Calculadora de módulo complexo
O módulo de 3 + 4i é 5, a distância dele até a origem no plano complexo: informe as partes real e imaginária e obtenha |z| e seu quadrado, nunca negativos. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- Parte real
- 3
- Parte imaginária
- 4
- Número complexo
- 3+4i
- Módulo
- 5
- Módulo ao quadrado
- 25
O módulo de um número complexo é a sua distância à origem no plano de Argand: para z igual a a mais b i, |z| é a raiz quadrada de a ao quadrado mais b ao quadrado. Estudantes encontram essa fórmula ao converter a forma retangular em polar; engenheiros usam-na para magnitude de impedância e amplitude de sinal; código gráfico ou de controle precisa de um |z| rápido e determinístico sem um sistema de álgebra computacional. Esta calculadora de módulo complexo aceita as partes real e imaginária, devolve o módulo, o módulo ao quadrado, uma string compacta do número e uma fórmula curta para exibir junto da resposta.
O que o módulo complexo significa em geometria e em álgebra
Um número complexo z igual a real mais imag vezes i pode ser desenhado como ponto ou vetor no plano com coordenada horizontal real e vertical imag. O módulo |z| é exatamente o comprimento euclidiano desse vetor: a distância em linha reta da origem ao ponto (real, imag). Algebricamente esse comprimento é a raiz não negativa de real ao quadrado mais imag ao quadrado, também escrita |a+bi| igual à raiz de a ao quadrado mais b ao quadrado.
Como os quadrados apagam o sinal, três mais quatro i, menos três mais quatro i, três menos quatro i e menos três menos quatro i partilham o mesmo módulo cinco. Quando uma parte é zero a fórmula se reduz de forma sensata: um real puro tem módulo igual ao seu valor absoluto, e um imaginário puro bi tem módulo igual ao valor absoluto de b. O complexo zero mais zero i tem módulo zero e fica na origem.
O módulo nunca é negativo; só é zero na origem. Na forma polar z igual a r vezes e elevado a i theta, o raio r é precisamente este módulo, logo calcular |z| é o primeiro passo da conversão retangular para polar.
Onde o módulo de um complexo ajuda
Salas de aula e plataformas de tutoria usam uma calculadora de módulo complexo para que aprendizes verifiquem |a+bi| com coeficientes arbitrários sem erros de sinal ou de ordem de operações. Geradores de prova e plugins LMS precisam de um oráculo determinístico que rejeite lixo não finito e nunca invente um comprimento negativo. Cadernos de engenharia elétrica reduzem magnitude de impedância, amplitude de fasor e checagens de ganho a uma única chamada |z| quando um CAS completo seria excessivo.
Scripts de processamento de sinal e controle comparam energia ou amplitude via o módulo ao quadrado sem levantar bibliotecas numéricas pesadas na borda. Validação falha não consome saldo. Mantenha pedidos pequenos, fixe o módulo arredondado nos testes e obtenha magnitudes reproduzíveis para lições, LMS e workers de borda sem importar infraestrutura simbólica própria.
Casos de uso
Checagens em sala e lição de casa
Permita que estudantes enviem real e imag para z=a+bi e verifiquem |z| com métodos pitagóricos ou de forma polar do livro.
Correção automática de provas e LMS
Avalie itens de módulo complexo com um oráculo determinístico que devolve a raiz não negativa sqrt(a²+b²) e rejeita entrada não finita.
Cadernos de engenharia e fasores
Calcule a magnitude de impedância ou a amplitude de sinal |a+bi| em scripts sem puxar uma biblioteca completa de álgebra computacional.
Perguntas frequentes
Como se calcula o módulo de um número complexo?
Envie números finitos real e imag para z = real + imag·i.
O módulo é o mesmo que o valor absoluto de um complexo?
Sim. |z|, módulo, magnitude e valor absoluto de um número complexo designam a distância não negativa desde a origem no plano complexo.
E se a parte imaginária for zero?
Então z é um real puro e |z| coincide com o valor absoluto ordinário da parte real. Imaginários puros são tratados da mesma forma no eixo imag.
Esta calculadora devolve o argumento (ângulo)?
Não. Esta capacidade devolve apenas o módulo e campos de magnitude relacionados. Use uma ferramenta de argumento ou forma polar se também precisar do ângulo.
Por que 3 + 4i e −3 − 4i têm o mesmo módulo?
Elevar ao quadrado apaga os sinais, então 3 + 4i, −3 + 4i, 3 − 4i e −3 − 4i têm módulo 5. São quatro pontos à mesma distância da origem, em direções diferentes.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-modulus \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"real":3,"imag":4}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-modulus", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"real": 3,
"imag": 4
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-modulus",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"real": 3,
"imag": 4
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-modulus", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"real":3,"imag":4}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"real":3,"imag":4}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-modulus", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"real": 3,
"imag": 4
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.complex_modulus",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
O que o módulo complexo significa em geometria e em álgebra
Este endpoint foca-se nessa magnitude e não devolve o ângulo argumento; combine-o com uma calculadora de argumento se precisar do par polar completo.
Contrato de entrada, formato da resposta e validação
Verificação clássica: real igual a três e imag igual a quatro produz módulo cinco e módulo ao quadrado vinte e cinco, o triplo pitagórico. Real igual a zero e imag igual a menos sete produz módulo sete com string menos sete i. Envie por POST um corpo JSON com dois números finitos obrigatórios: real, a parte real de z, e imag, a parte imaginária. Valores não finitos, campos ausentes, strings vazias e texto não numérico falham com invalid_input indicando o campo, e essas falhas não são cobradas. Em sucesso o corpo ecoa real e imag com arredondamento estável a doze casas decimais, uma string de exibição como três mais quatro i ou cinco menos dois i, o módulo não negativo, o módulo ao quadrado real ao quadrado mais imag ao quadrado, um booleano is_zero verdadeiro só quando ambas as partes são zero, e uma fórmula que reafirma |z| igual à raiz de real ao quadrado mais imag ao quadrado. Use squared_modulus quando só precisa comparar distâncias ou evitar a raiz; o campo modulus é sempre a raiz não negativa que os livros rotulam |z|.
Perguntas técnicas
Quanto custa a calculadora de módulo complexo?
A ferramenta no navegador é gratuita. Pedidos API usam saldo pré-pago KIT a US$ 0,002 por chamada bem-sucedida; entrada inválida não é cobrada.