Abstand komplexer Zahlen
3 + 4i liegt 5 Einheiten vom Ursprung entfernt, 1 + 2i ebenfalls 5 von 4 + 6i: Geben Sie zwei komplexe Zahlen ein und erhalten Sie Abstand, Abstandsquadrat und Differenz. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- Realteil 1
- 3
- Imaginärteil 1
- 4
- Realteil 2
- 0
- Imaginärteil 2
- 0
- Komplexe Zahl 1
- 3+4i
- Komplexe Zahl 2
- 0
- Differenz (Realteil)
- 3
- Differenz (Imaginärteil)
- 4
Der Abstand zweier komplexer Zahlen ist der Betrag ihrer Differenz: ist z1 gleich a plus b i und z2 gleich c plus d i, so ist die Trennung die Quadratwurzel aus (a minus c) im Quadrat plus (b minus d) im Quadrat. Diese Länge ist genau der euklidische Abstand zwischen den Punkten (a, b) und (c, d) in der Gaußschen Zahlenebene. Lernende begegnen der Formel beim Messen von Sehnen an Einheitswurzeln, beim Vergleich von Zeigern oder beim Prüfen, ob zwei Lösungen zusammenfallen. Ingenieure nutzen sie für Impedanzabstände, Fehlermagnituden zwischen komplexen Abtastwerten und geometrische Checks in Regelung oder Signalverarbeitung. Dieser Rechner nimmt Real- und Imaginärteile beider Zahlen entgegen und liefert den nichtnegativen Abstand, den quadrierten Abstand, die Differenzkomponenten, kompakte Anzeigezeichenketten und eine kurze Formel neben der Antwort.
Was der Abstand komplexer Zahlen geometrisch und algebraisch bedeutet
Eine komplexe Zahl lebt in der Ebene mit dem Realteil auf der horizontalen und dem Imaginärteil auf der vertikalen Achse. Die Länge dieses Vektors ist der Betrag der Differenz, geschrieben |z1 minus z2|, der sich nach dem Satz des Pythagoras zur Quadratwurzel aus der Summe des quadrierten Realunterschieds und des quadrierten Imaginärunterschieds entfaltet. Weil Quadrate das Vorzeichen löschen, ändert das Vertauschen der Endpunkte den Abstand nicht: |z1 minus z2| ist gleich |z2 minus z1|.
Sind beide Zahlen identisch, ist die Differenz null und der Abstand null; ist eine Zahl der Ursprung, reduziert sich die Formel auf den gewöhnlichen Betrag der anderen, sodass diese Fähigkeit den Einpunkt-Betragsrechner auf ein beliebiges Paar verallgemeinert. Rein reelle Paare reduzieren sich auf die absolute Differenz der Realteile; rein imaginäre Paare auf die absolute Differenz der Imaginärteile. Der Abstand ist nie negativ; er ist nur null, wenn beide Teile übereinstimmen.
Wo sich Abstände komplexer Zahlen lohnen
Unterricht und Tutorienplattformen nutzen einen Rechner für den Abstand komplexer Zahlen, damit Lernende |z1 minus z2| für beliebige Paare prüfen können, ohne Vorzeichen- oder Operationsreihenfolgefehler beim manuellen Subtrahieren rechteckiger Formen. Prüfungs-Generatoren und LMS-Plugins brauchen ein deterministisches Orakel, das nicht endlichen Müll ablehnt, eine stabile gerundete Länge liefert und niemals eine negative Trennung erfindet. Elektrotechnik-Notebooks reduzieren Zeigertrennung, Impedanzdifferenz-Magnitude und komplexe Residuen auf einen einzigen |z1 minus z2|-Aufruf, wenn ein vollständiges Computeralgebrasystem übertrieben wäre.
Signalverarbeitungs- und Regelungsskripte vergleichen den Fehler komplexer Abtastwerte über den quadrierten Abstand, ohne schwere numerische Bibliotheken am Edge aufzubauen. Fehlgeschlagene Validierung wird nicht berechnet. Halten Sie Anfragen klein, pinnen Sie die gerundete distance in Tests und Sie erhalten reproduzierbare Trennungen für Hausaufgaben, LMS und Edge-Worker, ohne eigene symbolische Mathematikinfrastruktur zu importieren.
Anwendungsfälle
Kontrollen im Unterricht und Hausaufgaben
Lassen Sie Lernende Real- und Imaginärteile von z1 und z2 senden und |z1−z2| gegen pythagoreische oder Differenzbetrags-Methoden des Lehrbuchs prüfen.
Automatische Prüfungskorrektur und LMS
Bewerten Sie Abstandspunkte in der komplexen Ebene mit einem deterministischen Orakel, das die nichtnegative Wurzel der Summe quadrierter Deltas liefert und nicht endliche Eingaben ablehnt.
Ingenieur-Notebooks und Zeiger
Berechnen Sie die Trennung zweier Impedanzen oder komplexer Residuen in Skripten, ohne eine vollständige Computeralgebra-Bibliothek einzubinden.
Häufige Fragen
Ist der komplexe Abstand derselbe wie der Betrag der Differenz?
Ja. Der euklidische Abstand in der Gaußschen Zahlenebene zwischen z1 und z2 ist genau der Betrag |z1−z2| ihrer komplexen Differenz.
Was gilt, wenn eine der Zahlen null ist?
Dann reduziert sich der Abstand auf den gewöhnlichen Betrag der anderen Zahl. Zum Beispiel ist der Abstand von 3+4i zum Ursprung 5.
Ändert Vertauschen von z1 und z2 das Ergebnis?
Nein. Abstand ist symmetrisch: |z1−z2| ist gleich |z2−z1|.
Wie groß ist der Abstand zwischen 1 + 2i und 4 + 6i?
Er beträgt 5. Die Differenz ist −3 − 4i, und die Wurzel aus 3² + 4² ist 5, genau wie die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten 3 und 4.
Warum wird auch das Abstandsquadrat angezeigt?
Wer nur Abstände vergleicht, braucht keine Wurzel: Das Abstandsquadrat ordnet Paare in derselben Reihenfolge. Für 3 + 4i und den Ursprung beträgt es 25, der Abstand selbst 5.
Was gilt, wenn beide Zahlen reell sind?
Dann ist der Abstand einfach der Betrag der Differenz der beiden reellen Zahlen. Bei zwei rein imaginären Zahlen ist es der Betrag der Differenz ihrer Imaginärteile.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-distance \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"real1":3,"imag1":4,"real2":0,"imag2":0}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-distance", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
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body: JSON.stringify({
"real1": 3,
"imag1": 4,
"real2": 0,
"imag2": 0
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const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-distance",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"real1": 3,
"imag1": 4,
"real2": 0,
"imag2": 0
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-distance", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"real1":3,"imag1":4,"real2":0,"imag2":0}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"real1":3,"imag1":4,"real2":0,"imag2":0}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-distance", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"real1": 3,
"imag1": 4,
"real2": 0,
"imag2": 0
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.complex_distance",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Was der Abstand komplexer Zahlen geometrisch und algebraisch bedeutet
Für zwei Punkte z1 gleich real1 plus imag1 mal i und z2 gleich real2 plus imag2 mal i ist der Vektor von z2 nach z1 die komplexe Differenz (real1 minus real2) plus (imag1 minus imag2) mal i. In Anwendungen genügt oft der quadrierte Abstand zum Vergleich von Trennungen ohne Wurzel; die API liefert beide Felder, damit Aufrufer die Form ihres Lehrbuchs, der LMS-Rubrik oder der numerischen Toleranz wählen können, ohne die Entwicklung von Hand neu abzuleiten.
Eingabevertrag, Antwortform und Validierungsverhalten
Senden Sie per POST einen JSON-Körper mit vier erforderlichen endlichen Zahlen: real1 und imag1 für die erste komplexe Zahl z1 sowie real2 und imag2 für die zweite z2. Nicht endliche Werte, fehlende Felder, leere Zeichenketten und nichtnumerischer Text scheitern mit invalid_input unter Nennung des Feldes; solche Fehler werden nicht berechnet. Bei Erfolg spiegelt der Körper real1, imag1, real2 und imag2 mit stabiler Zwölf-Dezimalstellen-Rundung; kompakte complex1- und complex2-Anzeigen wie drei plus vier i oder fünf minus zwei i; delta_real und delta_imag der Differenz z1 minus z2; die nichtnegative distance; squared_distance gleich delta_real im Quadrat plus delta_imag im Quadrat; ein boolesches is_zero, das nur bei Abstand null wahr ist; und eine Formel, die |z1 minus z2| als Wurzel aus (real1 minus real2) im Quadrat plus (imag1 minus imag2) im Quadrat festhält. Klassische Prüfung: real1 gleich drei, imag1 gleich vier, real2 und imag2 gleich null ergibt distance fünf und squared_distance fünfundzwanzig, den Betrag von drei plus vier i. Weitere Prüfung: real1 eins, imag1 zwei, real2 vier, imag2 sechs ergibt delta real minus drei und delta imag minus vier mit distance fünf. Nutzen Sie squared_distance zum Ordnen von Trennungen oder zum Vermeiden der Wurzel; das Feld distance ist stets die nichtnegative Wurzel, die Lehrbücher mit |z1 minus z2| bezeichnen.
Wo eine API für Abstände in der komplexen Ebene sich lohnt
Weil die Implementierung parse der Stufe A ist, kostet jeder erfolgreiche Aufruf den veröffentlichten Grundpreis $0.002 ohne Modell-Tokens und ohne ausgehendes Netz.
Technische Fragen
Wie berechnet man den Abstand zweier komplexer Zahlen?
Senden Sie endliche Zahlen real1, imag1, real2 und imag2 für z1 und z2. Die API liefert |z1−z2| = sqrt((real1−real2)² + (imag1−imag2)²) sowie den quadrierten Abstand und die Differenzteile.
Was kostet der Rechner für den Abstand komplexer Zahlen?
Das Browser-Werkzeug ist kostenlos. API-Anfragen nutzen das vorausbezahlte KIT-Guthaben zu $0.002 pro erfolgreichem Aufruf; ungültige Eingaben werden nicht berechnet.