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Sinus-Halbwinkel-Rechner

Erhalten Sie sin(θ/2) immer mit dem richtigen Vorzeichen: 90° halbiert sich zu 45° und liefert ein positives Ergebnis, −90° halbiert sich zu −45° und liefert ein negatives. Auch der Quadrant des halben Winkels wird angezeigt. Kostenlos in Ihrem Browser.

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Rechenbeispiel

Wenn Sie eingeben

Winkel: 90 deg

Erhalten Sie

Winkel (rad): 1,5707963268 deg
Winkel (Grad): 90
Halber Winkel (rad): 0,7853981634
Halbwinkel (°): 45

Die Sinus-Halbwinkel-Identität ist eine der ersten Wurzel-Formeln, denen Lernende nach den Doppelwinkel-Beziehungen begegnen, und sie taucht wieder in Integrationstabellen, Fourier-Arbeit und jedem Geometrieschritt auf, der den Sinus der unbekannten Hälfte eines gemessenen Winkels braucht. Eine bloße Quadratwurzel liefert nur den Betrag; das Vorzeichen von sin(θ/2) hängt vom Quadranten ab, in dem der Halbwinkel liegt, sodass ein Rechner, der immer einen positiven Radikanden zurückgibt, die Hälfte der Hausaufgaben-Checks und jeden vorzeichenbehafteten Sensorpfad scheitern lässt. Dieser Sinus-Halbwinkel-Rechner nimmt einen Vollwinkel θ in Grad oder Radiant entgegen, wertet cos θ aus, setzt sin(θ/2) gleich plus oder minus der Wurzel aus (1 minus cos θ) durch 2 und wählt das Vorzeichen aus dem normalisierten Halbwinkel-Quadranten, damit der Zahlenwert dem wahren Sinus von θ/2 entspricht.

Was die Sinus-Halbwinkel-Identität ist und warum das Vorzeichen zählt

Aus der Kosinus-Doppelwinkel-Formel, cos θ gleich 1 minus 2 mal dem Sinus im Quadrat von (θ/2), isoliert man den Sinus des Halbwinkels: der Absolutbetrag von sin(θ/2) ist gleich der Quadratwurzel aus (1 minus cos θ) geteilt durch 2. Dieser Radikand ist stets nichtnegativ, deshalb schreiben Lehrbücher die volle Identität mit einem Plus-minus davor. Die richtige Wahl ist nicht willkürlich: es ist das Vorzeichen des tatsächlichen Sinus von θ/2 auf dem Einheitskreis.

Ist θ 90 Grad, dann ist θ/2 45 Grad im ersten Quadranten und sin(θ/2) ist positiv eins durch Wurzel zwei. Ist θ minus 90 Grad, dann ist θ/2 minus 45 Grad im vierten Quadranten und sin(θ/2) ist negativ. Nur den Radikanden zurückzugeben würde für beide Eingaben dieselbe positive Zahl liefern und jeden Abgleich mit Math.sin der Hälfte des Winkels zerbrechen.

Dieser Endpunkt berechnet daher den Betrag aus cos θ und multipliziert mit plus eins oder minus eins je nach Vorzeichen des Sinus des normalisierten Halbwinkels, sodass das Ergebnis das wahre sin(θ/2) ist, einschließlich Nullen auf den Achsen und dem vollen Bereich von minus eins bis plus eins. Die Antwort gibt auch den Halbwinkel in Radiant und Grad wieder und etikettiert den Halbwinkel-Quadranten (oder die Achse), damit Sie Lernenden zeigen können, warum das Vorzeichen gewählt wurde, ohne den Einheitskreis von Hand neu zu zeichnen.

Anwendungsfälle

Unterrichts- und Hausaufgaben-Checks

Lassen Sie Lernende θ in Grad oder Radiant einreichen und den vorzeichenbehafteten sin(θ/2) gegen die Halbwinkel-Identität prüfen, einschließlich negativer Ergebnisse in Q3 und Q4.

Prüfungs- und LMS-Auto-Bewertung

Bewerten Sie Sinus-Halbwinkel-Aufgaben mit einem deterministischen Orakel, das nie das Quadranten-Vorzeichen weglässt und nie einen positiven Radikanden für einen negativen Halbwinkel erfindet.

Notebooks und Signal-Pipelines

Berechnen Sie sin(θ/2) aus gemessenen Vollwinkeln in Kalibrier-Skripten, ohne ein vollständiges CAS zu importieren oder Radikanden-Grenzfälle neu zu implementieren.

Häufige Fragen

Wie berechne ich den Sinus der Hälfte eines Winkels?

Senden Sie einen endlichen Winkel und optional unit (Standard deg, oder rad).

Warum steht in der Halbwinkel-Formel ein Plus-minus?

Die Quadratwurzel liefert nur den Betrag. Das korrekte Vorzeichen ist das des tatsächlichen sin(θ/2) auf dem Einheitskreis, das dieser Rechner automatisch wählt.

Kann ich den Winkel in Radiant eingeben?

Ja. Setzen Sie unit auf rad oder radians. Grad verwenden deg oder degrees (Standard).

Wie groß ist der Sinus der Hälfte von 90 Grad?

Die Hälfte von 90° sind 45°, im ersten Quadranten, daher ist der Sinus positiv: eins durch die Wurzel aus zwei. Der Rechner zeigt den halben Winkel außerdem in Grad und im Bogenmaß.

Warum ist das Ergebnis bei −90 Grad negativ?

Weil die Hälfte von −90° bei −45° liegt, also im vierten Quadranten, wo der Sinus negativ ist. Eine bloße Quadratwurzel würde fälschlich dieselbe positive Zahl wie bei 90° liefern.

Für Entwickler — API-Zugang

Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.

Endpunkt

POSThttps://api.kit.forhosting.com/trig/sin-half-angle

Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.

Aufruf aus Ihrem Stack

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/trig/sin-half-angle \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"angle":90}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/trig/sin-half-angle", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "angle": 90
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/trig/sin-half-angle",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "angle": 90
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/trig/sin-half-angle", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"angle":90}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"angle":90}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/trig/sin-half-angle", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

Beispiel-Anfrage

{
  "angle": 90
}

Beispiel-Antwort

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "trig.sin_half_angle",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.

Preis

pro Anfrage$0.002

Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.

Fehler

HTTP	Code	Bedeutung
`401`	`unauthorized`	Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer).
`402`	`insufficient_balance`	Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht.
`404`	`unknown_type`	Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog.
`429`	`rate_limited`	Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.

Technische Hinweise

Eingabevertrag, Einheiten, Antwortform und Validierungsfehler

Grad werden mit dem Standardfaktor π durch 180 in Radiant umgerechnet, bevor irgendein Kosinus berechnet wird. Kombinieren Sie die Antwort mit Ihrer eigenen Grafik, falls Sie eine Skizze brauchen; dieser Endpunkt liefert nur Zahlen und erzeugt weder Plots noch mehrstufige Prosa jenseits des formula-Feldes. Senden Sie einen JSON-Körper mit einer erforderlichen endlichen Zahl angle (Aliase theta oder value) und einer optionalen unit-Zeichenkette, die standardmäßig deg ist. Akzeptierte Einheitenwerte sind deg, degrees, rad und radians; andere Zeichenketten scheitern mit invalid_input. Bei Erfolg enthält der Körper den zurückgegebenen Winkel und die Einheit, angle_rad und angle_deg für die Anzeige in beiden Systemen, half_angle_rad und half_angle_deg für die exakte Hälfte, sin_half als vorzeichenbehafteten numerischen Sinus gerundet auf zwölf Dezimalstellen für stabile Goldens über JavaScript-Engines, cos_theta aus der Identität, half_quadrant als 1 bis 4 oder ein Achsenlabel wie positive_x sowie eine kurze formula-Zeichenkette, die die Identität erneut formuliert. Fehlendes angle, leere Zeichenketten, Infinity, NaN und nichtnumerische Typen scheitern alle mit invalid_input unter Nennung des Feldes; diese Fehler werden nicht abgerechnet. Beispiel: angle 90 mit unit deg liefert half_angle_deg 45 und sin_half etwa 0.707106781187 im Quadranten 1. Beispiel: angle π mit unit rad liefert half_angle_rad etwa 1.5708 und sin_half gleich 1 auf der positiven y-Achse.

Wo eine dedizierte Sinus-Halbwinkel-API ihren Nutzen hat

Unterrichtsräume und Tutoring-Plattformen nutzen einen Sinus-Halbwinkel-Rechner, damit Lernende den vorzeichenbehafteten Radikanden gegen Lehrbuchantworten prüfen, ohne das Plus-minus von Hand umzudrehen. Prüfungsgeneratoren brauchen ein deterministisches Orakel, das eine stets positive Wurzel als falsch markiert, wenn der Halbwinkel im dritten oder vierten Quadranten liegt. Fehlgeschlagene Validierung wird nicht abgerechnet. Physik- und Signal-Notebooks reduzieren Doppelwinkel-Messungen oft auf den Sinus der Hälfte beim Integrieren, Vereinfachen von Radikanden oder Abstimmen phasenempfindlicher Sensorablesungen; der Aufruf einer kleinen parse-API erspart ein vollständiges Computer-Algebra-System für eine einzige Identität. Weil die Implementierung reines parse der Stufe A ist, kostet jeder erfolgreiche Aufruf den veröffentlichten Basispreis $0.002 ohne Modell-Tokens und ohne ausgehendes Netz. Halten Sie Anfragen klein, pinnen Sie den gerundeten sin_half in Tests und Sie erhalten reproduzierbare vorzeichenbehaftete Halbwinkel-Sinuswerte für Hausaufgaben, LMS-Plugins und Edge-Worker, ohne eigene symbolische Infrastruktur aufzubauen.

Technische Fragen

Was passiert, wenn angle fehlt oder keine Zahl ist?

Die Aufgabe scheitert mit invalid_input und wird nicht abgerechnet. Geben Sie eine endliche Zahl für angle an (Aliase theta, value).

Was kostet der Sinus-Halbwinkel-Rechner?

Das Browser-Tool ist kostenlos. API-Anfragen nutzen vorausbezahltes KIT-Guthaben zu $0.002 pro erfolgreichem Aufruf; ungültige Eingabe wird nicht abgerechnet.

Vollständige KIT-Dokumentation lesen →