Identités trigonométriques
À 30°, sin² + cos² donne exactement 1 et les formules de l'angle double redonnent le sinus et le cosinus de 60°. Saisissez un angle en degrés ou en radians et voyez les deux familles d'identités évaluées, avec la vérification que chacune se vérifie. Gratuit dans votre navigateur.
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Exemple résolu
- Angle
- 30
- Radians
- 0,5235987756 deg
- Sin
- 0,5
- Cos
- 0,8660254038
- Sin2 plus cos2
- 1
Les identités trigonométriques fondamentales sont les relations algébriques que le sinus, le cosinus et la tangente satisfont toujours dès que l'angle est dans le domaine de chaque fonction, et elles forment la première boîte à outils à laquelle l'élève recourt après le cercle trigonométrique. Les deux familles que les devoirs et les exercices de concours utilisent vraiment sont les identités pythagoriciennes, qui partent du sinus au carré plus le cosinus au carré égal à un, et celles de l'angle double, qui réécrivent le sinus, le cosinus et la tangente du double d'un angle en fonction de l'angle d'origine. Cette calculatrice prend une mesure finie en degrés ou en radians, évalue les deux familles à cet angle et renvoie les valeurs d'identité avec des contrôles de résidu afin qu'un apprenant ou un correcteur voie qu'elles tiennent numériquement.
Ce que sont les identités de Pythagore et d'angle double, et ce que cette page renvoie
En trigonométrie, une identité est une égalité qui tient pour tout angle dans le domaine commun des fonctions qu'elle nomme. La famille pythagoricienne commence par le sinus au carré de thêta plus le cosinus au carré de thêta égal à un, énoncé du cercle trigonométrique : un point dont les coordonnées sont le cosinus de thêta et le sinus de thêta se trouve sur le cercle de rayon un.
Diviser cette relation par le cosinus au carré ou par le sinus au carré produit les deux formes compagnes : un plus la tangente au carré égale à la sécante au carré, et un plus la cotangente au carré égale à la cosécante au carré, chacune définie seulement là où le diviseur est non nul.
La famille de l'angle double est le bloc suivant d'un programme typique : le sinus de deux thêta égale deux fois le produit du sinus et du cosinus ; le cosinus de deux thêta égale le cosinus au carré moins le sinus au carré, ou les deux réécritures équivalentes deux cosinus au carré moins un et un moins deux sinus au carré ; et la tangente de deux thêta égale deux tangentes sur un moins la tangente au carré dès que ce dénominateur est non nul.
L'intention de recherche se regroupe autour d'identités trigonométriques, calculatrice d'identités, identité de Pythagore, sinus de deux thêta et vérifier la formule de l'angle double. L'apprenant veut les valeurs numériques de ces identités à un angle concret pour les comparer à la clé du devoir, pas seulement une réécriture au tableau.
Cette page évalue les deux familles ensemble, de sorte qu'une seule requête renvoie la somme pythagoricienne, le triple d'angle double et les drapeaux de résidu, un travail distinct de celui d'un vérificateur de seuls résidus ou d'un triple d'angle double seul.
À quoi sert la vérification des identités
Utilisez l'outil gratuit du navigateur lorsque vous voulez une table d'identités immédiate pour vérifier un devoir, un croquis du cercle trigonométrique ou confirmer qu'une réécriture d'angle double coïncide encore avec le sinus et le cosinus du double du cap, sans installer un système de calcul formel. L'entrée acceptée est toute mesure réelle finie en degrés ou en radians ; la réponse renvoie les valeurs pythagoriciennes et d'angle double calculées, les drapeaux de résidu et les compagnes facultatives seulement lorsqu'elles sont définies.
Il n'y a ni modèle de langage, ni service d'algèbre externe, ni aléatoire, de sorte que la capacité peut être épinglée dans des contrôles d'intégration continue et des supports de cours reproductibles. Les limites sont volontaires : ce point de terminaison n'étend pas une fonction au carré nommée en un cosinus de première puissance de l'angle double, ne résout pas les équations de trigonométrie inverse et ne renvoie pas de radicaux symboliques exacts. Ce sont d'autres intentions de recherche, sur d'autres pages.
Branchez le point de terminaison sur des exercices d'identités, des démonstrations du cercle trigonométrique, des correcteurs de concours et des aides d'animation qui ont besoin à la fois d'un contrôle de Pythagore et d'un triple d'angle double à partir d'un seul cap.
Cas d’usage
Exercices scolaires d'identités
Élèves et correcteurs confirment sin²(θ)+cos²(θ)=1 et les valeurs d'angle double pour une mesure en degrés ou en radians, les compagnes indéfinies étant omises plutôt que renvoyées comme l'infini.
Carnets et caps d'animation
Les scripts qui ont besoin à la fois d'un contrôle du cercle trigonométrique et de sin(2θ), cos(2θ) à partir d'un cap appellent une table d'identités pure au lieu de réimplémenter deux familles de formules.
Questions fréquentes
Quelles identités trigonométriques cette calculatrice évalue-t-elle ?
L'identité de Pythagore sin²(θ)+cos²(θ)=1, les compagnes 1+tan²(θ)=sec²(θ) et 1+cot²(θ)=csc²(θ) lorsqu'elles sont définies, et les identités d'angle double sin(2θ)=2sin(θ)cos(θ), cos(2θ)=cos²(θ)−sin²(θ) et tan(2θ) lorsqu'elle est définie. Envoyez un angle fini.
Que se passe-t-il si l'angle n'est pas un nombre fini ?
Les angles manquants, vides, non numériques, infinis et NaN sont refusés et ne sont pas facturés.
L'angle doit-il être en degrés ?
Les degrés sont la valeur par défaut. Fixez unit à rad lorsque la mesure est déjà en radians. Les valeurs d'identité sont sans unité ; unit ne fait qu'échelonner l'interprétation de θ.
Que se passe-t-il à 90° ou 45°, où certaines identités sont indéfinies ?
Les valeurs définies sont toujours renvoyées. La tangente et la compagne tan-sec sont omises à 90° ; la tangente de deux thêta est omise à 45°, où cos(2θ) vaut zéro. Ces omissions ne sont pas des échecs facturés.
Que signifie le résidu affiché dans le résultat ?
C'est l'écart entre sin² + cos² et 1 pour votre angle. Un résidu nul, comme à 30°, indique que l'identité se vérifie exactement ; toute autre valeur montrerait de combien les nombres s'écartent de la règle du manuel.
Outils associés
Pour les développeurs — accès API
Tout sur cette page est disponible par programmation. Cette section s'adresse aux équipes qui veulent l'intégrer à leurs systèmes ; les autres peuvent simplement utiliser l'outil ci-dessus.
Endpoint
Authentification par jeton Bearer : un seul POST met la tâche en file d’attente, et le résultat vous parvient par webhook ou lien signé.
Appeler depuis votre stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/trig-identities \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"angle":30}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/trig-identities", {
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const { task_id } = await res.json();import os, requests
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$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/trig-identities", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
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req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/trig-identities", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemple de requête
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}Exemple de réponse
{
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"type": "math.trig_identities",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.
Tarifs
Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.
Erreurs
| HTTP | Code | Signification |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization. |
402 | insufficient_balance | Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche. |
404 | unknown_type | Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête. |
429 | rate_limited | Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez. |
Notes techniques
Un angle manquant ou non fini échoue avec invalid_input et n'est pas facturé.
Ce que sont les identités de Pythagore et d'angle double, et ce que cette page renvoie
Les valeurs compagnes telles que la tangente, la cotangente et la tangente de deux thêta sont omises lorsqu'elles sont indéfinies plutôt que renvoyées comme l'infini, car un nombre JSON non fini est un contrat pire qu'un champ facultatif absent.
Comment cette calculatrice valide l'entrée, applique les identités et façonne la réponse
Unit vaut deg par défaut ; fixez unit à rad lorsque la mesure est déjà en radians. En interne l'angle est converti en radians uniquement pour le sinus et le cosinus de la bibliothèque, puis les identités sont appliquées exactement comme dans un manuel : la somme pythagoricienne est le sinus au carré plus le cosinus au carré, comparée à un pour produire un résidu et un drapeau de tenue ; le sinus de deux thêta est le double du produit du sinus et du cosinus ; le cosinus de deux thêta est le cosinus au carré moins le sinus au carré ; et ces deux valeurs d'identité sont comparées au sinus et au cosinus de bibliothèque de la mesure doublée afin qu'un client puisse affirmer que la réécriture correspond à l'évaluation de l'angle doublé. La tangente de l'angle d'origine et la compagne un plus tangente au carré versus sécante au carré n'apparaissent que lorsque le cosinus est nettement loin de zéro ; la cotangente et la compagne un plus cotangente au carré versus cosécante au carré n'apparaissent que lorsque le sinus est nettement loin de zéro ; la tangente de deux thêta n'apparaît que lorsque le cosinus de deux thêta est nettement loin de zéro. Un chemin de succès typique est angle trente degrés, qui donne un sinus d'un demi, un cosinus égal à la racine de trois sur deux, une somme pythagoricienne de un, un sinus de soixante égal à la racine de trois sur deux et un cosinus de soixante égal à un demi. Envoyez un corps JSON avec le champ obligatoire angle et le champ facultatif unit. Angle doit être un nombre fini ; les nombres JSON et les chaînes numériques sont acceptés, et les alias courants theta et x sont lus comme le même champ. Les mots, chaînes vides, null, l'infini et NaN échouent avec invalid_input qui nomme l'angle, et ces appels échoués ne sont pas facturés. Les résultats sont arrondis à une précision stable de douze décimales afin que la même entrée produise toujours le même JSON, y compris pour des mesures en radians non représentables exactement en virgule flottante binaire. La réponse répète aussi angle, unit et radians, indique double_angle comme le double de l'entrée dans la même unité, et inclut de courtes chaînes d'identité afin qu'un carnet affiche la réécriture à côté des valeurs numériques.
Où une API combinée d'identités justifie son coût, et ce qu'elle coûte
Utilisez l'API lorsqu'un script, une plateforme de cours, un correcteur de concours ou un carnet a besoin d'un JSON stable pour de nombreux angles sous un seul contrat qui couvre les deux familles. Chaque requête réussie est un élément facturable à $0.002 ; la validation échouée, y compris un angle manquant ou non fini, ne consomme pas de solde. Les résultats sont pleinement déterministes : le même angle et la même unité produisent toujours le même JSON.
Cas d'intégration
Plateformes de cours et correcteurs de concours
Un oracle déterministe note les items de Pythagore et d'angle double à partir d'un seul contrat JSON et refuse un angle non fini avec invalid_input plutôt qu'une charge utile vide silencieuse.
Questions techniques
Combien coûte la calculatrice d'identités trigonométriques ?
L'outil du navigateur est gratuit. Les requêtes d'API utilisent le solde prépayé KIT à $0.002 par appel réussi ; un angle non fini ou manquant n'est pas facturé.