Identidades do Ângulo Duplo: sin(2x), cos(2x) e tan(2x) Online

As identidades do ângulo duplo reescrevem o seno, o cosseno e a tangente do dobro de um ângulo em termos do seno e do cosseno do próprio ângulo: sin(2x) é igual a dois sin(x) cos(x), cos(2x) é igual a cos²(x) menos sin²(x), e tan(2x) é a razão entre eles quando cos(2x) é diferente de zero.

O que dizem as identidades do ângulo duplo e de onde elas vêm

As identidades do ângulo duplo são o caso particular das fórmulas de adição de ângulos em que as duas parcelas são o mesmo ângulo. Fazendo a e b iguais a x em sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b), obtém-se sin(2x) = 2 sin(x) cos(x). O mesmo procedimento com a fórmula de adição do cosseno fornece cos(2x) = cos²(x) − sin²(x), que os livros didáticos também apresentam nas formas equivalentes 2cos²(x) − 1 e 1 − 2sin²(x) por meio da identidade pitagórica.

A identidade da tangente tan(2x) = sin(2x)/cos(2x) decorre diretamente da definição da tangente como quociente e carrega a única restrição real de domínio da família: ela falha exatamente onde cos(2x) é zero, ou seja, onde 2x é um múltiplo ímpar de π/2. Essas três fórmulas são as ferramentas básicas dos cursos de trigonometria, da preparação para olimpíadas e de qualquer pipeline numérico que precise expandir uma rotação duplicada — integradores de física, rotações gráficas, manipulação de Fourier — sem recorrer a um sistema completo de álgebra computacional.

A intenção de busca sobre o tema se concentra em expressões como identidades do ângulo duplo, fórmula de sin 2x, identidade de cos 2x e calcular ângulo duplo online, e o que os usuários querem em geral é um número concreto que possam conferir com um gabarito, não mais uma reformulação simbólica. Esta capacidade entrega exatamente isso: entra uma medida finita em radianos, saem os três valores das identidades avaliados, com as fórmulas reproduzidas na resposta para que os consumidores possam verificar qual família de identidades gerou os números.

Como este avaliador valida a entrada e calcula os três valores

O contrato é um único campo obrigatório, angle, interpretado como radianos. Uma vez confirmado que o ângulo é finito, o motor calcula sin(x) e cos(x) com a biblioteca matemática da plataforma e aplica as identidades diretamente: sin(2x) como o dobro do produto, cos(2x) como a diferença dos quadrados e tan(2x) como o quociente entre eles após uma verificação rigorosa de proximidade de zero em cos(2x).

Calcular a tangente pelo caminho seno sobre cosseno, em vez de 2tan(x)/(1−tan²(x)), é deliberado: a forma com tan(x) falha indevidamente quando o próprio cos(x) é zero, embora tan(2x) esteja perfeitamente definida ali e seja igual a zero, enquanto a forma de quociente trata todos os casos por um único caminho de código consistente. Uma verificação clássica: o ângulo π/6 (cerca de 0.5235987756 radianos) retorna sin(2x) = √3/2 ≈ 0.8660254038, cos(2x) = 0.5 e tan(2x) = √3 ≈ 1.7320508076.

Uso prático, limites, preços e canais de entrega

Use a ferramenta gratuita do navegador quando quiser os três valores do ângulo duplo imediatamente, ao conferir a lição de casa, verificar um esboço do círculo unitário ou confirmar uma etapa de rotação sem instalar nada. O cálculo é totalmente determinístico: entradas idênticas sempre produzem saídas idênticas, sem modelo de linguagem, sem serviço externo e sem aleatoriedade, o que torna a capacidade segura para fixar em verificações de integração contínua e em materiais didáticos reproduzíveis. Há dois limites honestos a conhecer.

Primeiro, a entrada é somente em radianos — converta graus multiplicando por π/180 antes de chamar, se os seus dados de origem estiverem em graus. Segundo, a verificação de domínio próximo de zero em cos(2x) trata valores a menos de 1e-12 de zero como exatamente zero, de modo que ângulos extremamente próximos de um múltiplo ímpar de π/4 são reportados como tangente indefinida, e não como um valor finito astronomicamente grande, que é o comportamento que corretores e pipelines numéricos quase sempre preferem.