ForHosting KIT · الرياضيات

فاحص باقي القوة n

يخبرك ما إذا كان العدد قوة من الرتبة k بمقياس عدد أولي: العدد 2 مربع بمقياس 7، لأن 2 مرفوعًا إلى القوة 3 يترك الباقي 1. يعالج المربعات والمكعبات وأي قوة أعلى بأعداد صحيحة دقيقة. مجانًا في متصفحك.

مجاني
يعمل في متصفحك
دون تسجيل
بياناتك لا تغادر جهازك

شغّل الأداة مجانًا اطّلع على الـAPI

استخدمها من الويبAPIالبريدTelegramالتطبيق قريبًا

مثال محلول

إذا أدخلت

A: 2
K: 2
القدرة (W): 7

تحصل على

A بالتقابل: 2
Gcd: 2
رتبة الزمرة: 6
أس المعيار: 3

يُعدّ العدد الصحيح a باقي قوة k-ية مقياس عدد أولي p عندما يوجد عدد صحيح x يحقق أن x مرفوعاً إلى k يطابق a مقياس p. يعمّم هذا السؤال قابلية البواقي التربيعية (حالة k تساوي اثنين) إلى المكعبات والقوى الأعلى والأسس الموجبة الاعتباطية المستخدمة في نظرية الأعداد للمنافسات والتشفير التمهيدي. تستقبل هذه القدرة مرشحاً a وأساً موجباً k ومعاملاً أولياً p، وتختزل a إلى المجال من صفر إلى p ناقص واحد، وتتحقق من أن p أولي، ثم تطبق معيار المجموعة الدورية القياسي على المجموعة الضربية للحقل ذي p عنصراً. عندما يكون a قابلاً للقسمة على p تكون الإجابة دائماً نعم لـ k على الأقل واحد، لأن الصفر إلى أي قوة موجبة يساوي صفراً.

معنى باقي القوة k-ية مقياس عدد أولي

ثبّتوا معاملاً أولياً p وعدداً صحيحاً موجباً k. تشكل أصناف البواقي مقياس p حقلاً، وتشكل عناصره غير الصفرية مجموعة ضربية دورية رتبتها p ناقص واحد. يكون العدد الصحيح a غير القابل للقسمة على p باقي قوة k-ية مقياس p تماماً عندما يقع a في صورة التطبيق الذي يرسل كل صنف غير صفري x إلى x مرفوعاً إلى k.

وبما أن المجموعة دورية، فإن تلك الصورة هي الزمرة الجزئية الوحيدة ذات الدليل المساوي للقاسم المشترك الأعظم d لـ k و p ناقص واحد، وينتمي a إلى تلك الزمرة الجزئية إذا وفقط إذا كان a مرفوعاً إلى القوة (p ناقص واحد) مقسومة على d مطابقاً لواحد مقياس p. هذه الأسية المعيارية الوحيدة هي إجراء القرار المستخدم هنا. عندما يكون a قابلاً للقسمة على p، فإن المطابقة x إلى k مطابقاً لـ a لها الحل التافه x مطابقاً لصفر لكل k على الأقل واحد، ولذلك يُعامل الصفر دائماً كباقي قوة k-ية.

تسترجع الحالات الخاصة أدوات مألوفة: لـ k يساوي اثنين و p أولي فردي يكون المعيار معيار أويلر لقابلية البواقي التربيعية، وهي نفس معلومات رمز ليجاندر، بينما لـ k يساوي p ناقص واحد يكون كل a غير صفري باقياً بمبرهنة فيرما الصغرى. لا يخترع الطرف جذوراً عائمة ولا قوى تقريبية؛ بل يستخدم فقط حساباً معيارياً صحيحاً دقيقاً حتى تتطابق إجابات الكتب والاختبارات الآلية بتّاً بتّاً.

عقد الإدخال وفحص الأولية وحقول الاستجابة

أرسلوا الأعداد الصحيحة a و k و p. يجب أن يكون الأس k واحداً على الأقل وعلى الأكثر تريليوناً. لا تُملأ أسماء الحقول الاختيارية أبداً بـ null: يُحذف زوج المعيار ببساطة في حالة باقي الصفر.

فحوصات كلاسيكية يمكنكم إعادة إنتاجها يدوياً: لـ a يساوي اثنين و k يساوي ثلاثة و p يساوي سبعة، يكون gcd لثلاثة وستة ثلاثة فيكون أس المعيار اثنين ومربع اثنين أربعة مقياس سبعة وليس واحداً؛ إذن اثنان ليس باقياً مكعبياً مقياس سبعة؛ وبالمقابل واحد دائماً باقي قوة k-ية لكل أولي لأن واحداً إلى أي قوة هو واحد. تفشل الأعداد غير الصحيحة والحقول الإلزامية الناقصة والأسس دون واحد في التحقق برسالة إنجليزية واضحة.

أين تظهر فحوصات بواقي القوى الأعلى في العمل الحقيقي

يحتاج مبرمجو المنافسات إلى وسيط سريع قبل محاولة استخراج جذور مكعبة معيارية أو جذور أعلى: إذا كانت بتّة الباقي خاطئة فلا فائدة من البحث عن x. يتحقق طلاب التشفير من تمارين حول صورة خريطة القوة في الحقول المنتهية وأمثلة حساب الفهرس وتركيبات تعليمية تعتمد على كون صنف الرسالة قوة k-ية قبل تطبيق خريطة. غالباً ما تحتاج أنابيب البحث والواجبات التي تستخدم أصلاً رمزي ليجاندر أو جاكوبي للمربعات إلى نفس إجابة نعم أو لا للمكعبات والقوى الأعلى دون تبديل المكتبات.

استخدموا ودجت المتصفح لاستكشاف أعداد أولية صغيرة تفاعلياً، ثم استدعوا نفس العقد من سكربتات عندما تحتاجون فحوصات جماعية حتى الحد الموثّق. إن احتجتم فقط إلى قابلية البواقي التربيعية، تبقى أدوات الباقي التربيعي ورمز ليجاندر المخصصة متاحة؛ هذه الصفحة هي قرار القوة k-ية العام للمعاملات الأولية.

حالات الاستخدام

فحوصات الواجبات والمنافسات

قرّروا ما إذا كان a قوة k-ية مقياس العدد الأولي p في تمارين نظرية الأعداد دون كتابة أنبوب أسية معيارية و gcd خاص بكم.

تصفية مسبقة قبل استخراج الجذور

ارفضوا غير البواقي مبكراً في أنبوب كان سيحاول وإلا خوارزميات جذر مكعب أو أعلى على حقل أولي.

تدريس معيار المجموعة الدورية

أظهروا للطلاب gcd(k, p−1) وأس المعيار والقوة المعيارية التي تثبت أو تنفي قابلية الباقي لثلاثيات ملموسة.

الأسئلة الشائعة

ما باقي القوة k-ية مقياس عدد أولي p؟

العدد الصحيح a باقي قوة k-ية مقياس الأولي p إذا وُجد عدد صحيح x يحقق x^k ≡ a (mod p). تُبلّغ هذه الأداة بذلك باستخدام معيار المجموعة الدورية على F_p*.

لماذا يجب أن يكون p أولياً؟

يعتمد إجراء القرار على أن المجموعة الضربية مقياس p دورية من الرتبة p−1، وهذا يصح للمعاملات الأولية.

كيف تُحسب إجابة نعم أو لا؟

ليكن d = gcd(k, p−1). إذا لم يكن a قابلاً للقسمة على p فإن a باقي قوة k-ية إذا وفقط إذا a^((p−1)/d) ≡ 1 (mod p).

هل العدد 2 باقٍ تكعيبي بمقياس 7؟

لا. القاسم المشترك الأكبر للعددين 3 و6 هو 3، فيرفع الاختبار 2 إلى القوة 2، فيعطي 4 بمقياس 7 بدلًا من 1. إذن لا يوجد عدد صحيح مكعبه يترك الباقي 2.

هل يمكن أن يكون العدد a سالبًا أو أكبر من p؟

نعم، حتى تريليون واحد بالقيمة المطلقة. قبل الاختبار يُختصر a إلى باقيه بين 0 وp − 1. وإذا كان a مضاعفًا للعدد p فالإجابة دائمًا نعم.

أدوات ذات صلة

للمطوّرين — الوصول عبر API

كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.

الـEndpoint

POSThttps://api.kit.forhosting.com/numth/power-residue-check

صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.

استدعِ الخدمة من بيئتك

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/power-residue-check \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"a":2,"k":3,"p":7}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/power-residue-check", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "a": 2,
    "k": 3,
    "p": 7
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/numth/power-residue-check",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "a": 2,
    "k": 3,
    "p": 7
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/power-residue-check", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"a":2,"k":3,"p":7}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"a":2,"k":3,"p":7}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/power-residue-check", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

مثال على الطلب

{
  "a": 2,
  "k": 3,
  "p": 7
}

مثال على الاستجابة

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "numth.power_residue_check",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.

الأسعار

لكل طلب$0.002

السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.

الأخطاء

HTTP	الرمز	المعنى
`401`	`unauthorized`	مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك.
`402`	`insufficient_balance`	رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة.
`404`	`unknown_type`	نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب.
`429`	`rate_limited`	تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة.

ملاحظات تقنية

يشترك ودجت المتصفح وواجهة API في دالة نقية واحدة، فتظل فحوصات الواجبات التفاعلية والدفعات المبرمجة متسقة دون استدعاءات شبكة أو انحراف للنموذج.

عقد الإدخال وفحص الأولية وحقول الاستجابة

يجب أن يكون المعامل p أولياً بين اثنين وتريليون ضمن الحدود؛ تُرفض القيم المركبة مثل تسعة أو خمسة عشر بـ invalid_input ورسالة تسمّي الحقل وتبيّن أن p ليس أولياً، فلا تُحسب تلك الاستدعاءات. يجوز أن يكون المرشح a سالباً أو أكبر من p بالقيمة المطلقة حتى نفس حد التريليون؛ يُختزل إلى a_mod في الفترة نصف المفتوحة من صفر (مشمول) إلى p (مستبعد) قبل الاختبار. عند النجاح تتضمن الحمولة دائماً a و k و p و a_mod والقيمة المنطقية is_power_residue و gcd لـ k و p ناقص واحد و group_order المساوي لـ p ناقص واحد وسلسلة تفسير قصيرة بالإنجليزية. عندما يكون a_mod غير صفري تُبلّغ الحمولة أيضاً criterion_exp المساوي ل (p ناقص واحد) مقسوماً على ذلك gcd و criterion_value المساوي لـ a_mod مرفوعاً إلى ذلك الأس مقياس p، وهو يساوي واحداً تماماً عندما تكون بتّة الباقي صحيحة. تغذي الدالة النقية نفسها الأداة المجانية في المتصفح ومسار API المدفوع.

أين تظهر فحوصات بواقي القوى الأعلى في العمل الحقيقي

يكلّف المدرّسون بمسائل مثل تقرير ما إذا كان ثلاثة باقي قوة خامسة مقياس أحد عشر أو سرد أصناف المكعبات مقياس ثلاثة عشر، ويريدون إجابة JSON حتمية بدل جدول مكتوب يدوياً قد يفوت صنفاً. ولأن القدرة محرك parse نقي فلا انحراف للنموذج ولا مفتاح API خارجي ولا حالة مخزّنة: ينتج نفس الثلاثي دائماً نفس القيمة المنطقية ونفس قيمة المعيار. تسعير API هو الأساس المنشور $0.002 لكل عنصر ناجح؛ والتحقق الفاشل لا يستهلك الرصيد.

أسئلة تقنية

هل يُعدّ 0 باقي قوة k-ية؟

نعم. لكل k ≥ 1 لدينا 0^k ≡ 0 (mod p)، لذا a_mod = 0 باقي قوة دائماً وتُحذف حقول أس المعيار.

كم التكلفة؟

أداة المتصفح مجانية وتعمل محلياً. تستخدم طلبات API رصيد KIT المدفوع مسبقاً بمقدار $0.002 لكل عنصر ناجح؛ ولا تُحسب المدخلات غير الصالحة.

اطّلع على توثيق KIT الكامل ←

شغّل الأداة مجانًا

مثال محلول

معنى باقي القوة k-ية مقياس عدد أولي

عقد الإدخال وفحص الأولية وحقول الاستجابة

أين تظهر فحوصات بواقي القوى الأعلى في العمل الحقيقي

حالات الاستخدام

فحوصات الواجبات والمنافسات

تصفية مسبقة قبل استخراج الجذور

تدريس معيار المجموعة الدورية

الأسئلة الشائعة

أدوات ذات صلة

للمطوّرين — الوصول عبر API

الـEndpoint

استدعِ الخدمة من بيئتك

مثال على الطلب

مثال على الاستجابة

الأسعار

الأخطاء

ملاحظات تقنية

عقد الإدخال وفحص الأولية وحقول الاستجابة

أين تظهر فحوصات بواقي القوى الأعلى في العمل الحقيقي

أسئلة تقنية

شكرًا