ForHosting KIT · الرياضيات

الجذر النوني المعياري

أوجد كل الجذور من الرتبة k لعدد بترديد عدد أولي: الجذران التربيعيان للعدد 2 بترديد 17 هما 6 و11، مرتبين. وإذا لم يوجد أي جذر تحصل على جواب واضح بدل قائمة فارغة. مجانًا في متصفحك.

مجاني
يعمل في متصفحك
دون تسجيل
بياناتك لا تغادر جهازك

شغّل الأداة مجانًا اطّلع على الـAPI

استخدمها من الويبAPIالبريدTelegramالتطبيق قريبًا

مثال محلول

إذا أدخلت

A: 2
K: 2
القدرة (W): 17

تحصل على

A بالتقابل: 2
عدد الجذور: 2
الجذور: 6, 11
القاسم المشترك الأكبر لـ k و φ: 2

الجذر المعياري من الرتبة k لعدد صحيح a بمقياس عدد أولي p هو أي باقٍ x يحقق أن x مرفوعًا إلى القوة k يطابق a بمقياس p. تظهر الجذور التربيعية بمقياس الأعداد الأولية في شروح Tonelli–Shanks، والجذور التكعيبية والأعلى في جبر الحقول المنتهية، وتحتاج مقررات التعمية إلى مرجع موثوق يسرد كل الجذور أو يرفض بوضوح عند عدم الوجود. تقبل هذه الحاسبة a وأسًّا موجبًا k ومقياسًا أوليًا p، وتختزل a إلى المجال القياسي من صفر إلى p ناقص واحد، وتعيد القائمة المرتبة الكاملة للحلول في ذلك الحقل.

ما الجذور المعيارية من الرتبة k ومتى توجد

في الزمرة الضربية لحقل أولي يكون لكل باقٍ غير صفري رتبة محددة جيدًا تقسم p ناقص واحد. رفع x إلى k يعطي تطبيقًا صورته مجموعة بواقي القوة k. لهدف a غير صفري تكون المطابقة x مرفوعًا إلى k مطابقًا a بمقياس p قابلة للحل إذا وفقط إذا كان a مرفوعًا إلى (p ناقص واحد) مقسومًا على d مطابقًا واحدًا، حيث d هو القاسم المشترك الأكبر لـ k وp ناقص واحد.

عند تحقق ذلك المعيار يوجد بالضبط d جذور غير صفرية متمايزة. الباقي الصفري خاص: الصفر إلى أي قوة موجبة هو صفر، لذا a المطابق للصفر له الجذر الوحيد صفر. المقاييس المركّبة خارج صورة الزمرة الدورية هذه وتُرفض حتى لا يدّعي المحلّل أن جداءً عبر مبرهنة الباقي الصيني هو جواب حقل أولي.

يلتقي الطلبة بالجذور التربيعية عند فحص رموز ليجاندر يدويًا، وبالجذور الأعلى عند دراسة أصناف دائرية أو لوغاريتمات متقطعة، وبفشل الوجود عندما يطلب واجب جذرًا تكعيبيًا لغير باقٍ تكعيبي.

كيف تجد هذه الحاسبة كل جذر

استدعِ القدرة بالحقول الصحيحة a وk وp. تتحقق التنفيذات أولًا من أن k عدد صحيح موجب وأن p أولي ضمن الحد المنشور باختبار Miller–Rabin حتمي. بعد اختزال a بمقياس p تعيد حالة الباقي الصفري الجذر الوحيد صفر.

لـ a غير الصفري تحسب d يساوي القاسم المشترك الأكبر لـ k وp ناقص واحد وتطبق اختبار الوجود أعلاه. عندما d يساوي واحدًا يوجد جذر وحيد برفع a إلى المعكوس المعياري لـ k بمقياس p ناقص واحد، وهو المسار السريع للأسس المتبادلة الأولوية. عندما d أكبر من واحد يجد المحلّل جذرًا بدائيًا g بمقياس p، ويسترجع اللوغاريتم المتقطع لـ a بالأساس g بطريقة baby-step giant-step، ويحل المطابقة الخطية k ضرب y مطابقة لذلك اللوغاريتم بمقياس p ناقص واحد.

يُتحقق من كل جذر مُعاد بالرفع المعياري قبل إرسال الاستجابة. القيم المطلقة لـ a وk محدودة بتريليون وp قرب مليار ليبقى ذاكرة baby-step giant-step عملية؛ وإن تجاوز d عشرة آلاف جذر تُرفض الطلبية بدل إغراق العميل.

حالات الاستخدام

التعمية ومختبرات الحقول المنتهية

يمكن للمدرّسين والطلبة سرد كل جذر تربيعي أو أعلى بمقياس أولي صغير، والتحقق من معايير الوجود، وفحص gcd(k, p−1) عندما لا يملك باقٍ مثالي جذرًا من الرتبة k.

البرمجة التنافسية والجبر المعياري

يمكن للمبرمجين التنافسيين مطابقة حلول x^k ≡ a (mod p) مع مرجع حتمي بدل Tonelli–Shanks يدوي أو حلقات قوة غاشمة.

الأسئلة الشائعة

ماذا يحدث إن لم يكن p أوليًا؟

تتطلب هذه الحاسبة مقياسًا أوليًا لتكون الزمرة الضربية دورية ومعيار الوجود دقيقًا. التحقق الفاشل لا يُحاسب.

ماذا إن لم يوجد جذر من الرتبة k؟

لا تُعاد قائمة نجاح فارغة عند عدم الوجود.

ما الخوارزميات التي تستخدمها حاسبة الجذر النوني المعياري؟

Miller–Rabin للأولية، وأسس بالمعكوس المعياري عندما gcd(k,p−1)=1، وإلا جذر بدائي ولوغاريتم متقطع baby-step giant-step وحل مطابقة خطية. كل المسارات حتمية.

ما الجذران التربيعيان للعدد 2 بترديد 17؟

هما 6 و11. عند تربيع أيٍّ منهما والقسمة على 17 يبقى 2. وتعرضهما الحاسبة بترتيب تصاعدي مع عدد الجذور.

كم جذرًا يمكن أن يوجد؟

عندما توجد جذور يكون عددها مساويًا تمامًا للقاسم المشترك الأكبر بين k وp − 1، أي جذرين تربيعيين للعدد 2 بترديد 17. وللصفر جذر وحيد هو الصفر، ويُرفض الطلب إذا تجاوزت الجذور عشرة آلاف.

أدوات ذات صلة

للمطوّرين — الوصول عبر API

كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.

الـEndpoint

POSThttps://api.kit.forhosting.com/numth/modular-nth-root

صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.

استدعِ الخدمة من بيئتك

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/modular-nth-root \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"a":2,"k":2,"p":17}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/modular-nth-root", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "a": 2,
    "k": 2,
    "p": 17
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/numth/modular-nth-root",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "a": 2,
    "k": 2,
    "p": 17
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/modular-nth-root", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"a":2,"k":2,"p":17}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"a":2,"k":2,"p":17}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/modular-nth-root", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

مثال على الطلب

{
  "a": 2,
  "k": 2,
  "p": 17
}

مثال على الاستجابة

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "numth.modular_nth_root",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.

الأسعار

لكل طلب$0.002

السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.

الأخطاء

HTTP	الرمز	المعنى
`401`	`unauthorized`	مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك.
`402`	`insufficient_balance`	رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة.
`404`	`unknown_type`	نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب.
`429`	`rate_limited`	تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة.

ملاحظات تقنية

عندما يكون p مركّبًا تفشل الطلبية بـ invalid_input؛ وعندما لا يتحقق معيار الوجود بأن a مرفوعًا إلى (p ناقص واحد) على القاسم المشترك الأكبر لـ k وp ناقص واحد يطابق واحدًا بمقياس p، تفشل الطلبية كذلك بدل إعادة قائمة نجاح فارغة. تغذي الوحدة النقية الحتمية نفسها الأداة المجانية في المتصفح ومسار API المدفوع مسبقًا، فلا تختلف عروض القاعة والمصححات الآلية على جذر.

ما الجذور المعيارية من الرتبة k ومتى توجد

إعادة invalid_input صارم عند عدم الوجود توافق لغة نصوص نظرية الأعداد التي تقول لا حل، لا قائمة فارغة قد يعاملها نظام الفوترة نجاحًا.

كيف تجد هذه الحاسبة كل جذر

كل حل y يعطي جذرًا g مرفوعًا إلى y، وتُرتَّب الجذور المتمايزة تصاعديًا لعقد API مستقر.

الاستخدام العملي والحدود والتسعير والتسليم

استخدم أداة المتصفح عندما تريد كل جذر تربيعي أو أعلى أثناء قراءة ملاحظة تعمية أو فحص مخرجات برمجة تنافسية أو تصحيح واجب حقول منتهية. المدخلات المقبولة أعداد صحيحة a بقيمة مطلقة حتى تريليون، وأسس k من واحد إلى تريليون، وأعداد أولية p من اثنين حتى نحو مليار مع سقف أمان لعدد الجذور. استخدم API عندما يحتاج سكربت أو إضافة LMS أو دفتر بحث إلى استعلامات جذور معيارية كثيرة دون تضمين Tonelli–Shanks أو لوغاريتم متقطع. كل طلبية ناجحة بند قابل للفوترة بسعر $0.002؛ إخفاقات التحقق والمقاييس المركّبة وعدم الوجود المثبت لا تستهلك الرصيد. تعيد الاستجابة a وk وp وa_mod المختزل وroot_count ومصفوفة roots تصاعدية وgcd_k_phi المساوي لـ d وسلسلة معادلة للعرض ووسم method يسمي مسار الخوارزمية. اربط نقطة النهاية ببيئات تعمية تعليمية ومساعدات برمجة تنافسية وعروض نظرية أعداد جبرية تفضّل الحساب المعياري الدقيق على التقريبات العائمة. لأن الوحدة بند واحد والمحرك parse خالص، تبقى الكمون منخفضة والقناة الويب المجانية تعكس API المدفوعة دون مسار شيفرة ثانٍ قد ينحرف.

حالات التكامل

مصححات الواجبات ودفاتر البحث

يمكن للمصححات الآلية والسكربتات تأكيد مجموعات الجذور، ورفض المقاييس المركّبة عبر invalid_input، والإبقاء على كل جداء وسيط ضمن الحدود الموثّقة.

أسئلة تقنية

كيف أحسب الجذور المعيارية من الرتبة k بهذه API؟

أرسل JSON بحقول صحيحة a وk (≥ 1) والعدد الأولي p إلى numth.modular_nth_root. عند النجاح تعيد الاستجابة roots كمصفوفة تصاعدية وroot_count وa_mod وgcd_k_phi.

هل حاسبة الجذر النوني المعياري مجانية؟

تعمل أداة المتصفح مجانًا على جهازك. تستخدم استدعاءات API رصيد KIT المدفوع مسبقًا بسعر $0.002 لكل بند ناجح؛ المدخل غير الصالح وأخطاء عدم الوجود لا تُحاسب.

اطّلع على توثيق KIT الكامل ←

شغّل الأداة مجانًا

مثال محلول

ما الجذور المعيارية من الرتبة k ومتى توجد

كيف تجد هذه الحاسبة كل جذر

حالات الاستخدام

التعمية ومختبرات الحقول المنتهية

البرمجة التنافسية والجبر المعياري

الأسئلة الشائعة

أدوات ذات صلة

للمطوّرين — الوصول عبر API

الـEndpoint

استدعِ الخدمة من بيئتك

مثال على الطلب

مثال على الاستجابة

الأسعار

الأخطاء

ملاحظات تقنية

ما الجذور المعيارية من الرتبة k ومتى توجد

كيف تجد هذه الحاسبة كل جذر

الاستخدام العملي والحدود والتسعير والتسليم

حالات التكامل

مصححات الواجبات ودفاتر البحث

أسئلة تقنية

شكرًا