Calculateur de racines n-ièmes complexes

Le calculateur de racines complexes prend un nombre complexe donné par sa partie réelle et sa partie imaginaire, plus un degré n entier positif, et renvoie la liste complète de ses racines n-ièmes : exactement n nombres complexes, chacun élevé à la puissance n reproduisant l'original. Le calcul applique la formule de De Moivre, qui répartit les racines uniformément sur un cercle du plan complexe, et présente chaque racine sous forme rectangulaire avec sa magnitude et son angle en radians et en degrés. Le degré doit être un entier positif jusqu'à 1000 et les deux parties doivent être des nombres finis ; toute autre valeur est rejetée avec une erreur de validation claire.

Pourquoi un nombre complexe a exactement n racines n-ièmes

Chez les nombres réels, demander une racine carrée est déjà ambigu : 4 a deux racines carrées et les nombres négatifs n'en ont aucune. Les nombres complexes règlent la question proprement. Le théorème fondamental de l'algèbre garantit que l'équation w^n = z a exactement n solutions dans le plan complexe, comptées avec leur multiplicité, et qu'elles sont toutes distinctes dès que z n'est pas nul.

Par exemple, le nombre 1 a trois racines cubiques : la racine réelle bien connue 1 et deux racines complexes, -1/2 plus ou moins sqrt(3)/2 fois i, chacune élevée au cube redonnant exactement 1. En envoyant une partie réelle, une partie imaginaire et un degré à ce calculateur de racines complexes, vous obtenez l'ensemble complet, pas seulement la racine dite principale qu'affichent la plupart des calculatrices de poche.

La liste est renvoyée triée par angle croissant à partir de la racine principale : la première entrée est toujours celle du plus petit argument non négatif et les autres suivent dans le sens trigonométrique autour du cercle.

La formule de De Moivre et la géométrie des racines

L'algorithme est le théorème de De Moivre appliqué à l'envers. D'abord, le nombre d'entrée real + imag*i est converti en forme polaire : la magnitude r est l'hypoténuse des deux parties et l'angle theta est l'arctangente à deux arguments, donc le quadrant est toujours correct. Chaque racine n-ième a alors une magnitude r élevée à 1/n, identique pour toutes, ce qui place chaque racine sur un même cercle centré sur l'origine.

Les angles sont (theta + 2*pi*k)/n pour k de 0 à n-1 : le tour complet est divisé en n secteurs égaux, donc les racines forment les sommets d'un polygone régulier à n côtés inscrit dans ce cercle, tourné pour que le premier sommet se trouve à l'angle theta/n. Les huit racines huitièmes d'un nombre sur l'axe réel positif, par exemple, tombent tous les 45 degrés comme les points d'une rose des vents.

Le calculateur présente chaque racine de trois façons à la fois : comme couple rectangulaire real et imag prêt pour la suite des calculs, comme magnitude et comme angle en radians et en degrés, car les radians nourrissent le code et les degrés les humains.

Validation, cas limites et déterminisme

Le degré n doit être un entier positif : zéro, les valeurs négatives, les fractions comme 2.5 et les entrées non numériques sont rejetés avec une erreur d'entrée invalide qui nomme le champ degree, car un degré fractionnaire ou non entier est une autre opération (une puissance complexe, multivaluée de façon plus profonde). Le degré est aussi plafonné à 1000, ce qui borne la réponse et rend le temps d'exécution prévisible ; la limite est déclarée dans les limites de la capacité et appliquée dans le code.

Les parties réelle et imaginaire doivent être des nombres finis ; les chaînes numériques comme "3.5" sont acceptées par commodité quand les valeurs arrivent de formulaires web, tandis que les null, les booléens, les tableaux, les chaînes vides, NaN et Infinity sont rejetés en nommant le champ fautif. Le nombre complexe zéro est le seul cas spécial légitime : sa magnitude est nulle, donc toutes ses racines n-ièmes s'effondrent sur 0 + 0i, et le calculateur renvoie n copies de l'origine au lieu d'échouer, ce qui garde les pipelines totaux.

Il n'y a ni accès réseau, ni aléa, ni horloge nulle part dans le calcul, seulement une boucle bornée d'appels trigonométriques, donc la même entrée produit toujours les mêmes octets.