Distância entre números complexos
3 + 4i fica a 5 unidades da origem, e 1 + 2i fica a 5 de 4 + 6i: digite dois números complexos e obtenha a distância entre eles, a distância ao quadrado e a diferença. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- Parte real 1
- 3
- Parte imaginária 1
- 4
- Parte real 2
- 0
- Parte imaginária 2
- 0
- Complexo 1
- 3+4i
- Complexo 2
- 0
- Diferença (parte real)
- 3
- Diferença (parte imaginária)
- 4
A distância entre dois números complexos é o módulo da diferença: se z1 é a mais b i e z2 é c mais d i, a separação é a raiz quadrada de (a menos c) ao quadrado mais (b menos d) ao quadrado. Esse comprimento é exatamente a distância euclidiana entre os pontos (a, b) e (c, d) no plano de Argand. Estudantes encontram a fórmula ao medir cordas em raízes da unidade, comparar fasores ou verificar se duas soluções coincidem. Engenheiros usam-na para separação de impedâncias, magnitude de erro entre amostras complexas e checagens geométricas em controle ou sinais. Esta calculadora aceita as partes real e imaginária de ambos os números e devolve a distância não negativa, a distância ao quadrado, os componentes da diferença, strings compactas de exibição e uma fórmula curta para mostrar junto à resposta.
O que a distância entre números complexos significa em geometria e em álgebra
Um número complexo vive no plano com a parte real no eixo horizontal e a imaginária no vertical. O comprimento desse vetor é o módulo da diferença, escrito |z1 menos z2|, que pelo teorema de Pitágoras se expande na raiz quadrada da soma do quadrado da diferença real e do quadrado da diferença imaginária. Como os quadrados apagam o sinal, trocar os extremos não altera a distância: |z1 menos z2| é igual a |z2 menos z1|.
Quando os dois números são idênticos a diferença é zero e a distância é zero; quando um é a origem a fórmula reduz-se ao módulo ordinário do outro, de modo que esta capacidade generaliza a calculadora de módulo de um único ponto a um par arbitrário. Pares puramente reais reduzem-se à diferença absoluta dos reais; pares puramente imaginários, à diferença absoluta das partes imaginárias. A distância nunca é negativa; só é zero quando ambas as partes coincidem.
Onde medir distâncias entre complexos ajuda
Salas de aula e plataformas de tutoria usam uma calculadora de distância entre números complexos para que aprendizes verifiquem |z1 menos z2| em pares arbitrários sem erros de sinal ou de ordem de operações ao subtrair formas retangulares à mão. Geradores de provas e plugins LMS precisam de um oráculo determinístico que rejeite lixo não finito, devolva um comprimento arredondado estável e nunca invente uma separação negativa.
Cadernos de engenharia elétrica reduzem separação de fasores, magnitude de diferença de impedância e resíduos complexos a uma única chamada |z1 menos z2| quando um sistema de álgebra completo seria excessivo. Scripts de processamento de sinal e controle comparam o erro de amostras complexas via a distância ao quadrado sem montar bibliotecas numéricas pesadas na borda. A validação falha não consome saldo.
Mantenha pedidos pequenos, fixe a distance arredondada nos testes e obtenha separações reproduzíveis para deveres, LMS e workers na borda sem importar infraestrutura simbólica própria.
Casos de uso
Conferências em sala e deveres de casa
Permita que estudantes enviem partes real e imag de z1 e z2 e verifiquem |z1−z2| frente a métodos pitagóricos ou de módulo da diferença do livro.
Correção automática de provas e LMS
Avalie itens de distância no plano complexo com um oráculo determinístico que devolve a raiz não negativa da soma dos deltas ao quadrado e rejeita entrada não finita.
Cadernos de engenharia e fasores
Calcule a separação entre duas impedâncias ou resíduos complexos em scripts sem puxar uma biblioteca completa de álgebra computacional.
Perguntas frequentes
A distância complexa é o mesmo que o módulo da diferença?
Sim. A distância euclidiana no plano de Argand entre z1 e z2 é exatamente o módulo |z1−z2| da diferença complexa.
E se um dos números for zero?
Então a distância reduz-se ao módulo ordinário do outro número. Por exemplo, a distância de 3+4i à origem é 5.
Trocar z1 e z2 altera o resultado?
Não. A distância é simétrica: |z1−z2| é igual a |z2−z1|.
Qual é a distância entre 1 + 2i e 4 + 6i?
É 5. A diferença é −3 − 4i, e a raiz quadrada de 3² + 4² é 5, igual à hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos 3 e 4 desenhado no plano.
Por que a distância ao quadrado também aparece?
Se você só compara separações, a raiz não é necessária: a distância ao quadrado ordena os pares do mesmo jeito. Para 3 + 4i e a origem ela vale 25, enquanto a distância é 5.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-distance \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"real1":3,"imag1":4,"real2":0,"imag2":0}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-distance", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"real1": 3,
"imag1": 4,
"real2": 0,
"imag2": 0
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-distance",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"real1": 3,
"imag1": 4,
"real2": 0,
"imag2": 0
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-distance", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"real1":3,"imag1":4,"real2":0,"imag2":0}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"real1":3,"imag1":4,"real2":0,"imag2":0}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-distance", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"real1": 3,
"imag1": 4,
"real2": 0,
"imag2": 0
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.complex_distance",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
O que a distância entre números complexos significa em geometria e em álgebra
Dados dois pontos z1 igual a real1 mais imag1 vezes i e z2 igual a real2 mais imag2 vezes i, o vetor de z2 a z1 é a diferença complexa (real1 menos real2) mais (imag1 menos imag2) vezes i. Na prática costuma bastar a distância ao quadrado para comparar separações sem raiz; a API devolve os dois campos para que quem chama escolha a forma do livro, rubrica LMS ou tolerância numérica sem rederivar a expansão à mão.
Contrato de entrada, forma da resposta e validação
Envie por POST um corpo JSON com quatro números finitos obrigatórios: real1 e imag1 para o primeiro complexo z1, e real2 e imag2 para o segundo z2. Valores não finitos, campos ausentes, strings vazias e texto não numérico falham com invalid_input nomeando o campo, e essas falhas não são cobradas. Em sucesso o corpo ecoa real1, imag1, real2 e imag2 com arredondamento estável a doze casas decimais; strings compactas complex1 e complex2 como três mais quatro i ou cinco menos dois i; delta_real e delta_imag da diferença z1 menos z2; a distance não negativa; squared_distance igual a delta_real ao quadrado mais delta_imag ao quadrado; um booleano is_zero verdadeiro só quando a distância é zero; e uma fórmula que reafirma |z1 menos z2| igual à raiz de (real1 menos real2) ao quadrado mais (imag1 menos imag2) ao quadrado. Verificação clássica: real1 igual a três, imag1 igual a quatro, real2 e imag2 iguais a zero dá distance cinco e squared_distance vinte e cinco, o módulo de três mais quatro i. Outra: real1 um, imag1 dois, real2 quatro, imag2 seis dá delta real menos três e delta imag menos quatro com distance cinco. Use squared_distance para ordenar separações ou evitar a raiz; o campo distance é sempre a raiz não negativa que os livros rotulam |z1 menos z2|.
Perguntas técnicas
Como calcular a distância entre dois números complexos?
Envie números finitos real1, imag1, real2 e imag2 para z1 e z2. A API devolve |z1−z2| = sqrt((real1−real2)² + (imag1−imag2)²), mais a distância ao quadrado e as partes da diferença.
Quanto custa a calculadora de distância entre números complexos?
A ferramenta do navegador é gratuita. Pedidos API usam saldo pré-pago KIT a US$ 0,002 por chamada bem-sucedida; entrada inválida não é cobrada.