Calcolatore di radici n-esime complesse
Ottenga tutte le radici n-esime di un numero complesso, non solo la principale: le radici cubiche di −8 sono −2 e 1 ± √3 i, tutte di modulo 2, a 60°, 180° e 300°. Arrivano ordinate per angolo lungo il cerchio. Gratis nel suo browser.
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Esempio risolto
- Parte reale
- -8
- Parte immaginaria
- 0
- Grado
- 3
- Modulo
- 8
- Angolo (rad)
- 3,1415926536
- Angolo (gradi)
- 180
- Modulo della radice
- 2
Il calcolatore di radici complesse prende un numero complesso dato dalla sua parte reale e dalla sua parte immaginaria, più un grado n intero positivo, e restituisce l'elenco completo delle sue radici n-esime: esattamente n numeri complessi, ciascuno elevato alla potenza n riproduce l'originale. Il calcolo applica la formula di De Moivre, distribuendo le radici uniformemente su una circonferenza nel piano complesso, e presenta ogni radice in forma rettangolare insieme alla sua magnitudine e al suo angolo in radianti e in gradi. Il grado deve essere un intero positivo fino a 1000 ed entrambe le parti devono essere numeri finiti; qualsiasi altra cosa viene rifiutata con un chiaro errore di validazione.
Perché un numero complesso ha esattamente n radici n-esime
Tra i numeri reali, chiedere una radice quadrata è già ambiguo: 4 ha due radici quadrate e i numeri negativi non ne hanno nessuna. I numeri complessi risolvono la questione in modo pulito. Il teorema fondamentale dell'algebra garantisce che l'equazione w^n = z ha esattamente n soluzioni nel piano complesso, contate con molteplicità, e sono tutte distinte purché z non sia zero.
Per esempio, il numero 1 ha tre radici cubiche: la nota radice reale 1 e due radici complesse, -1/2 più o meno sqrt(3)/2 volte i, e ciascuna elevata al cubo restituisce esattamente 1. Inviando una parte reale, una parte immaginaria e un grado a questo calcolatore di radici complesse si ottiene l'insieme completo, non solo la cosiddetta radice principale mostrata dalla maggior parte delle calcolatrici tascabili.
L'elenco ritorna ordinato per angolo crescente a partire dalla radice principale, quindi la prima voce è sempre quella con l'argomento non negativo più piccolo e le altre seguono in senso antiorario lungo la circonferenza.
La formula di De Moivre e la geometria delle radici
L'algoritmo è il teorema di De Moivre applicato al contrario. Prima, il numero in ingresso real + imag*i viene convertito in forma polare: la magnitudine r è l'ipotenusa delle due parti e l'angolo theta è l'arcotangente a due argomenti, quindi il quadrante è sempre corretto. Ogni radice n-esima ha allora magnitudine r elevata a 1/n, uguale per tutte, il che colloca ogni radice su una stessa circonferenza centrata nell'origine.
Gli angoli sono (theta + 2*pi*k)/n per k da 0 a n-1: il giro completo è diviso in n settori uguali, quindi le radici formano i vertici di un poligono regolare di n lati inscritto in quella circonferenza, ruotato in modo che il primo vertice cada all'angolo theta/n. Le otto radici ottave di un numero sull'asse reale positivo, per esempio, cadono ogni 45 gradi come i punti di una rosa dei venti.
Il calcolatore presenta ogni radice in tre modi contemporaneamente: come coppia rettangolare real e imag pronta per ulteriori calcoli, come magnitudine e come angolo sia in radianti sia in gradi, perché i radianti alimentano il codice e i gradi le persone.
Validazione, casi limite e determinismo
Il grado n deve essere un intero positivo: zero, valori negativi, frazioni come 2.5 e ingressi non numerici vengono rifiutati con un errore di input non valido che nomina il campo degree, perché un grado frazionario o non intero è un'altra operazione (una potenza complessa, multivoca in modo più profondo). Il grado è anche limitato a 1000, il che mantiene la risposta limitata e il tempo di esecuzione prevedibile; il limite è dichiarato nei limiti della capacità e fatto rispettare nel codice.
Le parti reale e immaginaria devono essere numeri finiti; le stringhe numeriche come "3.5" sono accettate per comodità quando i valori arrivano da moduli web, mentre null, booleani, array, stringhe vuote, NaN e Infinity vengono rifiutati nominando il campo colpevole. Il numero complesso zero è l'unico caso speciale legittimo: la sua magnitudine è zero, quindi tutte le sue radici n-esime collassano su 0 + 0i, e il calcolatore restituisce n copie dell'origine invece di fallire, il che mantiene le pipeline totali.
Non c'è accesso alla rete, né casualità, né orologio in nessun punto del calcolo, solo un ciclo limitato di chiamate trigonometriche, quindi lo stesso ingresso produce sempre gli stessi byte.
Casi d'uso
Radici dell'unità e FFT
Generi le n radici n-esime di 1 + 0i, i fattori twiddle che guidano la Trasformata di Fourier Veloce e altri algoritmi di elaborazione del segnale divide et impera.
Risoluzione di equazioni z^n = c
Trovi tutte le soluzioni di un'equazione come z^4 = -16 nel piano complesso, non solo la radice principale, per i compiti di algebra o l'analisi di sistemi polinomiali.
Progettazione di filtri e controllo
Collochi i poli di un filtro in stile Butterworth, disposti su una circonferenza agli angoli delle radici di -1, e legga ogni polo direttamente in forma rettangolare.
Domande frequenti
Quanto costa?
Lo stesso calcolo è gratuito nel Suo browser in questa pagina.
Cosa viene restituito esattamente?
Ogni radice porta il suo indice, le sue parti rettangolari reale e immaginaria, la sua magnitudine e il suo angolo in radianti e gradi.
Perché ci sono n radici e non una sola?
L'equazione w^n = z ha esattamente n soluzioni nel piano complesso. Si dispongono su una circonferenza come vertici di un n-agono regolare, distanziate di 360/n gradi, e ciascuna elevata alla potenza n riproduce l'ingresso.
Cosa succede per 0 + 0i?
La magnitudine è zero, quindi ogni radice n-esima è 0 + 0i. Il calcolatore restituisce n copie dell'origine invece di fallire.
Quali ingressi vengono rifiutati?
Un grado che non sia un intero positivo (0, negativi, frazioni, testo) o che superi 1000, e parti reale o immaginaria che non siano numeri finiti. Le stringhe numeriche come "3.5" e "4" sono accettate.
Strumenti correlati
Per sviluppatori — accesso via API
Tutto quello che vedi in questa pagina è disponibile anche via API. Questa sezione è per i team che vogliono integrarlo nei propri sistemi; chi non ne ha bisogno può semplicemente usare lo strumento qui sopra.
Endpoint
Autenticazione con Bearer token: un POST mette in coda l'attività e il risultato arriva via webhook o link firmato.
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headers: {
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task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/complex-root", false, stream_context_create([
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"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
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]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"real":1,"imag":1,"degree":2}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/complex-root", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Esempio di richiesta
{
"real": 1,
"imag": 1,
"degree": 2
}Esempio di risposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.complex_root",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L'API è asincrona: ricevi subito un task_id e puoi fare polling fino a 1 richiesta al secondo.
Prezzi
Prezzo pubblicato, senza token né crediti. Se l'attività fallisce, non paghi.
Limiti
max_degree | 1000 |
Errori
| HTTP | Codice | Significato |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Chiave API mancante o non valida: controlla l'header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Credito esaurito: ricarica per continuare a eseguire attività. |
404 | unknown_type | Tipo di attività sconosciuto: controlla il campo type della richiesta. |
429 | rate_limited | Troppe richieste in poco tempo: rallenta e riprova tra qualche secondo. |
Note tecniche
Lo stesso algoritmo funziona gratuitamente nel Suo browser in questa pagina, e il codice identico serve l'API a pagamento a $0.002 per richiesta.
Perché un numero complesso ha esattamente n radici n-esime
Questo conta nella pratica perché tenere solo la radice principale scarta soluzioni in silenzio: quando si risolve z^n = -1 nella progettazione di filtri, si trovano le radici dell'unità che muovono la Trasformata di Fourier Veloce, o si calcolano tutti i punti di equilibrio di un sistema polinomiale, servono tutte le n risposte.
Validazione, casi limite e determinismo
Gira sull'edge in millisecondi, non conserva nulla dopo la risposta e costa $0.002 per richiesta tramite l'API, mentre l'uso interattivo nel browser resta gratuito.
Domande tecniche
La prima radice è la radice principale?
Sì. L'elenco inizia a k = 0, il cui angolo è l'argomento in ingresso diviso per n, cioè la radice n-esima principale, e le altre radici seguono in senso antiorario per angolo crescente.