È proprio ciò che serve per calcolare 1 fratto z elevato a una potenza.
Quanto vale un numero complesso elevato a 0?
Vale 1 per qualsiasi numero diverso da zero, come nell'algebra consueta. Per lo zero stesso, 0 elevato a 0 e le potenze negative vengono rifiutati: il primo non è definito e le seconde dividerebbero per zero.
Strumenti correlati
Per sviluppatori — accesso via API
Tutto quello che vedi in questa pagina è disponibile anche via API. Questa sezione è per i team che vogliono integrarlo nei propri sistemi; chi non ne ha bisogno può semplicemente usare lo strumento qui sopra.
Endpoint
Autenticazione con Bearer token: un POST mette in coda l'attività e il risultato arriva via webhook o link firmato.
Chiamala dal tuo stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-power \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"real":1,"imag":1,"n":2}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-power", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"real": 1,
"imag": 1,
"n": 2
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-power",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"real": 1,
"imag": 1,
"n": 2
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-power", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"real":1,"imag":1,"n":2}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"real":1,"imag":1,"n":2}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-power", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Esempio di richiesta
{
"real": 1,
"imag": 1,
"n": 2
}Esempio di risposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.complex_power",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L'API è asincrona: ricevi subito un task_id e puoi fare polling fino a 1 richiesta al secondo.
Prezzi
Prezzo pubblicato, senza token né crediti. Se l'attività fallisce, non paghi.
Errori
| HTTP | Codice | Significato |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Chiave API mancante o non valida: controlla l'header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Credito esaurito: ricarica per continuare a eseguire attività. |
404 | unknown_type | Tipo di attività sconosciuto: controlla il campo type della richiesta. |
429 | rate_limited | Troppe richieste in poco tempo: rallenta e riprova tra qualche secondo. |
Note tecniche
Contratto di ingresso, forma della risposta e casi limite
L'esponente n deve essere un intero: le potenze frazionarie richiederebbero radici complesse multivalore, fuori da questo contratto univalore di potenza intera di De Moivre, quindi un n non intero viene rifiutato. Esempio: real uno, imag uno, n due produce modulo radice di due, argomento pi su quattro e risultato rettangolare zero più due i, in accordo con (1+i)^2 uguale a 2i. Invii con POST un corpo JSON con tre numeri finiti obbligatori: real, la parte reale a della base; imag, la parte immaginaria b; e n, l'esponente intero. Ogni campo può arrivare come numero JSON o come stringa numerica; campi mancanti, stringhe vuote e valori non finiti falliscono con invalid_input indicando il campo. Anche i valori assoluti di n maggiori di un milione vengono rifiutati per mantenere risultati finiti in virgola mobile IEEE. Quando la base è lo zero complesso, n maggiore di zero restituisce result_real e result_imag entrambi zero; n uguale a zero fallisce perché zero alla zero non è definito; n minore di zero fallisce perché dividerebbe per zero. In caso di successo il corpo riecheggia real, imag e n; riporta il modulo r e l'argomento theta in radianti; fornisce result_real e result_imag arrotondati a dodici decimali per goldens stabili; include una stringa di visualizzazione rettangolare; e riafferma la formula di De Moivre. La validazione fallita non viene addebitata; le chiamate riuscite usano il prezzo base pubblicato $0.002.
Dove un'API di potenza complessa rende il servizio
I notebook di ingegneria elettrica elevano fasori a potenze intere modellando guadagni di stadio, poli di filtro o passi di Fourier discreti; chiamare una piccola API di parse evita di caricare un intero sistema di algebra computazionale per tre coefficienti e un intero. Poiché l'implementazione è parse puro di tier A, ogni chiamata riuscita costa $0.002 senza token di modello né rete in uscita.
Domande tecniche
Cosa succede per 0^0 o zero a una potenza negativa?
Entrambi i casi falliscono con invalid_input. Zero a una potenza positiva restituisce 0+0i. Basi non nulle con n=0 restituiscono 1+0i.
Quanto costa la calcolatrice di potenza di un numero complesso?
Lo strumento nel browser è gratuito. Le richieste API usano il saldo prepagato KIT a $0.002 per chiamata riuscita; l'input non valido non viene addebitato.