Identités de l'angle double : calculez sin(2x), cos(2x) et tan(2x)
Un angle en radians, les trois valeurs de l'angle double d'un coup : pour π/6 (0,5235987756), vous obtenez sin(2x) ≈ 0,8660254038, cos(2x) égal à 0,5 et tan(2x) ≈ 1,7320508076, chacune avec l'identité qui l'a produite. Gratuit dans votre navigateur.
- Gratuit
- Fonctionne dans votre navigateur
- Sans inscription
- Vos données restent sur votre appareil
Lancer gratuitement
Exemple résolu
- Angle
- 0,5235987756
- Angle double
- 1,0471975512
- Sin 2x
- 0,8660254038
- Cos 2x
- 0,5
- Tan 2x
- 1,7320508076
Les identités de l'angle double expriment le sinus, le cosinus et la tangente du double d'un angle en fonction du sinus et du cosinus de l'angle lui-même : sin(2x) vaut deux sin(x) cos(x), cos(2x) vaut cos²(x) moins sin²(x), et tan(2x) est leur quotient lorsque cos(2x) est non nul.
Ce que disent les identités de l'angle double et d'où elles viennent
Les identités de l'angle double sont le cas particulier des formules d'addition d'angles où les deux termes sont le même angle. En posant a et b égaux à x dans sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b), on obtient sin(2x) = 2 sin(x) cos(x). En faisant de même avec la formule d'addition du cosinus, on obtient cos(2x) = cos²(x) − sin²(x), que les manuels présentent aussi sous les formes équivalentes 2cos²(x) − 1 et 1 − 2sin²(x) via l'identité pythagoricienne.
L'identité de la tangente tan(2x) = sin(2x)/cos(2x) découle directement de la définition de la tangente comme quotient, et elle porte la seule vraie restriction de domaine de la famille : elle échoue exactement là où cos(2x) est nul, c'est-à-dire lorsque 2x est un multiple impair de π/2.
Ces trois formules sont les chevaux de trait des cours de trigonométrie, de la préparation aux concours et de tout pipeline numérique qui doit développer une rotation doublée — intégrateurs physiques, rotations graphiques, manipulation de Fourier — sans recourir à un système de calcul formel complet.
L'intention de recherche autour de ce sujet se concentre sur des expressions comme identités de l'angle double, formule sin 2x, identité cos 2x et évaluer un angle double en ligne, et ce que veulent les utilisateurs, c'est généralement un nombre concret à comparer à un corrigé, pas une nouvelle reformulation symbolique.
Cette capacité fournit exactement cela : une mesure finie en radians en entrée, trois valeurs d'identités évaluées en sortie, avec les formules rappelées dans la réponse pour que les consommateurs en aval puissent vérifier quelle famille d'identités a produit les nombres.
Comment cet évaluateur valide l'entrée et calcule les trois valeurs
Le contrat est un champ unique obligatoire, angle, interprété en radians. Une fois l'angle confirmé fini, le moteur calcule sin(x) et cos(x) avec la bibliothèque mathématique de la plateforme et applique les identités directement : sin(2x) comme le double du produit, cos(2x) comme la différence des carrés, et tan(2x) comme leur quotient après un contrôle strict de quasi-nullité de cos(2x).
Calculer la tangente via le quotient sinus-sur-cosinus, plutôt que via 2tan(x)/(1−tan²(x)), est délibéré : la forme en tan(x) échoue à tort lorsque cos(x) lui-même est nul, alors que tan(2x) y est parfaitement défini et vaut zéro, tandis que la forme en quotient traite tous les cas par un chemin de code unique et cohérent. Une vérification classique : l'angle π/6 (environ 0.5235987756 radians) renvoie sin(2x) = √3/2 ≈ 0.8660254038, cos(2x) = 0.5 et tan(2x) = √3 ≈ 1.7320508076.
Usage pratique, limites, tarification et canaux de diffusion
Utilisez l'outil gratuit du navigateur quand vous voulez les trois valeurs de l'angle double immédiatement, en corrigeant des devoirs, en vérifiant un tracé du cercle trigonométrique ou en confirmant une étape de rotation sans rien installer. Le calcul est entièrement déterministe : une entrée identique donne toujours une sortie identique, sans modèle de langage, sans service externe et sans aléatoire, ce qui permet d'épingler cette capacité dans des vérifications d'intégration continue et des supports pédagogiques reproductibles. Il y a deux limites honnêtes à connaître.
Premièrement, l'entrée est en radians uniquement — convertissez les degrés en multipliant par π/180 avant l'appel si vos données sources sont en degrés. Deuxièmement, le contrôle de quasi-nullité de cos(2x) traite les valeurs à moins de 1e-12 de zéro comme exactement nulles, de sorte que les angles extrêmement proches d'un multiple impair de π/4 sont signalés comme tangente indéfinie plutôt que comme une valeur finie astronomiquement grande, ce qui est le comportement que les correcteurs et les pipelines numériques préfèrent presque toujours.
Questions fréquentes
L'angle doit-il être en radians ?
Oui. L'entrée est interprétée en radians uniquement. Convertissez d'abord les degrés en multipliant par π/180 si vos données sources sont en degrés.
Quand tan(2x) est-elle indéfinie ?
Lorsque cos(2x) est nul — autrement dit lorsque 2x est un multiple impair de π/2, c'est-à-dire x un multiple impair de π/4.
Que se passe-t-il si l'angle n'est pas un nombre fini ?
Les valeurs non numériques, les chaînes vides, NaN et les infinis sont rejetés avant l'application de toute identité ; ces appels ne sont pas facturés.
L'outil des identités de l'angle double est-il gratuit ?
L'outil du navigateur s'exécute gratuitement sur votre appareil.
Pourquoi tan(2x) est-elle calculée comme sin(2x) divisé par cos(2x) ?
Parce que l'autre forme, fondée sur tan(x), échoue là où cos(x) vaut zéro, alors que tan(2x) y est parfaitement définie et vaut zéro. Diviser sin(2x) par cos(2x) traite tous les angles de la même façon.
Outils associés
Pour les développeurs — accès API
Tout sur cette page est disponible par programmation. Cette section s'adresse aux équipes qui veulent l'intégrer à leurs systèmes ; les autres peuvent simplement utiliser l'outil ci-dessus.
Endpoint
Authentification par jeton Bearer : un seul POST met la tâche en file d’attente, et le résultat vous parvient par webhook ou lien signé.
Appeler depuis votre stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/double-angle-identities \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"angle":0.5235987756}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/double-angle-identities", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"angle": 0.5235987756
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/double-angle-identities",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"angle": 0.5235987756
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/double-angle-identities", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"angle":0.5235987756}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"angle":0.5235987756}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/double-angle-identities", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemple de requête
{
"angle": 0.5235987756
}Exemple de réponse
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.double_angle_identities",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.
Tarifs
Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.
Erreurs
| HTTP | Code | Signification |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization. |
402 | insufficient_balance | Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche. |
404 | unknown_type | Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête. |
429 | rate_limited | Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez. |
Notes techniques
Cette capacité prend un angle fini en radians, évalue les trois identités de façon déterministe et renvoie les trois valeurs en JSON structuré. Les angles où la tangente du double est indéfinie — lorsque cos(2x) est nul — sont rejetés avec invalid_input et ne sont pas facturés.
Comment cet évaluateur valide l'entrée et calcule les trois valeurs
Les nombres JSON et les chaînes numériques telles que 0.5235987756 sont acceptés ; les mots, les chaînes vides, null, les booléens, NaN et l'infini positif ou négatif échouent tous avec invalid_input avant tout calcul trigonométrique, et une validation échouée n'est jamais facturée. Les résultats sont arrondis à dix décimales pour que la même entrée produise toujours un JSON identique à l'octet près, ce qui rend les exemples de référence stables d'une machine à l'autre malgré la virgule flottante binaire. La réponse rappelle l'angle d'entrée, indique double_angle comme 2x en radians, liste les trois formules d'identités utilisées et marque method comme double_angle_identities afin que les pipelines automatisés puissent vérifier la provenance sans redériver la famille de formules.
Usage pratique, limites, tarification et canaux de diffusion
Utilisez l'API quand un script, une plateforme pédagogique, un harnais de notation ou un notebook a besoin d'un JSON stable pour de nombreux angles sous un contrat unique et versionné. Chaque requête réussie est un élément facturable à $0.002 ; une validation échouée — y compris les angles où tan(2x) est indéfini — ne consomme pas de solde. L'entrée acceptée est tout nombre réel fini en radians pour lequel cos(2x) est non nul ; la réponse renvoie sin_2x, cos_2x, tan_2x, double_angle, les formules d'identités et le marqueur de méthode. Les intégrations typiques incluent des générateurs d'exercices sur l'angle double, des vérificateurs de corrigés, des assistants d'animation qui développent un cap doublé à partir d'une orientation de base, et tout pipeline en virgule flottante qui préfère des erreurs de domaine explicites à des infinis silencieux se propageant vers les consommateurs JSON en aval.
Cas d'intégration
Vérification des devoirs et des exercices
Élèves et correcteurs confirment sin(2x), cos(2x) et tan(2x) pour des mesures en radians, avec un rejet invalid_input clair lorsque tan(2x) est indéfini au lieu d'un infini silencieux.
Fixtures de test déterministes
Les pipelines qui alimentent des tests unitaires ou des démos interactives du cercle trigonométrique peuvent appeler un oracle pur de l'angle double au lieu de réimplémenter les identités et le contrôle d'asymptote dans chaque langage.
Mathématiques de rotation et d'animation
Les scripts qui ont besoin du sinus, du cosinus ou de la tangente d'un cap doublé récupèrent des valeurs flottantes stables et arrondies en JSON structuré pour les shaders, les journaux ou l'interface, sans dépendance de calcul formel.
Questions techniques
Comment évaluer les identités de l'angle double avec cette API ?
Envoyez le champ obligatoire angle, un nombre fini en radians, à math.double_angle_identities. La réponse renvoie sin_2x, cos_2x, tan_2x, l'angle doublé et les formules d'identités utilisées.