Dividere numeri complessi
(3 + 4i) diviso (1 + 2i) dà 2,2 − 0,4i. Inserisca la parte reale e quella immaginaria dei due numeri e ottenga le due parti del quoziente, calcolate con il coniugato del divisore; un divisore nullo viene rifiutato. Gratis nel suo browser.
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Esempio risolto
- Parte reale 1
- 3
- Parte immaginaria 1
- 4
- Parte reale 2
- 1
- Parte immaginaria 2
- 2
- Complesso 1
- 3+4i
- Complesso 2
- 1+2i
- Parte reale del quoziente
- 2,2
- Parte immaginaria del quoziente
- -0,4
Dividere un numero complesso per un altro è l'operazione in forma rettangolare (a più b i) su (c più d i). Il metodo algebrico moltiplica il dividendo per il coniugato del divisore e divide per il modulo al quadrato di quel divisore: la parte reale del quoziente è (a c più b d) su (c al quadrato più d al quadrato) e l'immaginaria è (b c meno a d) su (c al quadrato più d al quadrato). Gli studenti usano questa identità per semplificare frazioni di complessi, tornare dalla forma polare alle parti rettangolari o controllare i compiti senza un sistema di algebra computazionale. Gli ingegneri applicano la stessa identità a rapporti di impedenza, funzioni di trasferimento e quozienti di fasori. Questa calcolatrice per dividere numeri complessi accetta le parti reale e immaginaria di entrambi, rifiuta un divisore nullo e restituisce le parti reale e immaginaria del quoziente insieme a stringhe di visualizzazione compatte.
Che cosa significa dividere numeri complessi in algebra e in geometria
Un numero complesso vive nel piano con la parte reale sull'asse orizzontale e l'immaginaria sul verticale. Dividere z1 per z2 è moltiplicare per il reciproco di z2: in geometria si scalano le lunghezze di uno sul modulo di z2 e si ruota dell'opposto dell'argomento di z2. In coordinate rettangolari quella conversione polare non serve.
Scriva il dividendo come a più b i e il divisore come c più d i. Il reciproco del divisore è il coniugato c meno d i diviso per c al quadrato più d al quadrato, perché un numero per il proprio coniugato uguaglia il modulo al quadrato. Moltiplicare il dividendo per quel reciproco produce un'unica frazione il cui numeratore è (a c più b d) più (b c meno a d) i e il cui denominatore è c al quadrato più d al quadrato.
La parte reale del quoziente è quindi (a c più b d) diviso (c al quadrato più d al quadrato) e l'immaginaria è (b c meno a d) diviso (c al quadrato più d al quadrato). La divisione non è definita quando il divisore è il complesso nullo, cioè quando c e d sono entrambi zero, perché il modulo al quadrato al denominatore si annulla. Se il divisore è un reale puro la formula si riduce alla divisione ordinaria di ciascuna parte per c.
Se è immaginario puro il quoziente è una rotazione di novanta gradi scalata di uno sul valore assoluto di d. Controllo classico: tre più quattro i diviso uno più due i vale 2.2 meno 0.4 i. Altro: uno più i diviso uno meno i vale i.
Dove serve dividere i numeri complessi
Aule e piattaforme di tutoraggio usano una calcolatrice per dividere numeri complessi affinché gli studenti verifichino (a più b i) su (c più d i) senza errori di segno espandendo il coniugato a mano. I generatori di esami e i plugin LMS necessitano di un oracolo deterministico che rifiuti un divisore nullo, restituisca parti arrotondate in modo stabile e non inventi mai un quoziente quando il denominatore si annulla.
I taccuini di ingegneria elettrica riducono rapporti di impedenza, fasori tensione su corrente e campioni di funzione di trasferimento a una sola divisione rettangolare quando un sistema di algebra completo sarebbe eccessivo. Gli script di elaborazione del segnale e di controllo applicano la stessa identità a guadagni e residui complessi senza erigere librerie numeriche pesanti al bordo. La convalida fallita, compresa la divisione per zero, non consuma il saldo.
Casi d'uso
Controlli in classe e compiti a casa
Lasci che gli studenti inviino le parti reale e immaginaria di (a+bi)/(c+di) e verifichino il quoziente rispetto al metodo del coniugato del manuale.
Taccuini di ingegneria e fasori
Calcoli rapporti di impedenza o fasori tensione su corrente in forma rettangolare senza tirare una libreria completa di algebra computazionale.
Domande frequenti
Che cosa accade se il divisore è zero?
La divisione per il complesso nullo 0+0i non è definita e la convalida fallita non viene fatturata.
Questa calcolatrice restituisce la forma polare (modulo e argomento)?
No. Questa capacità restituisce solo il quoziente rettangolare. Usi uno strumento di modulo o di argomento complesso se Le servono le coordinate polari del risultato.
Quanto fa (3 + 4i) diviso (1 + 2i)?
Fa 2,2 − 0,4i. Il modulo al quadrato del divisore è 1² + 2², cioè 5; la parte reale è (3·1 + 4·2) ÷ 5 e quella immaginaria (4·1 − 3·2) ÷ 5.
Perché si moltiplica per il coniugato del divisore?
Perché un numero complesso per il suo coniugato dà il modulo al quadrato, che è un numero reale. Così il denominatore non è più complesso e il quoziente si separa in parte reale e immaginaria.
Che cosa succede se il divisore è reale o immaginario puro?
Se è reale, ogni parte del dividendo viene semplicemente divisa per quel numero. Se è immaginario puro, il quoziente equivale a una rotazione di un quarto di giro, scalata di uno sul valore assoluto della parte immaginaria.
Strumenti correlati
Per sviluppatori — accesso via API
Tutto quello che vedi in questa pagina è disponibile anche via API. Questa sezione è per i team che vogliono integrarlo nei propri sistemi; chi non ne ha bisogno può semplicemente usare lo strumento qui sopra.
Endpoint
Autenticazione con Bearer token: un POST mette in coda l'attività e il risultato arriva via webhook o link firmato.
Chiamala dal tuo stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/divide-complex-numbers \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"real1":3,"imag1":4,"real2":1,"imag2":2}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/divide-complex-numbers", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
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body: JSON.stringify({
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"imag1": 4,
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"imag2": 2
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const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/divide-complex-numbers",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"real1": 3,
"imag1": 4,
"real2": 1,
"imag2": 2
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/divide-complex-numbers", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"real1":3,"imag1":4,"real2":1,"imag2":2}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"real1":3,"imag1":4,"real2":1,"imag2":2}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/divide-complex-numbers", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Esempio di richiesta
{
"real1": 3,
"imag1": 4,
"real2": 1,
"imag2": 2
}Esempio di risposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.divide_complex_numbers",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L'API è asincrona: ricevi subito un task_id e puoi fare polling fino a 1 richiesta al secondo.
Prezzi
Prezzo pubblicato, senza token né crediti. Se l'attività fallisce, non paghi.
Errori
| HTTP | Codice | Significato |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Chiave API mancante o non valida: controlla l'header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Credito esaurito: ricarica per continuare a eseguire attività. |
404 | unknown_type | Tipo di attività sconosciuto: controlla il campo type della richiesta. |
429 | rate_limited | Troppe richieste in poco tempo: rallenta e riprova tra qualche secondo. |
Note tecniche
Che cosa significa dividere numeri complessi in algebra e in geometria
Questo endpoint restituisce quelle parti rettangolari e non emette magnitudine polare né argomento; lo associ a una calcolatrice di modulo o di argomento se Le servono le coordinate polari dopo aver noto il quoziente.
Contratto di ingresso, forma della risposta e convalida
Usi i due campi del quoziente come risposta principale; la stringa di visualizzazione è una comodità per fogli e registri. Invii per POST un corpo JSON con quattro numeri finiti obbligatori: real1 e imag1 per il dividendo z1, e real2 e imag2 per il divisore z2. Ogni campo può arrivare come numero JSON o come stringa numerica; il gestore accetta anche alias comuni come re1, a1 o a per real1, im1, b1 o b per imag1, e le forme re2, a2, c, im2, b2 e d dei manuali che scrivono (a più b i) su (c più d i). Valori non finiti, campi assenti, stringhe vuote e testo non numerico falliscono con invalid_input nominando il campo, e tali fallimenti non vengono fatturati. Un divisore le cui parti reale e immaginaria sono entrambe zero fallisce anch'esso con invalid_input, perché la divisione per il complesso nullo non è definita. In caso di successo il corpo ripete real1, imag1, real2 e imag2 con arrotondamento stabile a dodici decimali; stringhe compatte complex1 e complex2 come tre più quattro i o uno meno due i; quotient_real e quotient_imag per le parti rettangolari di z1 diviso z2; una stringa quotient di quel risultato; divisor_squared_modulus uguale a real2 al quadrato più imag2 al quadrato, denominatore della formula del coniugato; e una formula che riafferma (a più b i) su (c più d i) uguale a ((a c più b d) più (b c meno a d) i) su (c al quadrato più d al quadrato). Controllo classico: real1 uguale a tre, imag1 uguale a quattro, real2 uguale a uno, imag2 uguale a due produce quoziente reale 2.2 e quoziente imag meno 0.4 con modulo al quadrato del divisore cinque.
Dove un'API di divisione complessa vale la pena
Poiché l'implementazione è parse di livello A, ogni chiamata riuscita costa il prezzo base pubblicato $0.002 senza token di modello né rete in uscita. Tenga le richieste piccole, fissi nei test quotient_real e quotient_imag arrotondati e otterrà quozienti rettangolari riproducibili per compiti, LMS e worker al bordo senza importare un'infrastruttura simbolica propria.
Casi di integrazione
Valutazione automatica di esami e LMS
Valuti voci di divisione complessa con un oracolo deterministico che restituisce quotient_real e quotient_imag e rifiuta un divisore nullo.
Domande tecniche
Come si dividono due numeri complessi in forma rettangolare?
Invii numeri finiti real1 e imag1 per il dividendo e real2 e imag2 per il divisore. L'API moltiplica per il coniugato del divisore e restituisce quotient_real = (ac+bd)/(c²+d²) e quotient_imag = (bc−ad)/(c²+d²).
Posso inviare i nomi da manuale a, b, c e d al posto di real1 e imag1?
Sì. Il gestore accetta gli alias a e b per le parti del dividendo e c e d per quelle del divisore, oltre a re1, im1, re2 e im2. I nomi canonici della risposta restano real1, imag1, real2 e imag2.
Quanto costa la calcolatrice per dividere numeri complessi?
Lo strumento del browser è gratuito. Le richieste API usano il saldo prepagato KIT a $0.002 per chiamata riuscita; l'ingresso non valido, compreso un divisore nullo, non viene fatturato.