n-te Einheitswurzeln
Die vierten Einheitswurzeln sind 1, i, -1 und -i, gleichmäßig verteilt bei 0°, 90°, 180° und 270° auf dem Einheitskreis. Geben Sie eine Ordnung n von 1 bis 360 ein und erhalten Sie jede Wurzel in Polar- und kartesischer Form. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- N
- 4
- Gleichung
- z^4=1
- Anzahl
- 4
Die n-ten Einheitswurzeln sind die komplexen Zahlen, die z hoch n gleich eins erfüllen. Sie liegen gleichmäßig auf dem Einheitskreis der komplexen Ebene als Ecken eines regelmäßigen n-Ecks, beginnend bei eins und mit dem Winkelabstand zwei pi durch n. Studierende begegnen ihnen in Algebra und Funktionentheorie beim Faktorisieren zyklotomischer Polynome, beim Diagonalisieren zirkulanter Matrizen oder bei der diskreten Fourier-Transformation. Ingenieure und Signalverarbeitungs-Code brauchen dieselbe Liste in Polar- und Rechteckform, ohne ein vollständiges Computer-Algebra-System zu laden. Dieser Rechner für n-te Einheitswurzeln akzeptiert eine positive ganzzahlige Ordnung n, wertet cos und sin bei zwei pi k durch n für jeden Index k von null bis n minus eins aus und liefert Betrag, Argument in Radiant und Grad, eine polare cis-Zeichenkette sowie eine rechteckige re plus i im-Zeichenkette für jede Wurzel. Der Algorithmus ist rein und deterministisch, sodass Hausaufgabenprüfungen, LMS-Plugins und Edge-Worker stets dieselben gerundeten Koordinaten liefern.
Was n-te Einheitswurzeln sind und wie sie geordnet werden
Per Definition ist eine komplexe Zahl omega eine n-te Einheitswurzel, wenn omega hoch n gleich eins ist. Der Satz von De Moivre liefert eine explizite Parametrisierung: man schreibt eins in Polarform mit Betrag eins und Argument null und erhält die n verschiedenen n-ten Wurzeln, indem man das Argument um zwei pi k durch n für ganzzahliges k von null bis n minus eins abstandet. In Rechteckform ist omega tief k der Kosinus von zwei pi k durch n plus i mal Sinus von zwei pi k durch n.
Geometrisch sind die Punkte die Ecken eines regelmäßigen n-Ecks im Einheitskreis und enthalten stets die reelle Eins, wenn k null ist. Für n gleich zwei sind die Wurzeln eins und minus eins; für n gleich drei eins und das bekannte Paar minus ein halb plus oder minus i mal Wurzel drei durch zwei; für n gleich vier eins, i, minus eins und minus i. Diese Fähigkeit liefert Wurzeln mit wachsendem k, also in gegen den Uhrzeigersinn geordneter Argumentreihenfolge, damit Clients plotten oder tabellieren können ohne neu zu sortieren.
Jede Wurzel hat Betrag genau eins (nach stabiler Rundung als eins ausgewiesen), und das Produkt aller Wurzeln ist eins oder minus eins, je nachdem ob n ungerade oder gerade ist, passend zum konstanten Term von z hoch n minus eins.
Anwendungsfälle
Unterrichts- und Hausaufgabenprüfungen
Lassen Sie Studierende n eingeben und alle n-ten Einheitswurzeln in Polar- und Rechteckform gegen die De-Moivre-Entwicklungen im Lehrbuch prüfen.
Auto-Bewertung von Prüfungen und LMS
Bewerten Sie Aufgaben zu komplexen Zahlen mit einem deterministischen Orakel, das geordnete Wurzeln liefert und nicht ganzzahliges oder außerhalb des Bereichs liegendes n ablehnt.
DFT- und zyklotomische Notebooks
Holen Sie Einheitskreis-Ecken für DFT-Twiddle-Faktoren oder zyklotomische Demos, ohne eine vollständige Computer-Algebra-Bibliothek zu importieren.
Häufige Fragen
Welche Eingabe braucht der Rechner?
Eine einzige positive ganze Zahl n zwischen 1 und 360.
In welcher Form werden die Wurzeln geliefert?
Jede Wurzel enthält die rechteckigen Anteile re und im, magnitude 1, Winkel in Radiant und Grad sowie polare (cis) und rechteckige Anzeigezeichenketten.
Warum liegen alle Einheitswurzeln auf dem Einheitskreis?
Jede Wurzel hat genau den Betrag 1, ihr Abstand zum Ursprung ist also 1. Die n Wurzeln bilden die Ecken eines regelmäßigen Vielecks, das bei 1 beginnt und den Kreis in gleichen Winkelschritten umläuft.
Welche sind die vierten Einheitswurzeln?
Es sind 1, i, -1 und -i bei den Winkeln 0°, 90°, 180° und 270°. Jede von ihnen ergibt hoch vier genau 1, und sie werden gegen den Uhrzeigersinn ab 1 aufgeführt.
Welche Werte für n akzeptiert der Rechner?
Jede ganze Zahl von 1 bis 360. Null, negative Zahlen und Brüche werden abgelehnt, weil die Ordnung einer Einheitswurzel eine positive ganze Zahl sein muss.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/roots-of-unity \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":4}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/roots-of-unity", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"n": 4
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/roots-of-unity",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"n": 4
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/roots-of-unity", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":4}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":4}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/roots-of-unity", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"n": 4
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.roots_of_unity",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Fehlgeschlagene Validierung (fehlendes n, nicht ganzzahliges n oder n außerhalb des erlaubten Bereichs) wirft invalid_input und wird nicht abgerechnet.
Was n-te Einheitswurzeln sind und wie sie geordnet werden
Primitive Wurzeln sind jene mit genauer Ordnung n (ggT von k und n gleich eins); der Endpoint listet alle und überlässt den Primitivitätsfilter dem Aufrufer, wenn nötig.
Eingabevertrag, Antwortfelder und Validierungsfehler
Bei Erfolg wiederholt der Body n, eine Gleichung der Form z hoch n gleich eins, count gleich n, ein roots-Array und eine kurze Formel, die die cis-Identität bekräftigt. Beispiel: n gleich vier liefert vier Wurzeln bei den Argumenten null, pi durch zwei, pi und drei pi durch zwei, entsprechend eins, i, minus eins und minus i. Senden Sie einen JSON-Body mit dem einzigen Pflichtfeld n: einer positiven ganzen Zahl zwischen eins und dreihundertsechzig einschließlich. Die Obergrenze hält die Antwortgröße für Browser-Widgets und API-Clients vorhersehbar und deckt gängige Unterrichts- und DSP-Ordnungen wie zwei, drei, vier, fünf, sechs, acht, zwölf, sechzehn, zweiunddreißig, vierundsechzig und dreihundertsechzig ab. Numerische Zeichenketten, die zu einer endlichen ganzen Zahl im Bereich parsen, werden akzeptiert; fehlendes n, leere Zeichenketten, Nicht-Ganzzahlen, null, Negative und Werte über dreihundertsechzig scheitern mit invalid_input und benennen das Feld. Jedes Wurzelobjekt trägt k (nullbasierter Index), re und im (rechteckige Anteile gerundet für stabile Goldens), magnitude (stets eins), angle_rad und angle_deg (Argument in Radiant und Grad), polar (cis-Anzeigekette) und rectangular (lesbare re plus oder minus i im-Kette mit kompakter Behandlung rein reeller oder rein imaginärer Fälle). Kombinieren Sie die Antwort mit eigenem Diagrammcode, wenn Sie eine Einheitskreis-Skizze brauchen; dieser Endpoint berechnet nur Koordinaten und Beschriftungen und gibt weder Plots noch schrittweise symbolische Beweise jenseits des formula-Feldes aus.
Wo eine API für n-te Einheitswurzeln ihren Nutzen zeigt
Algebra- und Funktionentheorie-Kurse nutzen einen Einheitswurzel-Rechner, damit Lernende Polarwinkel und Rechteckkoordinaten für beliebiges n prüfen können, ohne Kosinustabellen von Hand zu runden. Prüfungsgeneratoren und LMS-Auto-Grader brauchen ein deterministisches Orakel, das ungültiges n ablehnt statt Wurzeln zu erfinden oder still zu kürzen. Ungültige Eingabe wird nicht berechnet. Notebooks zur diskreten Fourier-Transformation, zyklotomische Polynom-Demos und Zirkulanten-Werkzeuge brauchen wiederholt dieselben Einheitskreis-Ecken; der Aufruf einer winzigen Parse-API erspart, für eine einzelne trigonometrische Schleife eine symbolische Algebra-Laufzeit mitzuliefern. Weil die Implementierung reines Parse der Stufe A ist, kostet jeder erfolgreiche Aufruf den veröffentlichten Grundpreis $0.002 ohne Modell-Tokens und ohne ausgehendes Netz.
Technische Fragen
Was sind die n-ten Einheitswurzeln?
Sie sind die n komplexen Lösungen von z^n = 1, gegeben durch ω_k = cos(2πk/n) + i sin(2πk/n) für k = 0, 1, …, n−1, gleichmäßig auf dem Einheitskreis verteilt.
Wie sind die Wurzeln geordnet?
Nach wachsendem Index k von 0 bis n−1, also gegen den Uhrzeigersinn des Arguments, beginnend bei 1 (die reelle Wurzel, wenn k = 0).
Was kostet der Rechner für n-te Einheitswurzeln?
Das Browser-Werkzeug ist kostenlos. API-Anfragen nutzen das vorausbezahlte KIT-Guthaben zu $0.002 pro erfolgreichem Aufruf; ungültige Eingabe wird nicht abgerechnet.