حاسبة الجذور النونية للوحدة
الجذور الرابعة للوحدة هي 1 وi و-1 و-i، موزعة بانتظام عند 0° و90° و180° و270° على دائرة الوحدة. أدخلوا أي رتبة n من 1 إلى 360 واحصلوا على كل جذر بالصورتين القطبية والجبرية. مجانا في متصفحكم.
- مجاني
- يعمل في متصفحك
- دون تسجيل
- بياناتك لا تغادر جهازك
شغّل الأداة مجانًا
مثال محلول
- N
- 4
- المعادلة
- z^4=1
- الكمية
- 4
الجذور النونية للوحدة هي الأعداد العقدية التي تحقق أن z مرفوعًا إلى n يساوي واحدًا. تقع بانتظام على دائرة الوحدة في المستوي العقدي كرؤوس لمضلع منتظم ذي n أضلاع، بدءًا من الواحد وبخطوة زاوية قدرها اثنان باي على n. يلتقي بها الطلاب في الجبر والتحليل العقدي عند تحليل كثيرات الحدود الدائرية، أو قطْرنة المصفوفات الدائرية، أو تطبيق تحويل فورييه المتقطع. ويحتاج المهندسون ورمز معالجة الإشارات إلى القائمة ذاتها بالشكلين القطبي والمستطيل دون جلب منظومة كاملة للجبر الحاسوبي. تقبل حاسبة الجذور النونية للوحدة هذه رتبةً صحيحة موجبة n، وتقيّم cos وsin عند اثنين باي k على n لكل فهرس k من الصفر إلى n ناقص واحد، وتعيد المقدار والحجة بالراديان والدرجات وسلسلة قطبية بأسلوب cis وسلسلة مستطيلة re زائد i im لكل جذر. الخوارزمية نقية وحتمية، فتتوافق فحوص الواجبات وإضافات LMS وعاملو الحافة دائمًا على الإحداثيات المقربة نفسها.
ما الجذور النونية للوحدة وكيف تُرتَّب
بحسب التعريف يكون العدد العقدي أوميغا جذرًا نونيًا للوحدة عندما يساوي أوميغا مرفوعًا إلى n واحدًا. تعطي مبرهنة ديموافر بارامترة صريحة: اكتب الواحد بالشكل القطبي بمقدار واحد وحجة صفر، ثم خذ الجذور النونية المتمايزة n بتفريق الحجة بمقدار اثنين باي k على n للعدد الصحيح k من الصفر إلى n ناقص واحد. بالشكل المستطيل يكون أوميغا الدليل k هو جيب تمام اثنين باي k على n زائد i في جيب اثنين باي k على n.
هندسيًا النقاط هي رؤوس مضلع منتظم ذي n أضلاع محاط بدائرة الوحدة، وتشمل دائمًا العدد الحقيقي واحد عندما يكون k صفرًا. لـ n يساوي اثنين الجذور واحد وناقص واحد؛ ولـ n يساوي ثلاثة واحد والزوج المألوف ناقص نصف زائد أو ناقص i في جذر ثلاثة على اثنين؛ ولـ n يساوي أربعة واحد وi وناقص واحد وناقص i. تعيد هذه القدرة الجذور بـ k متزايد، أي بترتيب عكس عقارب الساعة للحجة، حتى يتمكن العملاء من الرسم أو الجدولة دون إعادة ترتيب.
لكل جذر مقدار يساوي واحدًا تمامًا (يُبلَّغ كواحد بعد التقريب المستقر)، وجداء جميع الجذور واحد أو ناقص واحد بحسب كون n فرديًا أو زوجيًا، بما يوافق الحد الثابت لـ z إلى n ناقص واحد.
أين تثبت واجهة الجذور النونية للوحدة قيمتها
تستخدم مقررات الجبر والتحليل العقدي حاسبة جذور الوحدة ليتحقق المتعلمون من الزوايا القطبية والإحداثيات المستطيلة لـ n اعتباطي دون تقريب جداول الجيب تمام يدويًا. تحتاج مولّدات الامتحانات ومصححو LMS الآليون إلى عرافة حتمية ترفض n غير صالح بدل اختراع جذور أو البتر بصمت. تستفيد مواقع المحتوى التي تتصدر لعبارة حاسبة الجذور النونية للوحدة من عنصر مجاني في المتصفح تطابق إجاباته مسار الأتمتة المدفوع بايتًا ببايت على الوحدة النقية نفسها.
لا يستهلك الإدخال غير الصالح الرصيد. أبقِ n ضمن النطاق الموثَّق وثبّت حقلي re وim المقربين في اختبارات الانحدار لتحصل على جذور قابلة للتكرار للواجبات ومقتطفات معالجة الإشارات وعاملي الحافة دون إقامة بنية تحتية للجبر الحاسوبي خاصة بكم.
حالات الاستخدام
فحوص الصف والواجبات
دعوا الطلاب يدخلون n ويتحققون من جميع الجذور النونية للوحدة بالشكلين القطبي والمستطيل مقارنة بتوسعات ديموافر في الكتاب.
التصحيح الآلي للامتحانات وLMS
قيّموا بنود الأعداد العقدية بعرافة حتمية تعيد جذورًا مرتبة وترفض n غير صحيح أو خارج النطاق.
دفاتر DFT والدائرية
احصلوا على رؤوس دائرة الوحدة لعوامل دوران DFT أو عروض دائرية دون استيراد مكتبة كاملة للجبر الحاسوبي.
الأسئلة الشائعة
ما الإدخال الذي تحتاجه الحاسبة؟
عدد صحيح موجب وحيد n بين 1 و360.
بأي شكل تُعاد الجذور؟
يتضمن كل جذر الجزأين المستطيلين re وim وmagnitude 1 والزاوية بالراديان والدرجات، إضافة إلى سلاسل عرض قطبية (cis) ومستطيلة.
لماذا تقع كل جذور الوحدة على دائرة الوحدة؟
لأن مقياس كل جذر يساوي 1 تماما، فبعده عن نقطة الأصل هو 1. وتشكل الجذور n رؤوس مضلع منتظم يبدأ من 1 ويدور حول الدائرة بزوايا متساوية.
ما الجذور الرابعة للوحدة؟
هي 1 وi و-1 و-i عند الزوايا 0° و90° و180° و270°. ورفع أي منها إلى القوة الرابعة يعطي 1، وتُعرض بعكس اتجاه عقارب الساعة بدءا من 1.
ما قيم n التي تقبلها الحاسبة؟
أي عدد صحيح من 1 إلى 360. ويُرفض الصفر والأعداد السالبة والكسور، لأن رتبة جذر الوحدة يجب أن تكون عددا صحيحا موجبا.
أدوات ذات صلة
للمطوّرين — الوصول عبر API
كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.
الـEndpoint
صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.
استدعِ الخدمة من بيئتك
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/roots-of-unity \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":4}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/roots-of-unity", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"n": 4
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/roots-of-unity",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"n": 4
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/roots-of-unity", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":4}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":4}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/roots-of-unity", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)مثال على الطلب
{
"n": 4
}مثال على الاستجابة
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.roots_of_unity",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.
الأسعار
السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.
الأخطاء
| HTTP | الرمز | المعنى |
|---|---|---|
401 | unauthorized | مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك. |
402 | insufficient_balance | رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة. |
404 | unknown_type | نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب. |
429 | rate_limited | تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة. |
ملاحظات تقنية
يُنتج فشل التحقق (غياب n أو n غير صحيح أو n خارج النطاق المسموح) invalid_input ولا يُفوتر.
ما الجذور النونية للوحدة وكيف تُرتَّب
الجذور البدائية هي ذات الرتبة n تمامًا (القاسم المشترك الأكبر لـ k وn يساوي واحدًا)؛ تسرد نقطة النهاية كل الجذور وتترك تصفية البدائية للمستدعي عند الحاجة.
عقد الإدخال وحقول الاستجابة وأخطاء التحقق
عند النجاح يكرر الجسم n وسلسلة معادلة من شكل z أس n يساوي واحدًا وcount مساويًا لـ n ومصفوفة roots وصيغة قصيرة تعيد هوية cis. مثال: n يساوي أربعة ينتج أربعة جذور عند الحجج صفر وباي على اثنين وباي وثلاثة باي على اثنين، المقابلة ل واحد وi وناقص واحد وناقص i. أرسل جسم JSON بحقل إلزامي وحيد n: عدد صحيح موجب بين واحد وثلاثمئة وستين شاملة. يحافظ الحد الأعلى على حجم استجابة متوقع لعناصر المتصفح وعملاء API، ويغطي رتبًا شائعة في الصف وDSP مثل اثنين وثلاثة وأربعة وخمسة وستة وثمانية واثني عشر وستة عشر واثنين وثلاثين وأربعة وستين وثلاثمئة وستين. تُقبل السلاسل العددية التي تُحلل إلى عدد صحيح منتهٍ ضمن النطاق؛ غياب n والسلاسل الفارغة وغير الصحيحة والصفر والسالبة والقيم فوق ثلاثمئة وستين تفشل بـ invalid_input مع تسمية الحقل. يحمل كل كائن جذر k (فهرس من الصفر) وre وim (أجزاء مستطيلة مقربة للذهبية المستقرة) وmagnitude (واحد دائمًا) وangle_rad وangle_deg (الحجة بالراديان والدرجات) وpolar (سلسلة عرض بأسلوب cis) وrectangular (سلسلة مقروءة re زائد أو ناقص i im مع معالجة مضغوطة للحالات الحقيقية أو التخيلية الصرفة). اقرن الاستجابة برمز الرسوم الخاص بكم إن احتجتم مخطط دائرة الوحدة؛ تحسب نقطة النهاية هذه الإحداثيات والتسميات فقط ولا تُصدر رسومًا ولا براهين رمزية خطوة بخطوة خارج حقل formula.
أين تثبت واجهة الجذور النونية للوحدة قيمتها
تحتاج دفاتر تحويل فورييه المتقطع وعروض كثيرات الحدود الدائرية وأدوات المصفوفات الدائرية مرارًا إلى رؤوس دائرة الوحدة نفسها؛ واستدعاء API parse صغير يجنب شحن زمن تشغيل للجبر الرمزي من أجل حلقة مثلثية واحدة. ولأن التنفيذ parse نقي من المستوى A، تكلف كل مكالمة ناجحة السعر الأساسي المنشور $0.002 بلا رموز نموذج ولا شبكة صادرة.
أسئلة تقنية
ما الجذور النونية للوحدة؟
هي n حلول عقدية لـ z^n = 1، تُعطى بالصيغة ω_k = cos(2πk/n) + i sin(2πk/n) لـ k = 0, 1, …, n−1، متباعدة بانتظام على دائرة الوحدة.
كيف تُرتَّب الجذور؟
بفهرس k متزايد من 0 إلى n−1، أي بترتيب عكس عقارب الساعة للحجة بدءًا من 1 (الجذر الحقيقي عندما k = 0).
كم تكلفة حاسبة الجذور النونية للوحدة؟
أداة المتصفح مجانية. تستخدم طلبات API رصيد KIT المدفوع مسبقًا بسعر $0.002 لكل مكالمة ناجحة؛ الإدخال غير الصالح لا يُفوتر.