Trigonometrische Identitäten
Bei 30° ergibt sin² + cos² genau 1, und die Doppelwinkelformeln liefern Sinus und Kosinus von 60°. Geben Sie einen Winkel in Grad oder im Bogenmaß ein und sehen Sie beide Identitätsgruppen ausgewertet, mit Prüfung, ob jede gilt. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- Winkel
- 30
- Bogenmaß
- 0,5235987756 deg
- Sin
- 0,5
- Cos
- 0,8660254038
- Sin2 plus cos2
- 1
Die grundlegenden trigonometrischen Identitäten sind die algebraischen Beziehungen, die Sinus, Kosinus und Tangens stets erfüllen, sobald der Winkel im Definitionsbereich jeder Funktion liegt, und sie sind der erste Werkzeugkasten, nach dem Lernende nach dem Einheitskreis greifen. Die zwei Familien, die Hausaufgaben und Wettbewerbsübungen wirklich nutzen, sind die pythagoreischen Identitäten, die bei Sinus im Quadrat plus Kosinus im Quadrat gleich eins beginnen, und die Doppelwinkelidentitäten, die Sinus, Kosinus und Tangens des doppelten Winkels durch den ursprünglichen Winkel ausdrücken. Dieser Rechner nimmt ein endliches Maß in Grad oder Bogenmaß entgegen, wertet beide Familien an diesem Winkel aus und liefert die berechneten Identitätswerte samt Residuenprüfungen, damit Lernende oder Bewerter sehen, dass die Identitäten numerisch gelten.
Was pythagoreische und Doppelwinkelidentitäten sind und was diese Seite liefert
In der Trigonometrie ist eine Identität eine Gleichheit, die für jeden Winkel im gemeinsamen Definitionsbereich der genannten Funktionen gilt. Die pythagoreische Familie beginnt mit Sinus im Quadrat von Theta plus Kosinus im Quadrat von Theta gleich eins, der Einheitskreisaussage, dass ein Punkt mit den Koordinaten Kosinus von Theta und Sinus von Theta auf dem Kreis vom Radius eins liegt.
Division dieser Beziehung durch Kosinus im Quadrat oder durch Sinus im Quadrat ergibt die zwei Begleitformen eins plus Tangens im Quadrat gleich Sekans im Quadrat und eins plus Kotangens im Quadrat gleich Kosekans im Quadrat, jeweils nur dort definiert, wo der Teiler von null verschieden ist.
Die Doppelwinkelfamilie ist der nächste Block eines typischen Lehrplans: Sinus von zwei Theta gleich zweimal Sinus mal Kosinus; Kosinus von zwei Theta gleich Kosinus im Quadrat minus Sinus im Quadrat, oder die zwei gleichwertigen Umschreibungen zweimal Kosinus im Quadrat minus eins und eins minus zweimal Sinus im Quadrat; und Tangens von zwei Theta gleich zwei Tangens durch eins minus Tangens im Quadrat, sobald dieser Nenner von null verschieden ist. Die Suchabsicht bündelt sich um trigonometrische Identitäten, Identitätenrechner, pythagoreische Identität, Sinus von zwei Theta und Doppelwinkelformel prüfen.
Lernende wollen die Zahlenwerte dieser Identitäten an einem konkreten Winkel zum Abgleich mit dem Hausaufgabenschlüssel, nicht nur eine Umformung an der Tafel. Diese Seite wertet beide Familien gemeinsam aus, sodass eine einzige Anfrage die pythagoreische Summe, das Doppelwinkel-Tripel und Residuenflags liefert — eine andere Aufgabe als ein nur-Residuen-Prüfer oder ein nur-Doppelwinkel-Tripel.
Wofür sich die Prüfung der Identitäten lohnt
Nutzen Sie das kostenlose Browser-Werkzeug, wenn Sie eine sofortige Identitätstabelle wollen, um Hausaufgaben zu prüfen, eine Einheitskreis-Skizze zu verifizieren oder zu bestätigen, dass eine Doppelwinkel-Umschreibung noch mit Sinus und Kosinus der verdoppelten Richtung übereinstimmt, ohne ein Computer-Algebra-System zu installieren. Akzeptierte Eingabe ist jedes endliche reelle Maß in Grad oder Bogenmaß; die Antwort liefert die berechneten pythagoreischen und Doppelwinkelwerte, Residuenflags und die optionalen Begleiter nur, wenn sie definiert sind. Es gibt kein Sprachmodell, keinen externen Algebradienst und keine Zufälligkeit, sodass die Kapazität sicher in Continuous-Integration-Prüfungen und reproduzierbaren Unterrichtsmaterialien festgenagelt werden kann.
Die Grenzen sind Absicht: dieser Endpunkt expandiert keine benannte quadrierte Funktion zu einem Kosinus erster Potenz des Doppelwinkels, löst keine inversen trigonometrischen Gleichungen und liefert keine exakten symbolischen Radikale. Das sind andere Suchabsichten auf eigenen Seiten. Verdrahten Sie den Endpunkt in Identitätsübungen, Einheitskreis-Demos, Wettbewerbs-Antwortprüfer und Animationshelfer, die sowohl eine pythagoreische Prüfung als auch ein Doppelwinkel-Tripel aus einer Richtung brauchen.
Anwendungsfälle
Hausaufgaben zu Identitäten
Lernende und Bewerter bestätigen sin²(θ)+cos²(θ)=1 und die Doppelwinkelwerte an einem Grad- oder Bogenmaß, wobei undefinierte Begleiter weggelassen statt als Unendlich zurückgegeben werden.
Notizbücher und Animationsrichtungen
Skripte, die sowohl eine Einheitskreisprüfung als auch sin(2θ), cos(2θ) aus einer Richtung brauchen, rufen eine reine Identitätstabelle auf, statt zwei Formelfamilien neu zu implementieren.
Häufige Fragen
Welche trigonometrischen Identitäten wertet dieser Rechner aus?
Die pythagoreische Identität sin²(θ)+cos²(θ)=1, die Begleiter 1+tan²(θ)=sec²(θ) und 1+cot²(θ)=csc²(θ) sofern definiert, und die Doppelwinkelidentitäten sin(2θ)=2sin(θ)cos(θ), cos(2θ)=cos²(θ)−sin²(θ) sowie tan(2θ) sofern definiert. Senden Sie einen endlichen Winkel.
Was geschieht, wenn der Winkel keine endliche Zahl ist?
Fehlende, leere, nichtnumerische, unendliche und NaN-Winkel werden abgelehnt und nicht berechnet.
Muss der Winkel in Grad angegeben werden?
Grad ist der Standard. Setzen Sie unit auf rad, wenn das Maß bereits im Bogenmaß vorliegt. Identitätswerte sind einheitenlos; unit skaliert nur, wie θ gelesen wird.
Was geschieht bei 90° oder 45°, wo manche Identitäten undefiniert sind?
Definierte Werte werden weiterhin geliefert. Tangens und die tan-sec-Begleitung entfallen bei 90°; Tangens von zwei Theta entfällt bei 45°, wo cos(2θ) null ist. Diese Auslassungen sind keine berechneten Fehler.
Was bedeutet der Rest im Ergebnis?
Er ist die Differenz zwischen sin² + cos² und 1 bei Ihrem Winkel. Ein Rest von null wie bei 30° bedeutet, dass die Identität exakt gilt; jeder andere Wert zeigte, wie weit die Zahlen von der Lehrbuchregel abweichen.
Was passiert bei 90° oder 45°, wo manche Identitäten nicht definiert sind?
Die betroffenen Werte werden einfach weggelassen statt als unendlich angezeigt. Bei 90° ist der Kosinus null, also entfallen Tangens und die Tangensform; bei 45° ist der doppelte Winkel 90°, also entfällt der Tangens des Doppelwinkels.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/trig-identities \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"angle":30}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/trig-identities", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"angle": 30
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/trig-identities",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"angle": 30
},
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task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/trig-identities", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"angle":30}',
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]));
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req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/trig-identities", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"angle": 30
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.trig_identities",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Ein fehlender oder nichtendlicher Winkel scheitert mit invalid_input und wird nicht berechnet.
Was pythagoreische und Doppelwinkelidentitäten sind und was diese Seite liefert
Begleitwerte wie Tangens, Kotangens und Tangens von zwei Theta werden weggelassen, wenn sie undefiniert sind, statt als Unendlich zurückgegeben zu werden, weil eine nichtendliche JSON-Zahl ein schlechterer Vertrag ist als ein fehlendes optionales Feld.
Wie dieser Rechner die Eingabe prüft, die Identitäten anwendet und die Antwort formt
Unit ist standardmäßig deg; setzen Sie unit auf rad, wenn das Maß bereits im Bogenmaß vorliegt. Intern wird der Winkel nur für den Bibliotheks-Sinus und -Kosinus in Bogenmaß umgerechnet, danach werden die Identitäten genau wie im Lehrbuch angewendet: die pythagoreische Summe ist Sinus im Quadrat plus Kosinus im Quadrat, verglichen mit eins, um ein Residuum und ein Gültigkeitsflag zu erzeugen; Sinus von zwei Theta ist das Doppelte des Produkts aus Sinus und Kosinus; Kosinus von zwei Theta ist Kosinus im Quadrat minus Sinus im Quadrat; und diese zwei Identitätswerte werden mit dem Bibliotheks-Sinus und -Kosinus des verdoppelten Maßes verglichen, damit ein Client behaupten kann, dass die Umschreibung mit der Auswertung des verdoppelten Winkels übereinstimmt. Der Tangens des ursprünglichen Winkels und die Begleitung eins plus Tangens im Quadrat versus Sekans im Quadrat erscheinen nur, wenn der Kosinus sicher von null entfernt ist; Kotangens und die Begleitung eins plus Kotangens im Quadrat versus Kosekans im Quadrat erscheinen nur, wenn der Sinus sicher von null entfernt ist; Tangens von zwei Theta erscheint nur, wenn der Kosinus von zwei Theta sicher von null entfernt ist. Ein typischer Erfolgspfad ist angle dreißig Grad, was Sinus einhalb, Kosinus Wurzel drei durch zwei, pythagoreische Summe eins, Sinus von sechzig gleich Wurzel drei durch zwei und Kosinus von sechzig gleich einhalb liefert. Senden Sie einen JSON-Körper mit dem Pflichtfeld angle und dem optionalen Feld unit. Angle muss eine endliche Zahl sein; JSON-Zahlen und numerische Zeichenketten werden akzeptiert, und die üblichen Aliasse theta und x werden als dasselbe Feld gelesen. Wörter, leere Zeichenketten, null, Unendlich und NaN scheitern mit invalid_input, das den Winkel nennt, und diese fehlgeschlagenen Aufrufe werden nicht berechnet. Ergebnisse werden auf eine stabile Zwölf-Dezimalstellen-Präzision gerundet, sodass dieselbe Eingabe stets dasselbe JSON liefert, auch bei Bogenmaß-Werten, die in binärer Gleitkommaarithmetik nicht exakt darstellbar sind. Die Antwort spiegelt außerdem angle, unit und radians wider, meldet double_angle als das Doppelte der Eingabe in derselben Einheit und enthält kurze Identitätszeichenketten, damit ein Notizbuch die Umschreibung neben den Zahlenwerten anzeigen kann.
Wo eine kombinierte Identitäten-API ihren Platz verdient und was sie kostet
Nutzen Sie die API, wenn ein Skript, eine Unterrichtsplattform, ein Wettbewerbsbewerter oder ein Notizbuch stabiles JSON für viele Winkel unter einem einzigen Vertrag braucht, der beide Familien abdeckt. Jede erfolgreiche Anfrage ist ein abrechenbarer Posten zu $0.002; fehlgeschlagene Validierung, einschließlich eines fehlenden oder nichtendlichen Winkels, wird nicht berechnet. Die Ergebnisse sind vollständig deterministisch: derselbe Winkel und dieselbe Einheit liefern stets dasselbe JSON.
Integrationsbeispiele
Unterrichtsplattformen und Wettbewerbsbewerter
Ein deterministisches Orakel bewertet pythagoreische und Doppelwinkelaufgaben aus einem einzigen JSON-Vertrag und lehnt einen nichtendlichen Winkel mit invalid_input ab statt einer stillen leeren Nutzlast.
Technische Fragen
Was kostet der Rechner für trigonometrische Identitäten?
Das Browser-Werkzeug ist kostenlos. API-Anfragen nutzen vorausbezahltes KIT-Guthaben zu $0.002 je erfolgreichem Aufruf; ein nichtendlicher oder fehlender Winkel wird nicht berechnet.