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Distance entre nombres complexes

3 + 4i est à 5 unités de l'origine, et 1 + 2i à 5 unités de 4 + 6i : saisissez deux nombres complexes et obtenez leur distance, la distance au carré et leur différence. Gratuit dans votre navigateur.

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Exemple résolu

Si vous saisissez
Partie réelle 1
3
Partie imaginaire 1
4
Partie réelle 2
0
Partie imaginaire 2
0
Vous obtenez
Complexe 1
3+4i
Complexe 2
0
Écart (partie réelle)
3
Écart (partie imaginaire)
4

La distance entre deux nombres complexes est le module de leur différence : si z1 vaut a plus b i et z2 vaut c plus d i, la séparation est la racine carrée de (a moins c) au carré plus (b moins d) au carré. Cette longueur est exactement la distance euclidienne entre les points (a, b) et (c, d) dans le plan d'Argand. Les élèves rencontrent cette formule pour mesurer des cordes sur les racines de l'unité, comparer des phaseurs ou vérifier si deux solutions coïncident. Les ingénieurs l'emploient pour la séparation d'impédances, la magnitude d'erreur entre échantillons complexes et des contrôles géométriques en commande ou en signal. Ce calculateur accepte les parties réelle et imaginaire des deux nombres et renvoie la distance non négative, la distance au carré, les composantes de la différence, des chaînes d'affichage compactes et une formule courte à afficher à côté de la réponse.

Sens géométrique et algébrique de la distance entre nombres complexes

Un nombre complexe vit dans le plan avec sa partie réelle sur l'axe horizontal et sa partie imaginaire sur l'axe vertical. La longueur de ce vecteur est le module de la différence, noté |z1 moins z2|, qui se développe par le théorème de Pythagore en la racine carrée de la somme du carré de la différence réelle et du carré de la différence imaginaire. Comme les carrés effacent le signe, permuter les extrémités ne change pas la distance : |z1 moins z2| égale |z2 moins z1|.

Lorsque les deux nombres sont identiques, la différence est nulle et la distance est nulle ; lorsqu'un nombre est l'origine, la formule se réduit au module ordinaire de l'autre, de sorte que cette capacité généralise le calculateur de module d'un seul point à une paire arbitraire. Les paires purement réelles se réduisent à la différence absolue des réels ; les paires purement imaginaires, à la différence absolue des parties imaginaires. La distance n'est jamais négative ; elle n'est nulle que lorsque les deux parties coïncident.

Où mesurer la distance entre complexes est utile

Les salles de classe et plateformes de tutorat utilisent un calculateur de distance entre nombres complexes pour que les apprenants vérifient |z1 moins z2| sur des paires arbitraires sans erreurs de signe ou d'ordre des opérations en soustrayant des formes rectangulaires à la main. Les générateurs d'examens et plugins LMS ont besoin d'un oracle déterministe qui rejette les entrées non finies, renvoie une longueur arrondie stable et n'invente jamais une séparation négative.

Les carnets d'ingénierie électrique réduisent la séparation de phaseurs, la magnitude de différence d'impédance et les résidus complexes à un seul appel |z1 moins z2| lorsqu'un système d'algèbre complet serait excessif. Les scripts de traitement du signal et de commande comparent l'erreur d'échantillons complexes via la distance au carré sans déployer de lourdes bibliothèques numériques en bordure. La validation échouée ne consomme pas le solde.

Gardez des requêtes petites, figez la distance arrondie dans les tests et vous obtiendrez des séparations reproductibles pour les devoirs, le LMS et les workers en bordure sans importer d'infrastructure symbolique propre.

Cas d’usage

Vérifications en classe et devoirs

Laissez les élèves envoyer les parties réelle et imag de z1 et z2 et vérifier |z1−z2| face aux méthodes pythagoriciennes ou au module de la différence du manuel.

Notation automatique d'examens et LMS

Notez des items de distance dans le plan complexe avec un oracle déterministe qui renvoie la racine non négative de la somme des deltas au carré et rejette l'entrée non finie.

Carnets d'ingénierie et phaseurs

Calculez la séparation entre deux impédances ou résidus complexes dans des scripts sans tirer une bibliothèque complète d'algèbre computationnelle.

Questions fréquentes

La distance complexe est-elle le module de la différence ?

Oui. La distance euclidienne dans le plan d'Argand entre z1 et z2 est exactement le module |z1−z2| de leur différence complexe.

Que se passe-t-il si l'un des nombres est zéro ?

Alors la distance se réduit au module ordinaire de l'autre nombre. Par exemple, la distance de 3+4i à l'origine est 5.

Échanger z1 et z2 change-t-il le résultat ?

Non. La distance est symétrique : |z1−z2| égale |z2−z1|.

Quelle est la distance entre 1 + 2i et 4 + 6i ?

Elle vaut 5. La différence est −3 − 4i, et la racine carrée de 3² + 4² vaut 5, comme l'hypoténuse d'un triangle rectangle de côtés 3 et 4 tracé dans le plan.

Pourquoi la distance au carré est-elle aussi affichée ?

Pour comparer des écarts, la racine carrée est inutile : la distance au carré range les paires dans le même ordre. Pour 3 + 4i et l'origine, elle vaut 25, alors que la distance vaut 5.

Outils associés

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Pour les développeurs — accès API

Tout sur cette page est disponible par programmation. Cette section s'adresse aux équipes qui veulent l'intégrer à leurs systèmes ; les autres peuvent simplement utiliser l'outil ci-dessus.

Endpoint

POSThttps://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-distance

Authentification par jeton Bearer : un seul POST met la tâche en file d’attente, et le résultat vous parvient par webhook ou lien signé.

Appeler depuis votre stack

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-distance \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"real1":3,"imag1":4,"real2":0,"imag2":0}'

Exemple de requête

{
  "real1": 3,
  "imag1": 4,
  "real2": 0,
  "imag2": 0
}

Exemple de réponse

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "algebra.complex_distance",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.

Tarifs

par requête$0.002

Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.

Erreurs

HTTPCodeSignification
401unauthorizedClé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization.
402insufficient_balanceSolde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche.
404unknown_typeType de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête.
429rate_limitedTrop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez.

Notes techniques

Sens géométrique et algébrique de la distance entre nombres complexes

Pour deux points z1 égal à real1 plus imag1 fois i et z2 égal à real2 plus imag2 fois i, le vecteur de z2 vers z1 est la différence complexe (real1 moins real2) plus (imag1 moins imag2) fois i. En pratique, la distance au carré suffit souvent pour comparer des séparations sans racine ; l'API renvoie les deux champs pour que l'appelant choisisse la forme de son manuel, de sa grille LMS ou de sa tolérance numérique sans redériver le développement à la main.

Contrat d'entrée, forme de la réponse et validation

Envoyez en POST un corps JSON avec quatre nombres finis obligatoires : real1 et imag1 pour le premier complexe z1, et real2 et imag2 pour le second z2. Chaque champ peut arriver comme nombre JSON ou comme chaîne numérique ; le gestionnaire accepte aussi des alias courants tels que re1, a1 ou x1 pour real1, im1, b1 ou y1 pour imag1, et les formes re2, a2, x2, im2, b2 et y2 pour le second nombre. Les valeurs non finies, les champs manquants, les chaînes vides et le texte non numérique échouent avec invalid_input en nommant le champ, et ces échecs ne sont pas facturés. En cas de succès, le corps renvoie real1, imag1, real2 et imag2 avec un arrondi stable à douze décimales ; des chaînes compactes complex1 et complex2 telles que trois plus quatre i ou cinq moins deux i ; delta_real et delta_imag pour la différence z1 moins z2 ; la distance non négative ; squared_distance égal à delta_real au carré plus delta_imag au carré ; un booléen is_zero vrai seulement lorsque la distance est nulle ; et une formule qui réaffirme |z1 moins z2| égal à la racine de (real1 moins real2) au carré plus (imag1 moins imag2) au carré. Vérification classique : real1 égal à trois, imag1 égal à quatre, real2 et imag2 égaux à zéro donne distance cinq et squared_distance vingt-cinq, le module de trois plus quatre i. Autre contrôle : real1 un, imag1 deux, real2 quatre, imag2 six donne delta réel moins trois et delta imag moins quatre avec distance cinq. Utilisez squared_distance pour classer des séparations ou éviter la racine ; le champ distance est toujours la racine non négative que les manuels étiquettent |z1 moins z2|.

Où une API de distance dans le plan complexe s'avère utile

Comme l'implémentation est parse de tier A, chaque appel réussi coûte le prix de base publié $0.002 sans jetons de modèle ni réseau sortant.

Questions techniques

Comment calculer la distance entre deux nombres complexes ?

Envoyez des nombres finis real1, imag1, real2 et imag2 pour z1 et z2. L'API renvoie |z1−z2| = sqrt((real1−real2)² + (imag1−imag2)²), plus la distance au carré et les parties de la différence.

Combien coûte le calculateur de distance entre nombres complexes ?

L'outil navigateur est gratuit. Les requêtes API utilisent le solde prépayé KIT à $0.002 par appel réussi ; une entrée invalide n'est pas facturée.

Consulter la documentation complète du KIT →