Radici n-esime dell'unità
Le radici quarte dell’unità sono 1, i, -1 e -i, distribuite a 0°, 90°, 180° e 270° sulla circonferenza unitaria. Indichi un ordine n da 1 a 360 e ottenga ogni radice in forma polare e algebrica. Gratis nel suo browser.
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Esempio risolto
- N
- 4
- Equazione
- z^4=1
- Quantità
- 4
Le radici n-esime dell'unità sono i numeri complessi che soddisfano z elevato a n uguale a uno. Si dispongono in modo uniforme sulla circonferenza unitaria del piano complesso come vertici di un n-agono regolare, partendo da uno e avanzando di un angolo di due pi su n. Gli studenti le incontrano in algebra e analisi complessa quando fattorizzano polinomi ciclotomici, diagonalizzano matrici circolanti o applicano la trasformata discreta di Fourier. Ingegneri e codice di elaborazione del segnale necessitano della stessa lista in forma polare e rettangolare senza richiamare un intero sistema di algebra computazionale. Questo calcolatore delle radici n-esime dell'unità accetta un ordine intero positivo n, valuta cos e sin in due pi k su n per ogni indice k da zero a n meno uno, e restituisce modulo, argomento in radianti e gradi, una stringa polare in stile cis e una stringa rettangolare re più i im per ogni radice. L'algoritmo è puro e deterministico, così controlli sui compiti, plugin LMS e worker di edge concordano sempre sulle stesse coordinate arrotondate.
Cosa sono le radici n-esime dell'unità e come sono ordinate
Per definizione, un numero complesso omega è una radice n-esima dell'unità quando omega elevato a n è uguale a uno. Il teorema di De Moivre fornisce una parametrizzazione esplicita: si scrive uno in forma polare con modulo uno e argomento zero, poi si ottengono le n radici distinte distanziando l'argomento di due pi k su n per l'intero k da zero a n meno uno.
In forma rettangolare, omega pedice k è il coseno di due pi k su n più i per il seno di due pi k su n. Geometricamente i punti sono i vertici di un n-agono regolare inscritto nella circonferenza unitaria e includono sempre il reale uno quando k è zero.
Per n uguale a due le radici sono uno e meno uno; per n uguale a tre sono uno e la coppia familiare meno un mezzo più o meno i per la radice quadrata di tre su due; per n uguale a quattro sono uno, i, meno uno e meno i. Questa capacità restituisce le radici con k crescente, cioè in ordine antiorario dell'argomento, così i client possono tracciare o tabulare senza riordinare.
Ogni radice ha modulo esattamente uno (riportato come uno dopo l'arrotondamento stabile) e il prodotto di tutte è uno o meno uno a seconda che n sia dispari o pari, in accordo con il termine costante di z alla n meno uno.
Casi d'uso
Controlli di aula e compiti
Consenta agli studenti di inserire n e verificare tutte le radici n-esime dell'unità in forma polare e rettangolare rispetto alle espansioni di De Moivre del libro di testo.
Correzione automatica di esami e LMS
Valuti item di numeri complessi con un oracolo deterministico che restituisce radici ordinate e rifiuta n non intero o fuori intervallo.
Notebook DFT e ciclotomici
Recuperi i vertici della circonferenza unitaria per fattori di twiddle DFT o demo ciclotomiche senza importare una libreria completa di algebra computazionale.
Domande frequenti
Quale ingresso richiede il calcolatore?
Un solo intero positivo n tra 1 e 360.
In che forma vengono restituite le radici?
Ogni radice include le parti rettangolari re e im, magnitude 1, angolo in radianti e gradi, più stringhe di visualizzazione polare (cis) e rettangolare.
Perché tutte le radici dell’unità stanno sulla circonferenza unitaria?
Ogni radice ha modulo esattamente 1, quindi la sua distanza dall’origine è 1. Le n radici formano i vertici di un poligono regolare che parte da 1 e avanza lungo la circonferenza ad angoli uguali.
Quali sono le radici quarte dell’unità?
Sono 1, i, -1 e -i, agli angoli di 0°, 90°, 180° e 270°. Elevando una qualsiasi di esse alla quarta potenza si ottiene 1, e sono elencate in senso antiorario a partire da 1.
Quali valori di n accetta il calcolatore?
Qualsiasi numero intero da 1 a 360. Lo zero, i numeri negativi e le frazioni vengono rifiutati, perché l’ordine di una radice dell’unità deve essere un intero positivo.
Strumenti correlati
Per sviluppatori — accesso via API
Tutto quello che vedi in questa pagina è disponibile anche via API. Questa sezione è per i team che vogliono integrarlo nei propri sistemi; chi non ne ha bisogno può semplicemente usare lo strumento qui sopra.
Endpoint
Autenticazione con Bearer token: un POST mette in coda l'attività e il risultato arriva via webhook o link firmato.
Chiamala dal tuo stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/roots-of-unity \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":4}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/roots-of-unity", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
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body: JSON.stringify({
"n": 4
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/roots-of-unity",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"n": 4
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/roots-of-unity", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":4}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":4}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/roots-of-unity", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Esempio di richiesta
{
"n": 4
}Esempio di risposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.roots_of_unity",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L'API è asincrona: ricevi subito un task_id e puoi fare polling fino a 1 richiesta al secondo.
Prezzi
Prezzo pubblicato, senza token né crediti. Se l'attività fallisce, non paghi.
Errori
| HTTP | Codice | Significato |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Chiave API mancante o non valida: controlla l'header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Credito esaurito: ricarica per continuare a eseguire attività. |
404 | unknown_type | Tipo di attività sconosciuto: controlla il campo type della richiesta. |
429 | rate_limited | Troppe richieste in poco tempo: rallenta e riprova tra qualche secondo. |
Note tecniche
Una validazione fallita (n assente, n non intero o n fuori dall'intervallo consentito) solleva invalid_input e non viene fatturata.
Cosa sono le radici n-esime dell'unità e come sono ordinate
Le radici primitive sono quelle di ordine esattamente n (MCD di k e n uguale a uno); l'endpoint elenca tutte e lascia il filtraggio di primitività al chiamante quando serve.
Contratto di ingresso, campi di risposta ed errori di validazione
In successo il corpo riecheggia n, una stringa di equazione della forma z circonflesso n uguale a uno, count uguale a n, un array roots e una breve formula che riafferma l'identità cis. Esempio: n uguale a quattro produce quattro radici agli argomenti zero, pi su due, pi e tre pi su due, corrispondenti a uno, i, meno uno e meno i. Invii un corpo JSON con un solo campo obbligatorio n: un intero positivo tra uno e trecentosessanta inclusi. Sono accettate stringhe numeriche che si analizzano in un intero finito nell'intervallo; n assente, stringhe vuote, non interi, zero, negativi e valori oltre trecentosessanta falliscono con invalid_input indicando il campo. Abbini la risposta al Suo codice di grafici se necessita di un diagramma della circonferenza unitaria; questo endpoint calcola solo coordinate ed etichette e non emette grafici né dimostrazioni simboliche passo passo oltre il campo formula.
Dove un'API delle radici n-esime dell'unità crea valore
I corsi di algebra e analisi complessa usano un calcolatore di radici dell'unità affinché gli apprendisti verifichino angoli polari e coordinate rettangolari per un n arbitrario senza arrotondare a mano le tavole dei coseni. I generatori di esami e i correttori automatici LMS necessitano di un oracolo deterministico che rifiuti un n non valido invece di inventare radici o troncare in silenzio. L'ingresso non valido non consuma saldo. I notebook di trasformata discreta di Fourier, le demo di polinomi ciclotomici e le utilità di matrici circolanti richiedono ripetutamente gli stessi vertici della circonferenza unitaria; chiamare una piccola API parse evita di imbarcare un runtime di algebra simbolica per un solo ciclo trigonometrico. Poiché l'implementazione è parse pura di livello A, ogni chiamata riuscita costa il prezzo base pubblicato $0.002 senza token di modello e senza rete in uscita.
Domande tecniche
Cosa sono le radici n-esime dell'unità?
Sono le n soluzioni complesse di z^n = 1, date da ω_k = cos(2πk/n) + i sin(2πk/n) per k = 0, 1, …, n−1, distanziate uniformemente sulla circonferenza unitaria.
Come sono ordinate le radici?
Per indice k crescente da 0 a n−1, cioè in ordine antiorario dell'argomento a partire da 1 (la radice reale quando k = 0).
Quanto costa il calcolatore delle radici n-esime dell'unità?
Lo strumento nel browser è gratuito. Le richieste API usano il saldo prepagato KIT a $0.002 per chiamata riuscita; l'ingresso non valido non viene fatturato.