Raízes n-ésimas da unidade
As raízes quartas da unidade são 1, i, -1 e -i, distribuídas em 0°, 90°, 180° e 270° no círculo unitário. Informe qualquer ordem n de 1 a 360 e receba cada raiz nas formas polar e retangular. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- N
- 4
- Equação
- z^4=1
- Quantidade
- 4
As raízes n-ésimas da unidade são os números complexos que satisfazem z elevado a n igual a um. Elas ficam igualmente espaçadas na circunferência unitária do plano complexo como vértices de um n-ágono regular, partindo de um e avançando o ângulo dois pi sobre n. Estudantes as encontram em álgebra e análise complexa ao fatorar polinômios ciclotômicos, diagonalizar matrizes circulantes ou aplicar a transformada discreta de Fourier. Engenheiros e código de processamento de sinais precisam da mesma lista em forma polar e retangular sem puxar um sistema completo de álgebra computacional. Esta calculadora de raízes n-ésimas da unidade aceita uma ordem inteira positiva n, avalia cos e sin em dois pi k sobre n para cada índice k de zero até n menos um, e devolve módulo, argumento em radianos e graus, uma string polar no estilo cis e uma string retangular re mais i im para cada raiz. O algoritmo é puro e determinístico, de modo que checagens de lição de casa, plugins LMS e workers de borda sempre concordam nas mesmas coordenadas arredondadas.
O que são as raízes n-ésimas da unidade e como são ordenadas
Por definição, um número complexo omega é uma raiz n-ésima da unidade quando omega elevado a n é igual a um. O teorema de De Moivre fornece uma parametrização explícita: escreva um em forma polar com módulo um e argumento zero e obtenha as n raízes distintas espaçando o argumento em dois pi k sobre n para o inteiro k de zero a n menos um.
Em forma retangular, omega sub k é o cosseno de dois pi k sobre n mais i vezes o seno de dois pi k sobre n. Geometricamente, os pontos são os vértices de um n-ágono regular inscrito na circunferência unitária, incluindo sempre o real um quando k é zero.
Para n igual a dois as raízes são um e menos um; para n igual a três são um e o par familiar menos um meio mais ou menos i vezes a raiz quadrada de três sobre dois; para n igual a quatro são um, i, menos um e menos i. Esta capacidade devolve as raízes com k crescente, ou seja na ordem anti-horária do argumento, para que clientes possam plotar ou tabular sem reordenar.
Toda raiz tem módulo exatamente um (informado como um após o arredondamento estável), e o produto de todas é um ou menos um conforme n seja ímpar ou par, coerente com o termo constante de z à n menos um.
Casos de uso
Checagens de sala e lição de casa
Permita que estudantes digitem n e verifiquem todas as raízes n-ésimas da unidade em forma polar e retangular frente às expansões de De Moivre do livro.
Autoavaliação de exames e LMS
Corrija itens de números complexos com um oráculo determinístico que devolve raízes ordenadas e rejeita n não inteiro ou fora do intervalo.
Cadernos DFT e ciclotômicos
Obtenha vértices da circunferência unitária para fatores de giro DFT ou demos ciclotômicas sem importar uma biblioteca completa de álgebra computacional.
Perguntas frequentes
Que entrada a calculadora precisa?
Um único inteiro positivo n entre 1 e 360.
Em que forma as raízes são devolvidas?
Cada raiz inclui partes retangulares re e im, magnitude 1, ângulo em radianos e graus, mais strings de exibição polar (cis) e retangular.
Por que todas as raízes da unidade ficam no círculo unitário?
Cada raiz tem módulo exatamente 1, então sua distância até a origem é 1. As n raízes formam os vértices de um polígono regular que começa em 1 e avança pelo círculo em ângulos iguais.
Quais são as raízes quartas da unidade?
São 1, i, -1 e -i, nos ângulos de 0°, 90°, 180° e 270°. Elevar qualquer uma delas à quarta potência dá 1, e elas aparecem no sentido anti-horário a partir de 1.
Quais valores de n a calculadora aceita?
Qualquer número inteiro de 1 a 360. Zero, números negativos e frações são recusados, porque a ordem de uma raiz da unidade precisa ser um inteiro positivo.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/roots-of-unity \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":4}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/roots-of-unity", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"n": 4
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/roots-of-unity",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"n": 4
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/roots-of-unity", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":4}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":4}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/roots-of-unity", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"n": 4
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.roots_of_unity",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Validação falha (n ausente, n não inteiro ou n fora do intervalo permitido) gera invalid_input e não é cobrada.
O que são as raízes n-ésimas da unidade e como são ordenadas
Raízes primitivas são as de ordem exatamente n (mdc de k e n igual a um); o endpoint lista todas e deixa o filtro de primitividade para o chamador quando necessário.
Contrato de entrada, campos de resposta e erros de validação
Em sucesso o corpo ecoa n, uma string de equação da forma z circunflexo n igual a um, count igual a n, um array roots e uma fórmula curta que reafirma a identidade cis. Exemplo: n igual a quatro produz quatro raízes nos argumentos zero, pi sobre dois, pi e três pi sobre dois, correspondentes a um, i, menos um e menos i. Envie um corpo JSON com um único campo obrigatório n: um inteiro positivo entre um e trezentos e sessenta inclusive. O limite superior mantém o tamanho da resposta previsível para widgets do navegador e clientes API, cobrindo ordens comuns de sala e DSP como dois, três, quatro, cinco, seis, oito, doze, dezesseis, trinta e dois, sessenta e quatro e trezentos e sessenta. Strings numéricas que analisam para um inteiro finito no intervalo são aceitas; n ausente, strings vazias, não inteiros, zero, negativos e valores acima de trezentos e sessenta falham com invalid_input nomeando o campo. Cada objeto raiz carrega k (índice base zero), re e im (partes retangulares arredondadas para goldens estáveis), magnitude (sempre um), angle_rad e angle_deg (argumento em radianos e graus), polar (string de exibição estilo cis) e rectangular (string legível re mais ou menos i im com tratamento compacto de casos puramente reais ou imaginários). Combine a resposta com seu próprio código de gráficos se precisar de um diagrama da circunferência unitária; este endpoint calcula apenas coordenadas e rótulos e não emite gráficos nem provas simbólicas passo a passo além do campo formula.
Onde uma API de raízes n-ésimas da unidade gera valor
Cursos de álgebra e análise complexa usam uma calculadora de raízes da unidade para que aprendizes verifiquem ângulos polares e coordenadas retangulares de um n arbitrário sem arredondar tabelas de cosseno à mão. Geradores de exames e autoavaliadores LMS precisam de um oráculo determinístico que rejeite n inválido em vez de inventar raízes ou truncar em silêncio. Entrada inválida não consome saldo. Cadernos de transformada discreta de Fourier, demos de polinômios ciclotômicos e utilitários de matrizes circulantes precisam repetidamente dos mesmos vértices da circunferência unitária; chamar uma API parse minúscula evita embarcar um runtime de álgebra simbólica por um único laço trigonométrico. Como a implementação é parse puro de nível A, cada chamada bem-sucedida custa o preço base publicado US$ 0,002 sem tokens de modelo e sem rede de saída.
Perguntas técnicas
O que são as raízes n-ésimas da unidade?
São as n soluções complexas de z^n = 1, dadas por ω_k = cos(2πk/n) + i sin(2πk/n) para k = 0, 1, …, n−1, igualmente espaçadas na circunferência unitária.
Como as raízes são ordenadas?
Por índice k crescente de 0 a n−1, ou seja na ordem anti-horária do argumento começando em 1 (a raiz real quando k = 0).
Quanto custa a calculadora de raízes n-ésimas da unidade?
A ferramenta do navegador é gratuita. Solicitações API usam saldo pré-pago KIT a US$ 0,002 por chamada bem-sucedida; entrada inválida não é cobrada.