Calculadora de raíces n-ésimas complejas
Obtenga todas las raíces n-ésimas de un número complejo, no solo la principal: las raíces cúbicas de −8 son −2 y 1 ± √3 i, todas de magnitud 2, a 60°, 180° y 300°. Salen ordenadas por ángulo alrededor del círculo. Gratis en su navegador.
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Ejemplo resuelto
- Parte real
- -8
- Parte imaginaria
- 0
- Grado
- 3
- Magnitud
- 8
- Ángulo (rad)
- 3,1415926536
- Ángulo (grados)
- 180
- Módulo de la raíz
- 2
La calculadora de raíces complejas toma un número complejo dado por su parte real y su parte imaginaria, junto con un grado n entero positivo, y devuelve la lista completa de sus raíces n-ésimas: exactamente n números complejos, cada uno de los cuales elevado a la potencia n reproduce el original. El cálculo aplica la fórmula de De Moivre, que reparte las raíces uniformemente sobre un círculo en el plano complejo, y presenta cada raíz en forma rectangular junto con su magnitud y su ángulo tanto en radianes como en grados. El grado debe ser un entero positivo de hasta 1000 y ambas partes deben ser números finitos; cualquier otra cosa se rechaza con un error de validación claro.
Por qué un número complejo tiene exactamente n raíces n-ésimas
En los números reales, pedir una raíz cuadrada ya es ambiguo: 4 tiene dos raíces cuadradas y los números negativos no tienen ninguna. Los números complejos resuelven esto de forma limpia. El teorema fundamental del álgebra garantiza que la ecuación w^n = z tiene exactamente n soluciones en el plano complejo, contadas con multiplicidad, y todas son distintas siempre que z no sea cero.
Por ejemplo, el número 1 tiene tres raíces cúbicas: la conocida raíz real 1 y dos raíces complejas, -1/2 más o menos sqrt(3)/2 por i, y cada una elevada al cubo devuelve exactamente 1. Al enviar una parte real, una parte imaginaria y un grado a esta calculadora de raíces complejas se obtiene el conjunto completo, no solo la llamada raíz principal que muestran la mayoría de las calculadoras de bolsillo.
La lista se devuelve ordenada por ángulo creciente empezando por la raíz principal, de modo que la primera entrada es siempre la de menor argumento no negativo y las demás siguen en sentido antihorario alrededor del círculo.
La fórmula de De Moivre y la geometría de las raíces
El algoritmo es el teorema de De Moivre aplicado en sentido inverso. Primero, el número de entrada real + imag*i se convierte a forma polar: la magnitud r es la hipotenusa de las dos partes y el ángulo theta es el arcotangente de dos argumentos, de modo que el cuadrante siempre es correcto. Cada raíz n-ésima tiene entonces magnitud r elevada a 1/n, la misma para todas, lo que coloca cada raíz sobre un mismo círculo centrado en el origen.
Los ángulos son (theta + 2*pi*k)/n para k de 0 a n-1: la vuelta completa se divide en n sectores iguales, así que las raíces forman los vértices de un polígono regular de n lados inscrito en ese círculo, girado para que el primer vértice quede en el ángulo theta/n. Las ocho raíces de orden ocho de un número sobre el eje real positivo, por ejemplo, caen cada 45 grados como los puntos de una rosa de los vientos.
La calculadora presenta cada raíz de tres maneras a la vez: como par rectangular real e imag listo para seguir calculando, como magnitud y como ángulo tanto en radianes como en grados, porque los radianes alimentan el código y los grados a las personas.
Validación, casos límite y determinismo
El grado n debe ser un entero positivo: el cero, los valores negativos, las fracciones como 2.5 y las entradas no numéricas se rechazan con un error de entrada no válida que nombra el campo degree, porque un grado fraccionario o no entero es otra operación (una potencia compleja, multivaluada de un modo más profundo).
El grado también está limitado a 1000, lo que mantiene la respuesta acotada y el tiempo de ejecución predecible; el límite está declarado en los límites de la capacidad y se hace cumplir en el código. Las partes real e imaginaria deben ser números finitos; se aceptan cadenas numéricas como "3.5" por comodidad cuando los valores llegan de formularios web, mientras que los nulos, los booleanos, los arrays, las cadenas vacías, NaN e Infinity se rechazan nombrando el campo culpable.
El número complejo cero es el único caso especial legítimo: su magnitud es cero, así que todas sus raíces n-ésimas colapsan a 0 + 0i, y la calculadora devuelve n copias del origen en lugar de fallar, lo que mantiene las canalizaciones totales. No hay acceso a la red, ni azar, ni reloj en ningún punto del cálculo, solo un bucle acotado de llamadas trigonométricas, de modo que la misma entrada produce siempre los mismos bytes.
Qué puede hacer con ella
Raíces de la unidad y la FFT
Genere las n raíces n-ésimas de 1 + 0i, los factores twiddle que impulsan la Transformada Rápida de Fourier y otros algoritmos de procesamiento de señales de divide y vencerás.
Resolución de ecuaciones z^n = c
Halle todas las soluciones de una ecuación como z^4 = -16 en el plano complejo, no solo la raíz principal, para tareas de álgebra o análisis de sistemas polinómicos.
Diseño de filtros y control
Sitúe los polos de un filtro de tipo Butterworth, que se reparten sobre un círculo en los ángulos de las raíces de -1, y lea cada polo directamente en forma rectangular.
Preguntas frecuentes
¿Cuánto cuesta?
El mismo cálculo es gratuito en su navegador en esta página.
¿Qué se devuelve exactamente?
Cada raíz lleva su índice, sus partes rectangulares real e imaginaria, su magnitud y su ángulo en radianes y grados.
¿Por qué hay n raíces y no solo una?
La ecuación w^n = z tiene exactamente n soluciones en el plano complejo. Se disponen sobre un círculo como vértices de un n-gono regular, separadas 360/n grados, y cada una elevada a la potencia n reproduce la entrada.
¿Qué ocurre con 0 + 0i?
La magnitud es cero, así que cada raíz n-ésima es 0 + 0i. La calculadora devuelve n copias del origen en lugar de fallar.
¿Qué entradas se rechazan?
Un grado que no sea un entero positivo (0, negativos, fracciones, texto) o que supere 1000, y partes real o imaginaria que no sean números finitos. Se aceptan cadenas numéricas como "3.5" y "4".
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
Llámela desde su stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/complex-root \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"real":1,"imag":1,"degree":2}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/complex-root", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"real": 1,
"imag": 1,
"degree": 2
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/complex-root",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"real": 1,
"imag": 1,
"degree": 2
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/complex-root", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"real":1,"imag":1,"degree":2}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"real":1,"imag":1,"degree":2}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/complex-root", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Ejemplo de solicitud
{
"real": 1,
"imag": 1,
"degree": 2
}Ejemplo de respuesta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.complex_root",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Límites
max_degree | 1000 |
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
El mismo algoritmo se ejecuta gratis en su navegador en esta página, y el código idéntico sirve la API de pago a $0.002 por petición.
Por qué un número complejo tiene exactamente n raíces n-ésimas
Esto importa en la práctica porque quedarse solo con la raíz principal descarta soluciones en silencio: al resolver z^n = -1 en el diseño de filtros, al hallar las raíces de la unidad que hacen funcionar la Transformada Rápida de Fourier, o al calcular todos los puntos de equilibrio de un sistema polinómico, se necesitan las n respuestas completas.
Validación, casos límite y determinismo
Se ejecuta en el edge en milisegundos, no conserva nada tras la respuesta y cuesta $0.002 por petición a través de la API, mientras que su uso interactivo en el navegador sigue siendo gratuito.
Preguntas técnicas
¿Es la primera raíz la raíz principal?
Sí. La lista empieza en k = 0, cuyo ángulo es el argumento de entrada dividido entre n, que es la raíz n-ésima principal, y las demás raíces siguen en sentido antihorario en orden de ángulo creciente.