Potenzreduktionsformeln
Schreiben Sie Sinus oder Kosinus zum Quadrat als Kosinus des doppelten Winkels und erhalten Sie die Zahl: sin² von 30 Grad ist 0,25, weil der Kosinus von 60 Grad ein Halb ist. Auch für tan², in Grad oder Bogenmaß. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- Funktion
- Sin
- Winkel
- 30
- Identität
- (1 - cos(2θ)) / 2 deg
- Doppelwinkel
- 60
- Gekürzt
- 0,25
Potenzreduktionsformeln schreiben einen Sinus im Quadrat oder einen Kosinus im Quadrat als Kosinus erster Potenz des Doppelwinkels um — die Form, die Lernende direkt nach den Doppelwinkelformeln kennenlernen und die Integratoren brauchen, bevor sie eine Potenz von Sinus oder Kosinus integrieren. Hausaufgaben, Wettbewerbsübungen, Fourier-Notizbücher und Grafikcode brauchen denselben Zahlenwert von Sinus im Quadrat von Theta oder Kosinus im Quadrat von Theta aus einem einzigen Maß in Grad oder Bogenmaß, mit einem klaren Fehler, wenn der Funktionsname keine der unterstützten Identitäten ist. Diese Kapazität nimmt einen Funktionsnamen, einen endlichen Winkel und eine optionale Einheit entgegen, wendet die passende Potenzreduktionsidentität deterministisch an und liefert den reduzierten Zahlenwert zusammen mit der Identitätszeichenkette, die ihn erzeugt hat.
Was Potenzreduktionsformeln sind und welche Funktionen sie abdecken
In der Trigonometrie schreibt eine Potenzreduktionsidentität eine quadrierte Kreisfunktion als Ausdruck um, der nur die erste Potenz des Kosinus des doppelten ursprünglichen Winkels enthält. Die drei hier verwendeten Lehrbuchidentitäten lauten: Sinus im Quadrat von Theta gleich eins minus Kosinus von zwei Theta, alles durch zwei; Kosinus im Quadrat von Theta gleich eins plus Kosinus von zwei Theta, alles durch zwei; und Tangens im Quadrat von Theta gleich eins minus Kosinus von zwei Theta durch eins plus Kosinus von zwei Theta, sobald dieser Nenner von null verschieden ist.
Die Suchabsicht bündelt sich um Potenzreduktionsformeln, Potenzreduktionsformel, Identität für Sinus im Quadrat, Kosinus im Quadrat von Theta, Sinus im Quadrat von x reduzieren und Potenzreduktionsrechner. Lernende wollen eine Zahl zum Abgleich mit dem Hausaufgabenschlüssel, nicht nur eine symbolische Umformung an der Tafel. Die Identitäten sind algebraisch äquivalent zum vertrauteren pythagoreischen Paar Sinus im Quadrat plus Kosinus im Quadrat gleich eins, isolieren aber eine einzelne quadrierte Funktion und ersetzen sie durch einen linearen Kosinus des Doppelwinkels — genau das, was eine spätere Integration oder ein Fourier-Koeffizient braucht.
Tangens im Quadrat ist undefiniert, wenn eins plus Kosinus von zwei Theta null ist, was eintritt, wenn Theta ein ungerades Vielfaches von pi durch zwei ist —klassische Beispiele sind neunzig Grad und zweihundertsiebzig Grad.
Wo die Potenzreduktion wirklich hilft
Nutzen Sie das kostenlose Browser-Werkzeug, wenn Sie einen sofortigen reduzierten Wert wollen, um Hausaufgaben zu prüfen, eine Einheitskreis-Skizze zu verifizieren oder die Umformung eines Integranden zu bestätigen, ohne ein Computer-Algebra-System zu installieren. Die Ergebnisse sind vollständig deterministisch: dieselbe Funktion, derselbe Winkel und dieselbe Einheit liefern stets dieselbe reduzierte Zahl. Es gibt kein Sprachmodell, keinen externen Algebradienst und keine Zufälligkeit, sodass die Kapazität sicher in Continuous-Integration-Prüfungen und reproduzierbaren Unterrichtsmaterialien festgenagelt werden kann.
Die Grenzen sind Absicht: dieser Endpunkt expandiert keine höheren geraden Potenzen wie Sinus hoch vier, löst keine inversen trigonometrischen Gleichungen und liefert keine exakten symbolischen Radikale. Wenn Sie ein Doppelwinkel-Tripel oder ein Halbwinkel-Radikal brauchen, sind das andere Suchabsichten auf eigenen Seiten. Verdrahten Sie den Endpunkt in Potenzreduktionsübungen, Integralvorbereitungsblätter, Fourier-Hausaufgabenprüfer und Animationshelfer, die einen quadrierten Sinus oder Kosinus als Kosinus erster Potenz der verdoppelten Richtung brauchen.
Anwendungsfälle
Schulübungen zur Potenzreduktion
Lernende und Bewerter bestätigen sin²(θ) und cos²(θ) in Grad oder Bogenmaß, mit klarer Ablehnung, wenn die genannte Funktion nicht unterstützt wird.
Vorbereitung von Integralen und Fourier
Notizbücher, die einen quadrierten Sinus oder Kosinus vor dem Integrieren oder dem Ziehen eines Koeffizienten umschreiben, rufen ein deterministisches Potenzreduktionsorakel auf, statt die Identitäten neu zu implementieren.
Häufige Fragen
Welche Potenzreduktionsformeln wendet dieser Rechner an?
Er wendet sin²(θ) = (1 − cos(2θ)) / 2, cos²(θ) = (1 + cos(2θ)) / 2 und tan²(θ) = (1 − cos(2θ)) / (1 + cos(2θ)) an, wenn der Nenner von null verschieden ist. Senden Sie func als sin, cos oder tan plus einen endlichen Winkel.
Was geschieht, wenn ich eine nicht unterstützte Funktion sende?
Nur sin, cos und tan werden unterstützt; Namen wie sec, csc, cot oder sinh werden abgelehnt und nicht berechnet.
Muss der Winkel in Grad vorliegen?
Grad ist der Standard. Setzen Sie unit auf rad, wenn das Maß bereits im Bogenmaß vorliegt. Der reduzierte Wert ist einheitenlos; unit skaliert nur, wie θ interpretiert wird.
Wann ist Tangens im Quadrat undefiniert?
Wenn 1 + cos(2θ) null ist, was bei ungeraden Vielfachen von π/2 wie 90° eintritt.
Wozu schreibt man Sinus zum Quadrat als Kosinus des doppelten Winkels?
Um das Quadrat loszuwerden: Die reduzierte Form enthält nur noch den Kosinus des doppelten Winkels, ohne Potenz. Genau diese Form brauchen Sie, bevor Sie einen quadrierten Sinus oder Kosinus integrieren oder einen Fourier-Koeffizienten berechnen.
Wann ist der Tangens zum Quadrat nicht definiert?
Wenn eins plus der Kosinus des doppelten Winkels null ergibt, also bei ungeraden Vielfachen von π/2, etwa bei neunzig Grad. Statt eines unendlichen Werts meldet das Werkzeug dann deutlich, dass es kein Ergebnis gibt.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/power-reducing \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"func":"sin","angle":30}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/power-reducing", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"func": "sin",
"angle": 30
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/power-reducing",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"func": "sin",
"angle": 30
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/power-reducing", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"func":"sin","angle":30}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"func":"sin","angle":30}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/power-reducing", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"func": "sin",
"angle": 30
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.power_reducing",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Nicht unterstützte Namen wie Sekans oder Kosekans scheitern mit invalid_input und werden nicht berechnet.
Was Potenzreduktionsformeln sind und welche Funktionen sie abdecken
Diesen Definitionsbereichsfehler und einen nicht unterstützten Funktionsnamen wie Sekans oder hyperbolischen Sinus als invalid_input zu melden ist nützlicher als Unendlich oder eine stille leere Nutzlast zurückzugeben, weil Lösungsschlüssel und automatische Bewerter einen stabilen Fehlercode brauchen statt einer nichtendlichen JSON-Zahl, die einen nachgelagerten Verbraucher brechen kann.
Wie dieser Rechner die Eingabe prüft, die Identitäten anwendet und die Antwort formt
Func muss eine unterstützte Funktion nennen: sin, cos oder tan. Unit ist standardmäßig deg; setzen Sie unit auf rad, wenn das Maß bereits im Bogenmaß vorliegt. Intern wird der Winkel nur für den Kosinus des Doppelwinkels in Bogenmaß umgerechnet, danach wird die passende Identität genau wie im Lehrbuch angewendet: Sinus im Quadrat nutzt eins minus Kosinus von zwei Theta durch zwei, Kosinus im Quadrat nutzt eins plus Kosinus von zwei Theta durch zwei, und Tangens im Quadrat nutzt deren Quotient nach einer strengen Nähe-zu-null-Prüfung am Nenner. Senden Sie einen JSON-Körper mit den Pflichtfeldern func und angle sowie einem optionalen unit. Übliche Aliasse wie sine, cosine, tangent, sin two und sin caret two werden akzeptiert, damit Unterrichtsvorlagen nicht umgeschrieben werden müssen; jede andere Zeichenkette, einschließlich sec, csc, cot, sinh oder eines leeren Werts, scheitert mit invalid_input und der Aussage, dass die Funktion nicht unterstützt wird. Angle muss eine endliche Zahl sein; JSON-Zahlen und numerische Zeichenketten werden akzeptiert; Wörter, leere Zeichenketten, null, Unendlich und NaN scheitern, bevor irgendeine Identität läuft. Ergebnisse werden auf eine stabile Zwölf-Dezimalstellen-Präzision gerundet, sodass dieselbe Eingabe stets dasselbe JSON liefert, auch bei Bogenmaß-Werten, die in binärer Gleitkommaarithmetik nicht exakt darstellbar sind. Ein typischer Erfolgspfad ist func sin und angle dreißig Grad, was reduced ein Viertel liefert, weil der Kosinus von sechzig Grad einhalb ist. Die Antwort spiegelt func, angle und unit wider, meldet double_angle als das Doppelte der Eingabe in derselben Einheit und enthält die Zeichenketten identity und formula, damit ein Notizbuch die Umformung neben dem Zahlenwert anzeigen kann, ohne erneut abzuleiten, welche Identitätsfamilie verwendet wurde.
Wo eine Potenzreduktions-API ihren Platz verdient und was sie kostet
Nutzen Sie die API, wenn ein Skript, eine Unterrichtsplattform, ein Wettbewerbsbewerter oder ein Notizbuch stabiles JSON für viele Winkel unter einem einzigen Vertrag braucht. Jede erfolgreiche Anfrage ist ein abrechenbarer Posten zu $0.002; fehlgeschlagene Validierung —einschließlich eines nicht unterstützten Funktionsnamens und eines undefinierten Tangens im Quadrat— wird nicht berechnet. Akzeptierte Eingabe ist jedes endliche reelle Maß in Grad oder Bogenmaß zusammen mit einem der drei unterstützten Funktionsnamen; die Antwort liefert reduced als primären Zahlenwert sowie identity, formula und double_angle.
Integrationsbeispiele
Deterministische Fixtures für Trigonometrieprüfungen
Pipelines, die Unit-Tests oder interaktive Einheitskreis-Demos säen, holen einen stabilen reduzierten Wert als strukturiertes JSON, ohne von einem Computer-Algebra-System abzuhängen.
Technische Fragen
Was kostet der Potenzreduktionsrechner?
Das Browser-Werkzeug ist kostenlos. API-Anfragen nutzen vorausbezahltes KIT-Guthaben zu $0.002 je erfolgreichem Aufruf; ungültige Eingabe wird nicht berechnet.