حاسبة الجذور النونية المركبة

تأخذ حاسبة الجذور المركبة عددًا مركبًا محددًا بجزأيه الحقيقي والتخيلي، مع درجة n عددًا صحيحًا موجبًا، وتعيد القائمة الكاملة لجذوره النونية: n من الأعداد المركبة بالضبط، كل منها مرفوعًا للقوة n يعيد إنتاج العدد الأصلي. يطبق الحساب صيغة ديموافر، فتتوزع الجذور بالتساوي على دائرة في المستوى المركب، ويعرض كل جذر بالصيغة الكارتيزية مع مقداره وزاويته بالراديان والدرجات معًا. يجب أن تكون الدرجة عددًا صحيحًا موجبًا حتى 1000 وأن يكون الجزآن عددين منتهيين؛ وما عدا ذلك يُرفض برسالة تحقق واضحة.

لماذا للعدد المركب n جذور نونية بالضبط

في الأعداد الحقيقية، طلب الجذر التربيعي أمر ملتبس أصلًا: فللعدد 4 جذران تربيعيان، وليست للأعداد السالبة أي جذر. أما الأعداد المركبة فتحسم هذا بوضوح. تضمن المبرهنة الأساسية في الجبر أن المعادلة w^n = z لها n حلول بالضبط في المستوى المركب، محسوبة بمضاعفاتها، وجميعها مختلفة ما دام z غير صفري.

فالعدد 1 مثلًا له ثلاثة جذور تكعيبية: الجذر الحقيقي المعروف 1، وجذران مركبان هما -1/2 زائدًا أو ناقصًا sqrt(3)/2 مضروبًا في i، وكل منهما مكعبًا يعيد 1 تمامًا. عندما ترسل جزءًا حقيقيًا وجزءًا تخيليًا ودرجة إلى حاسبة الجذور المركبة هذه، تحصل على المجموعة الكاملة، لا مجرد ما يسمى الجذر الرئيسي الذي تعرضه معظم الآلات الحاسبة الجيبية. تُعاد القائمة مرتبة تصاعديًا حسب الزاوية بدءًا من الجذر الرئيسي، فالعنصر الأول هو دائمًا صاحب أصغر سعة غير سالبة، والباقي يتبع عكس عقارب الساعة حول الدائرة.

صيغة ديموافر والهندسة الكامنة وراء الجذور

الخوارزمية هي مبرهنة ديموافر مطبقة بالعكس. أولًا يُحوَّل العدد المدخل real + imag*i إلى الصيغة القطبية: المقدار r هو وتر الجزأين، والزاوية theta هي الظل العكسي بمعاملين، فالربع الصحيح مضمون دائمًا. كل جذر نوني له إذن مقدار r مرفوعًا للقوة 1/n، متساوٍ لدى الجميع، مما يضع كل الجذور على دائرة واحدة مركزها الأصل.

والزوايا هي (theta + 2*pi*k)/n لقيم k من 0 إلى n-1: الدورة الكاملة تقسم إلى n قطاعات متساوية، فتشكل الجذور رؤوس مضلع منتظم ذي n ضلعًا محاط بتلك الدائرة، مُدارًا بحيث يقع الرأس الأول عند الزاوية theta/n. فالجذور الثمانية لعدد على المحور الحقيقي الموجب مثلًا تقع كل 45 درجة كجهات الوردة البوصلية. تعرض الحاسبة كل جذر بثلاث طرق في آن واحد: كزوج كارتيزي real و imag جاهز لمزيد من الحساب، وكمقدار، وكزاوية بالراديان والدرجات، لأن الراديان يغذي الشيفرة والدرجات تغذي البشر.

تُقرَّب جميع القيم إلى اثني عشر رقمًا عشريًا حتى يكون الناتج مطابقًا بايتًا ببايت عبر الأجهزة ومحركات JavaScript، وهي خاصية تتحقق منها الأمثلة الذهبية المنشورة عند كل تغيير.

التحقق والحالات الحدية والحتمية

يجب أن تكون الدرجة n عددًا صحيحًا موجبًا: فالصفر والقيم السالبة والكسور مثل 2.5 والمدخلات غير العددية تُرفض بخطأ إدخال غير صالح يسمي الحقل degree، لأن الدرجة الكسرية أو غير الصحيحة عملية أخرى (قوة مركبة متعددة القيم بمعنى أعمق). والدرجة محدودة أيضًا بـ 1000، مما يبقي الاستجابة محدودة وزمن التنفيذ متوقعًا؛ والحد معلن في حدود القدرة ومفروض في الشيفرة.

يجب أن يكون الجزآن الحقيقي والتخيلي عددين منتهيين؛ وتُقبل السلاسل الرقمية مثل "3.5" تيسيرًا عند وصول القيم من نماذج الويب، بينما تُرفض القيم الفارغة والمنطقية والمصفوفات والسلاسل الفارغة وNaN وInfinity مع تسمية الحقل المخطئ. العدد المركب صفر هو الحالة الخاصة المشروعة الوحيدة: مقداره صفر، فتنهار كل جذوره النونية إلى 0 + 0i، وتعيد الحاسبة n نسخًا من الأصل بدلًا من الفشل، فتبقى خطوط المعالجة كلية.

لا يوجد في الحساب أي وصول إلى الشبكة ولا عشوائية ولا ساعة، بل حلقة محدودة من الاستدعاءات المثلثية فحسب، لذلك ينتج المدخل نفسه دائمًا البايتات نفسها.