Diviser nombres complexes

Diviser un nombre complexe par un autre est l'opération en forme rectangulaire (a plus b i) sur (c plus d i). La méthode algébrique multiplie le dividende par le conjugué du diviseur et divise par le module au carré de ce diviseur : la partie réelle du quotient est (a c plus b d) sur (c au carré plus d au carré) et l'imaginaire est (b c moins a d) sur (c au carré plus d au carré). Les élèves s'en servent pour simplifier des fractions de complexes, revenir de la forme polaire aux parties rectangulaires ou vérifier un devoir sans système d'algèbre computationnelle. Les ingénieurs appliquent la même identité aux rapports d'impédance, aux fonctions de transfert et aux quotients de phaseurs. Ce calculateur pour diviser des nombres complexes accepte les parties réelle et imaginaire des deux nombres, refuse un diviseur nul et renvoie les parties réelle et imaginaire du quotient avec des chaînes d'affichage compactes.

Ce que signifie diviser des nombres complexes en algèbre et en géométrie

Un nombre complexe vit dans le plan, partie réelle sur l'axe horizontal et partie imaginaire sur l'axe vertical. Diviser z1 par z2, c'est multiplier par l'inverse de z2 : géométriquement on met les longueurs à l'échelle d'un sur le module de z2 et on tourne de l'opposé de l'argument de z2. En coordonnées rectangulaires cette conversion polaire n'est pas nécessaire.

Écrivez le dividende comme a plus b i et le diviseur comme c plus d i. L'inverse du diviseur est le conjugué c moins d i divisé par c au carré plus d au carré, car un nombre multiplié par son conjugué égale le module au carré. Multiplier le dividende par cet inverse produit une seule fraction dont le numérateur est (a c plus b d) plus (b c moins a d) i et dont le dénominateur est c au carré plus d au carré.

La partie réelle du quotient est donc (a c plus b d) divisé par (c au carré plus d au carré) et l'imaginaire est (b c moins a d) divisé par (c au carré plus d au carré). La division n'est pas définie lorsque le diviseur est le complexe nul, c'est-à-dire lorsque c et d sont tous deux nuls, car le module au carré au dénominateur s'annule. Si le diviseur est un réel pur, la formule se réduit à la division ordinaire de chaque partie par c.

S'il est imaginaire pur, le quotient est une rotation de quatre-vingt-dix degrés mise à l'échelle d'un sur la valeur absolue de d. Vérification classique : trois plus quatre i divisé par un plus deux i égale 2.2 moins 0.4 i. Autre : un plus i divisé par un moins i égale i.

Ce point de terminaison renvoie ces parties rectangulaires et n'émet ni magnitude polaire ni argument ; associez-le à un calculateur de module ou d'argument si vous avez besoin du couple polaire une fois le quotient connu.

Où sert la division de nombres complexes

Les salles de classe et les plateformes de tutorat utilisent un calculateur pour diviser des nombres complexes afin que les apprenants vérifient (a plus b i) sur (c plus d i) sans erreurs de signe en développant le conjugué à la main. Les générateurs d'examens et les greffons LMS ont besoin d'un oracle déterministe qui refuse un diviseur nul, renvoie des parties arrondies de façon stable et n'invente jamais un quotient lorsque le dénominateur s'annule.

Les carnets d'ingénierie électrique réduisent les rapports d'impédance, les phaseurs tension sur courant et les échantillons de fonction de transfert à une seule division rectangulaire lorsqu'un système d'algèbre complet serait excessif. Les scripts de traitement du signal et de régulation appliquent la même identité aux gains et résidus complexes sans dresser de lourdes bibliothèques numériques en bordure. Une validation en échec, y compris la division par zéro, ne consomme pas le solde.