複素数の n 乗根計算機
複素数の n 乗根を、主値だけでなくすべて求めます。−8 の3乗根は −2 と 1 ± √3 i で、どれも絶対値は2、角度は60°、180°、300°です。根は円周上を偏角の順に並んで返ります。ブラウザで無料で使えます。
- 無料
- ブラウザで動作
- 登録不要
- データは端末の外に出ません
無料で実行
計算例
- 実部
- -8
- 虚部
- 0
- 次数
- 3
- 大きさ
- 8
- 角度 (rad)
- 3.1415926536
- 角度 (度)
- 180
- 根の絶対値
- 2
複素数 n 乗根計算機は、実部と虚部で与えられた複素数と正の整数の次数 n を受け取り、その n 乗根の完全なリストを返します。ちょうど n 個の複素数で、それぞれを n 乗すると元の数に戻ります。計算にはド・モアブルの公式を適用し、複素平面上の円周に根を均等に配置します。各根は直交形式に加え、大きさと偏角をラジアンと度の両方で表示します。次数は 1000 までの正の整数、実部・虚部は有限の数値である必要があります。それ以外は明確なバリデーションエラーで拒否されます。
複素数にちょうど n 個の n 乗根がある理由
実数の世界では、平方根を求めるだけでも曖昧です。4 には 2 つの平方根があり、負の数にはありません。複素数はこれをきれいに解決します。
代数学の基本定理により、方程式 w^n = z は複素平面上にちょうど n 個の解を持ち(重複度込み)、z が 0 でない限りすべて異なります。たとえば 1 には 3 つの立方根があります。よく知られた実数根 1 と、2 つの複素数根 -1/2 ± sqrt(3)/2 i で、どれも 3 乗するとちょうど 1 に戻ります。
この複素数 n 乗根計算機に実部・虚部・次数を送ると、多くのポケット電卓が表示する主根だけでなく、完全な集合が得られます。主根だけを取ると解を黙って捨てることになるため、実務上これは重要です。リストは主根から始まり偏角の昇順で返されるため、最初の要素は常に最小の非負の偏角を持ち、残りは円周上を反時計回りに続きます。
ド・モアブルの公式と根の幾何学
アルゴリズムはド・モアブルの定理を逆向きに適用したものです。まず入力の数 real + imag*i を極形式に変換します。大きさ r は 2 つの成分の斜辺、偏角 theta は 2 引数の逆正接で、象限は常に正しくなります。
各 n 乗根の大きさは r の 1/n 乗で全て共通なので、すべての根は原点を中心とする 1 つの円周上に並びます。たとえば正の実軸上の数の 8 乗根は、羅針盤の方位のように 45 度おきに並びます。計算機は各根を 3 つの方法で同時に表示します。
さらなる計算に使える直交形式の real と imag の組、大きさ、そしてラジアンと度の両方の偏角です。ラジアンはコードに、度は人間に適しているからです。
バリデーション、エッジケース、決定性
次数 n は正の整数でなければなりません。小数や非整数の次数は別の操作(より深い意味で多価な複素冪)だからです。次数は 1000 にも制限されており、応答が有界で実行時間が予測可能になります。
この上限は機能の limits に宣言され、コードで強制されます。実部と虚部は有限の数値である必要があります。複素数の 0 は唯一の正当な特例です。
大きさが 0 なので n 乗根はすべて 0 + 0i に集約され、計算機は失敗せず原点のコピーを n 個返し、パイプラインを全域的に保ちます。計算にはネットワークアクセスも乱数も時計もなく、有界なループ内の三角関数呼び出しだけなので、同じ入力は常に同じバイトを生成します。ブラウザでの対話的な利用は引き続き無料です。
活用例
1 の冪根と FFT
1 + 0i の n 個の n 乗根を生成します。これは高速フーリエ変換や他の分割統治型信号処理アルゴリズムを駆動する twiddle 因子です。
z^n = c 型方程式を解く
z^4 = -16 のような方程式の解を複素平面上で主根だけでなくすべて求めます。代数の宿題や多項式系の解析にご利用いただけます。
フィルタ・制御設計
Butterworth 型フィルタの極は -1 の根の偏角に対応する円周上に並びます。各極を直交形式で直接読み取れます。
よくある質問
具体的に何が返されますか?
各根にはインデックス、直交形式の実部・虚部、大きさ、ラジアンと度の偏角が含まれます。
なぜ根は 1 つではなく n 個あるのですか?
方程式 w^n = z は複素平面上にちょうど n 個の解を持ちます。根は円周上に正 n 角形の頂点として 360/n 度間隔で並び、どれも n 乗すると入力を再現します。
0 + 0i の場合はどうなりますか?
大きさが 0 なので、各 n 乗根は 0 + 0i です。計算機は失敗せず原点のコピーを n 個返します。
どのような入力が拒否されますか?
正の整数でない次数(0、負数、小数、テキスト)や 1000 を超える次数、有限の数値でない実部・虚部です。"3.5" や "4" のような数値文字列は受け付けます。
根はどのように並んでいますか？
すべての根は原点を中心とする同じ円の上にあり、正多角形の頂点のように等間隔に並びます。主値の根から始めて、偏角の小さい順に反時計回りで返されます。
関連ツール
開発者向け — APIアクセス
このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。
エンドポイント
Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。
お使いのスタックから呼び出す
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/complex-root \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"real":1,"imag":1,"degree":2}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/complex-root", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"real": 1,
"imag": 1,
"degree": 2
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/complex-root",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"real": 1,
"imag": 1,
"degree": 2
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/complex-root", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"real":1,"imag":1,"degree":2}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"real":1,"imag":1,"degree":2}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/complex-root", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)リクエスト例
{
"real": 1,
"imag": 1,
"degree": 2
}レスポンス例
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.complex_root",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。
料金
単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。
制限
max_degree | 1000 |
エラー
| HTTP | コード | 意味 |
|---|---|---|
401 | unauthorized | APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。 |
402 | insufficient_balance | 残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。 |
404 | unknown_type | 指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。 |
429 | rate_limited | リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。 |
技術的な注記
同じアルゴリズムがこのページのブラウザ上で無料で動作し、同一のコードが有料 API を $0.002/リクエストで提供します。
複素数にちょうど n 個の n 乗根がある理由
フィルタ設計で z^n = -1 を解くとき、高速フーリエ変換を駆動する 1 の冪根を求めるとき、多項式系の平衡点をすべて計算するときには、n 個すべての答えが必要です。
ド・モアブルの公式と根の幾何学
偏角は k = 0 から n-1 について (theta + 2*pi*k)/n で、全周が n 等分されるため、根はその円に内接する正 n 角形の頂点をなし、最初の頂点が偏角 theta/n に来るように回転しています。
バリデーション、エッジケース、決定性
0、負の値、2.5 のような小数、非数値の入力は、degree フィールドを名指しする無効入力エラーで拒否されます。ウェブフォームから値が来る場合の便宜のため "3.5" のような数値文字列は受け付けますが、null、真偽値、配列、空文字列、NaN、Infinity は原因フィールドを挙げて拒否されます。エッジで数ミリ秒で実行され、応答後に何も保持せず、API 経由で $0.002/リクエストです。
技術的な質問
料金はいくらですか?
API 経由で $0.002/リクエストです。同じ計算はこのページのブラウザ上で無料で実行できます。
最初の根は主根ですか?
はい。リストは k = 0 から始まり、その偏角は入力の偏角を n で割ったもの、すなわち主 n 乗根です。残りの根は偏角の昇順に反時計回りで続きます。