حاسبة الجذر البدائي
يجد أصغر جذر بدائي لعدد أولي: بمقياس 7 هو 3، إذ تمر قواه بكل البواقي الستة غير الصفرية، بينما تتكرر قوى 2 بعد ثلاث قيم. وترى أيضًا p − 1 محللًا إلى قوى أولية. مجانًا في متصفحك.
- مجاني
- يعمل في متصفحك
- دون تسجيل
- بياناتك لا تغادر جهازك
شغّل الأداة مجانًا
مثال محلول
- القدرة (W)
- 7
- الجذر البدائي
- 3
- الرتبة
- 6
- أقصى عدد أرقام
- 15
الجذر البدائي بترديد عدد أولي p هو مولّد للزمرة الضربية للبواقي غير الصفرية بترديد p. ببساطة، لعدد صحيح ما g بين 1 وp ناقص واحد خاصية أن قواه المتتالية g وg تربيع وg تكعيب وهكذا، تصل في النهاية إلى كل فئة باقٍ أوّلية نسبيًا مع p قبل أن تتكرر. ذلك g مولّد ل (Z/pZ)*، وأصغر g موجب كهذا هو الإجابة الكلاسيكية في نظرية الأعداد التي يبحث عنها الطلاب والمشفّرون وحلّالو المسابقات. تأخذ هذه الحاسبة معاملًا أوليًا p، وتتحقق من أن p أولي، وتحلل p ناقص واحد، وتُعيد أصغر جذر بدائي مع رتبة الزمرة والتحليل الأولي القوي ل p ناقص واحد. المسار حتمي بالكامل: ميلر-رابين بمجموعات شواهد ثابتة، وتحليل تجريبي، وتربيع معياري متكرر بلا شبكة وبلا عشوائية وبلا اعتماد على تاريخ.
ما الجذر البدائي وما الذي يحتويه الرد
لمعامل أولي p، تكوّن مجموعة البواقي 1، 2، ...، p ناقص واحد زمرة ضربية دورية رتبتها p ناقص واحد. عدد صحيح g هو جذر بدائي بترديد p عندما تكون رتبة g في تلك الزمرة p ناقص واحد بالضبط: القوى g أس k ل k من 0 حتى p ناقص اثنين كلها متمايزة بترديد p وتستنفد كل باقٍ غير صفري. ليس كل عدد صحيح مولّدًا؛ فمثلًا بترديد 7 تدور قوى 2 عبر ثلاث قيم فقط قبل التكرار، فليس 2 جذرًا بدائيًا، بينما 3 يولّد الوحدات الست جميعها وهو الأصغر.
لا يوجد تخمين احتمالي يُعرَض كجذر ولا احتياط صامت لمعاملات مركّبة، لأن الجذر البدائي بالمعنى الكلاسيكي معرَّف للأعداد الأولية (وعائلات مركّبة خاصة قليلة لا تغطيها هذه الصفحة). إن احتجت إلى عوامل عدد صحيح عشوائي بدل مولّد بترديد p، فاستخدم قدرة تحليل بدلًا من ذلك؛ إذ تجيب هذه الصفحة فقط عن سؤال أصغر مولّد بترديد عدد أولي.
كيف يُفحص العدد الأولي وكيف يُوجد أصغر جذر
تُقبل إشارة الجمع البادئة الاختيارية؛ أما المسافات الداخلية وبادئات الست عشري والصيغة الأسّية فتُرفض برسالة واضحة حتى لا تتحول خلية خاطئة إلى مولّد خاطئ. بعد التحليل، يُشغّل المحرك اختبار أولية ميلر-رابين حتميًا بمجموعات شواهد مُثبَت أنها كافية لكل عدد صحيح لا يتجاوز خمسة عشر رقمًا عشريًا. وعندما تكون p أولية، يحلل المحرك p ناقص واحد بقسمة تجريبية بعجلة، ويجمع العوامل الأولية المميزة q لتلك الرتبة، ويبحث عن g يساوي 2، 3، 4، ...
عن أول مرشح بحيث لا تكون g مرفوعة ل (p ناقص واحد) مقسومة على q متطابقة مع 1 بترديد p لكل q كهذا. ذلك المعيار الكلاسيكي ضروري وكافٍ لتكون رتبة g هي p ناقص واحد. الحالة الخاصة p يساوي 2 تعيد جذرًا بدائيًا قدره 1، الوحدة الوحيدة في تلك الزمرة.
أين تُستخدم أصغر الجذور البدائية في الدراسة والتشفير والبرمجة
يواجه الطلاب الجذور البدائية عند تعلّم الزمر الدورية، واللوغاريتمات المتقطعة، وبنية الحقول المنتهية ذات الرتبة الأولية. غالبًا ما تطلب أوراق العمل أصغر مولّد بترديد عدد أولي صغير؛ وتُعيد هذه الصفحة تلك الإجابة مع التحليل الداعم ل p ناقص واحد حتى تتحقق من اختبارات الرتبة يدويًا. وكثيرًا ما تتطلب مسائل المسابقات وتمارين البرمجة أصغر جذر بدائي كإجراء فرعي لبناء كثيرات حدود بدائية، أو فهرسة جداول لوغاريتم متقطع، أو تغذية عروض نظرية أعداد.
في التشفير التطبيقي، تحتاج إنشاءات ديفي-هيلمان وما شابهها مولّدًا لزمرة فرعية بترتيب أولي كبير؛ ورغم أن الأنظمة الإنتاجية تستخدم أعدادًا أولية آمنة مختارة بعناية ومولّدات معيارية، تظل حاسبة شفافة للأعداد الأولية العادية مفيدة عند التحقق من معاملات بحجم واجب، أو كتابة اختبارات وحدات لمساعدات الرتبة المعيارية، أو شرح سبب نجاح g يساوي 2 لبعض الأعداد الأولية لا لغيرها. ويستطيع المعلمون توليد مفاتيح إجابة مسبقًا دون الوثوق بأدوات ويب مبهمة.
حالات الاستخدام
الواجبات والتحضير للمسابقات
ابحث عن أصغر جذر بدائي بترديد عدد أولي لتمارين الكتب المدرسية، وتدريبات اللوغاريتم المتقطع، والمسابقات البرمجية التي تفرض أصغر مولّد.
اختبارات معاملات تشفير حتمية
ولّد مولّدات قابلة لإعادة الإنتاج لاختبارات وحدات الرتبة المعيارية، وعروض ديفي-هيلمان على أعداد أولية تجريبية، وتأكيدات التكامل المستمر دون تضمين جداول ثابتة.
تعليم الزمر الدورية
أظهر أن قوى الجذر المُعاد تستنفد (Z/pZ)* وقارن مع لا-مولّدات باستخدام تحليل p−1 في الرد.
الأسئلة الشائعة
ماذا لو لم تكن p أولية؟
الجذور البدائية الكلاسيكية بهذا المعنى معرَّفة للمعاملات الأولية؛ وn المركّبة خارج النطاق.
هل النتيجة دائمًا أصغر جذر بدائي؟
ويُعيد أول مولّد، فيكون الجذر الأصغر بين البواقي الموجبة.
هل الخوارزمية عشوائية؟
لا. تستخدم الأولية مجموعات شواهد ميلر-رابين حتمية، والتحليل قسمة تجريبية، والقوى المعيارية دقيقة. تنتج p نفسها دائمًا الجذر نفسه.
ما أكبر عدد أولي يمكنني إرساله؟
يمكن أن تحتوي p على خمسة عشر رقمًا عشريًا كحد أقصى. تفشل القيم الأكبر برسالة واضحة تفيد بتجاوز حد الأرقام.
لماذا تظهر العوامل الأولية للعدد p − 1؟
لأن التحقق يعتمد عليها. يكون المرشح g جذرًا بدائيًا عندما لا يساوي g مرفوعًا إلى (p − 1)/q الواحد بمقياس p لأي عدد أولي q يقسم p − 1، فتستطيع إعادة الاختبار بنفسك.
أدوات ذات صلة
للمطوّرين — الوصول عبر API
كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.
الـEndpoint
صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.
استدعِ الخدمة من بيئتك
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/primitive-root \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"p":"7"}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/primitive-root", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"p": "7"
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/numth/primitive-root",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"p": "7"
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/primitive-root", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"p":"7"}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"p":"7"}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/primitive-root", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)مثال على الطلب
{
"p": "7"
}مثال على الاستجابة
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "numth.primitive_root",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.
الأسعار
السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.
الحدود
max_digits | 15 |
الأخطاء
| HTTP | الرمز | المعنى |
|---|---|---|
401 | unauthorized | مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك. |
402 | insufficient_balance | رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة. |
404 | unknown_type | نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب. |
429 | rate_limited | تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة. |
ملاحظات تقنية
استخدمها مجانًا في المتصفح للواجبات والفحوص السريعة، أو استدعِ واجهة برمجة التطبيقات (API) بتكلفة $0.002 لكل طلب ناجح عندما تُؤتمت ثوابت أو عروضًا تعليمية أو دفاتر معاملات تشفير تحتاج مولّدًا بترديد p قابلًا لإعادة الإنتاج.
ما الجذر البدائي وما الذي يحتويه الرد
تُعيد هذه الأداة العدد الأولي p كسلسلة عشرية، وأصغر جذر بدائي، ورتبة الزمرة p ناقص واحد، وعلامة is_prime منطقية دائمًا true عند النجاح، والعوامل القوية الأولية المرتبة ل p ناقص واحد المستخدَمة في اختبارات الرتبة، وحد max_digits المنشور حتى يتحقق العملاء قبل دفعة. أنماط الفشل صريحة: غياب p، والأعداد غير الصحيحة، والكسور، والصيغة العلمية، والقيم أقل من اثنين، والقيم بأكثر من خمسة عشر رقمًا، وp مركّبة، كلها تُثير invalid_input.
كيف يُفحص العدد الأولي وكيف يُوجد أصغر جذر
الحقل المفضَّل هو p كعدد صحيح JSON أو سلسلة عشرية؛ وتُقبل الأسماء البديلة prime وmodulus وn حتى تعيد النماذج وسلاسل الاستعلام وجداول البيانات استخدام العقد نفسه. إن فشل الاختبار، يكون الرد invalid_input يسمّي أن p ليست أولية.
أين تُستخدم أصغر الجذور البدائية في الدراسة والتشفير والبرمجة
في هذه الصفحة يعمل كل شيء داخل متصفحك بالكامل؛ وعبر واجهة برمجة التطبيقات (API) يكلّف كل استعلام ناجح $0.002، ولا تُفرض رسوم على التحقق الفاشل، ولا يُخزَّن شيء بعد إعادة الرد. هذا الفصل — استكشاف تفاعلي مجاني وواجهة برمجة تطبيقات مدفوعة مطابقة له — يوافق بقية فئة A من فهرس KIT، ويتيح لك الانتقال من عرض توضيحي في الصف إلى خط أنابيب آلي دون تغيير النتيجة الرياضية.
أسئلة تقنية
كم تكلّف حاسبة الجذر البدائي؟
هي مجانية في متصفحك على هذه الصفحة. وعبر واجهة برمجة التطبيقات (API) يكلّف الطلب الناجح $0.002؛ ولا تُفرض رسوم على المدخلات غير الصالحة.