Identità di duplicazione: calcola sin(2x), cos(2x) e tan(2x) online
Un angolo in radianti e i tre valori dell'angolo doppio in una volta: per π/6 (0,5235987756) ottiene sin(2x) ≈ 0,8660254038, cos(2x) pari a 0,5 e tan(2x) ≈ 1,7320508076, ciascuno con l'identità che lo ha prodotto. Gratis nel suo browser.
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Esempio risolto
- Angolo
- 0,5235987756
- Angolo doppio
- 1,0471975512
- Sin 2x
- 0,8660254038
- Cos 2x
- 0,5
- Tan 2x
- 1,7320508076
Le identità di duplicazione riscrivono seno, coseno e tangente del doppio di un angolo in funzione del seno e del coseno dell'angolo stesso: sin(2x) è uguale a due sin(x) cos(x), cos(2x) è uguale a cos²(x) meno sin²(x), e tan(2x) è il loro rapporto quando cos(2x) è diverso da zero.
Cosa dicono le identità di duplicazione e da dove derivano
Le identità di duplicazione sono il caso speciale delle formule di addizione degli angoli in cui i due addendi sono lo stesso angolo. Ponendo a e b uguali a x in sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b) si ottiene sin(2x) = 2 sin(x) cos(x). Procedendo allo stesso modo con la formula di addizione del coseno si ricava cos(2x) = cos²(x) − sin²(x), che i manuali presentano anche nelle forme equivalenti 2cos²(x) − 1 e 1 − 2sin²(x) tramite l'identità pitagorica.
L'identità della tangente tan(2x) = sin(2x)/cos(2x) segue direttamente dalla definizione di tangente come quoziente e porta con sé l'unica vera restrizione di dominio della famiglia: fallisce esattamente dove cos(2x) è zero, cioè dove 2x è un multiplo dispari di π/2. Queste tre formule sono gli strumenti di base dei corsi di trigonometria, della preparazione alle gare e di ogni pipeline numerica che debba espandere una rotazione raddoppiata — integratori fisici, rotazioni grafiche, manipolazioni di Fourier — senza ricorrere a un sistema di calcolo simbolico completo.
Le ricerche su questo argomento si concentrano su frasi come formule di duplicazione, formula di sin 2x, identità di cos 2x e calcola angolo doppio online, e ciò che gli utenti desiderano è di solito un numero concreto da confrontare con le soluzioni, non un'altra riformulazione simbolica. Questa capacità offre esattamente questo: una misura finita in radianti in ingresso, tre valori delle identità in uscita, con le formule riportate nella risposta così che i consumatori a valle possano verificare quale famiglia di identità ha prodotto i numeri.
Come questo valutatore valida l'input e calcola i tre valori
Il contratto prevede un unico campo obbligatorio, angle, interpretato come radianti. Una volta confermato che l'angolo è finito, il motore calcola sin(x) e cos(x) con la libreria matematica della piattaforma e applica direttamente le identità: sin(2x) come doppio del prodotto, cos(2x) come differenza di quadrati e tan(2x) come loro quoziente dopo un rigoroso controllo di prossimità allo zero su cos(2x).
Calcolare la tangente tramite il rapporto seno su coseno, anziché tramite 2tan(x)/(1−tan²(x)), è una scelta deliberata: la forma in tan(x) fallisce erroneamente quando cos(x) stesso è zero, anche se lì tan(2x) è perfettamente definita e vale zero, mentre la forma a quoziente gestisce ogni caso con un unico percorso di codice coerente. Un controllo classico: l'angolo π/6 (circa 0.5235987756 radianti) restituisce sin(2x) = √3/2 ≈ 0.8660254038, cos(2x) = 0.5 e tan(2x) = √3 ≈ 1.7320508076.
Uso pratico, limiti, prezzi e canali di erogazione
Usi lo strumento gratuito nel browser quando desidera subito i tre valori di duplicazione mentre controlla i compiti, verifica uno schizzo della circonferenza unitaria o conferma un passaggio di rotazione senza installare nulla. Il calcolo è completamente deterministico: input identici producono sempre output identici, senza modelli linguistici, senza servizi esterni e senza casualità, il che rende la capacità sicura da fissare nei controlli di integrazione continua e in materiali didattici riproducibili. Ci sono due limiti onesti da conoscere.
Primo, l'input è solo in radianti: converta i gradi moltiplicando per π/180 prima della chiamata se i suoi dati di origine sono in gradi. Secondo, il controllo di dominio vicino allo zero su cos(2x) tratta i valori entro 1e-12 da zero come esattamente zero, quindi gli angoli estremamente vicini a un multiplo dispari di π/4 sono segnalati come tangente non definita anziché come valore finito astronomicamente grande, comportamento che correttori e pipeline numeriche quasi sempre preferiscono.
Domande frequenti
L'angolo deve essere in radianti?
Sì. L'input è interpretato solo come radianti. Converta prima i gradi moltiplicando per π/180 se i suoi dati di origine sono in gradi.
Quando tan(2x) non è definita?
Quando cos(2x) è zero — equivalentemente quando 2x è un multiplo dispari di π/2, cioè x è un multiplo dispari di π/4.
Cosa succede se l'angolo non è un numero finito?
Valori non numerici, stringhe vuote, NaN e infiniti sono rifiutati prima che qualsiasi identità venga applicata; tali chiamate non sono addebitate.
Lo strumento per le identità di duplicazione è gratuito?
Lo strumento nel browser funziona gratuitamente sul suo dispositivo.
Perché tan(2x) si calcola come sin(2x) diviso cos(2x)?
Perché l'altra forma, basata su tan(x), fallisce dove cos(x) vale zero, anche se lì tan(2x) è ben definita e vale zero. Dividere sin(2x) per cos(2x) tratta tutti gli angoli allo stesso modo.
Strumenti correlati
Per sviluppatori — accesso via API
Tutto quello che vedi in questa pagina è disponibile anche via API. Questa sezione è per i team che vogliono integrarlo nei propri sistemi; chi non ne ha bisogno può semplicemente usare lo strumento qui sopra.
Endpoint
Autenticazione con Bearer token: un POST mette in coda l'attività e il risultato arriva via webhook o link firmato.
Chiamala dal tuo stack
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$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/double-angle-identities", false, stream_context_create([
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req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/double-angle-identities", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
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res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Esempio di richiesta
{
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}Esempio di risposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.double_angle_identities",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L'API è asincrona: ricevi subito un task_id e puoi fare polling fino a 1 richiesta al secondo.
Prezzi
Prezzo pubblicato, senza token né crediti. Se l'attività fallisce, non paghi.
Errori
| HTTP | Codice | Significato |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Chiave API mancante o non valida: controlla l'header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Credito esaurito: ricarica per continuare a eseguire attività. |
404 | unknown_type | Tipo di attività sconosciuto: controlla il campo type della richiesta. |
429 | rate_limited | Troppe richieste in poco tempo: rallenta e riprova tra qualche secondo. |
Note tecniche
Questa capacità accetta un angolo finito in radianti, valuta le tre identità in modo deterministico e restituisce i tre valori come JSON strutturato. Gli angoli in cui la tangente del doppio non è definita — quando cos(2x) è zero — vengono rifiutati con invalid_input e non sono addebitati.
Come questo valutatore valida l'input e calcola i tre valori
Sono accettati numeri JSON e stringhe numeriche come 0.5235987756; parole, stringhe vuote, null, booleani, NaN e infinito positivo o negativo falliscono tutti con invalid_input prima che qualsiasi trigonometria venga eseguita, e la validazione fallita non è mai addebitata. I risultati sono arrotondati a dieci cifre decimali, così lo stesso input produce sempre JSON byte-identico, ed è questo che rende gli esempi di riferimento stabili tra macchine diverse nonostante la virgola mobile binaria. La risposta riporta l'angolo in ingresso, indica double_angle come 2x in radianti, elenca le tre formule utilizzate e contrassegna method come double_angle_identities, così le pipeline automatizzate possono verificarne la provenienza senza ridedurre la famiglia di formule.
Uso pratico, limiti, prezzi e canali di erogazione
Usi l'API quando uno script, una piattaforma didattica, un correttore automatico o un notebook ha bisogno di JSON stabile per molti angoli sotto un unico contratto versionato. Ogni richiesta riuscita è un'unità fatturabile a $0.002; la validazione fallita — inclusi gli angoli in cui tan(2x) non è definita — non consuma saldo. L'input accettato è qualsiasi numero reale finito in radianti per cui cos(2x) sia diverso da zero; la risposta restituisce sin_2x, cos_2x, tan_2x, double_angle, le formule delle identità e il tag del metodo. Le integrazioni tipiche includono generatori di esercizi di duplicazione, verificatori di soluzioni, helper di animazione che espandono un orientamento raddoppiato da una direzione di base e qualsiasi pipeline in virgola mobile che preferisca errori di dominio espliciti a infiniti silenziosi che si propagano nei consumatori JSON a valle.
Casi di integrazione
Verifica di compiti ed esercitazioni
Studenti e correttori confermano sin(2x), cos(2x) e tan(2x) per misure in radianti, con un chiaro rifiuto invalid_input quando tan(2x) non è definita invece di un infinito silenzioso.
Fixture di test deterministiche
Le pipeline che alimentano test unitari o demo interattive della circonferenza unitaria possono chiamare un oracolo puro di duplicazione invece di reimplementare identità e controllo degli asintoti in ogni linguaggio.
Matematica per rotazioni e animazioni
Gli script che necessitano di seno, coseno o tangente di un orientamento raddoppiato ottengono valori in virgola mobile stabili e arrotondati come JSON strutturato per shader, log o UI senza dipendenze di calcolo simbolico.
Domande tecniche
Come valuto le identità di duplicazione con questa API?
Invii il campo obbligatorio angle, un numero finito in radianti, a math.double_angle_identities. La risposta restituisce sin_2x, cos_2x, tan_2x, l'angolo raddoppiato e le formule utilizzate.