ForHosting KIT · الرياضيات

حلّال نظرية الباقي الصيني

حل التطابقات الآنية دفعة واحدة: التطابقات x ≡ 2 mod 3 وx ≡ 3 mod 5 وx ≡ 2 mod 7 تعطي x ≡ 23 mod 105. يقبل مقاييس ذات عوامل مشتركة وينبّهك عندما يتناقض النظام. مجاني في متصفحك.

مجاني
يعمل في متصفحك
دون تسجيل
بياناتك لا تغادر جهازك

شغّل الأداة مجانًا اطّلع على الـAPI

استخدمها من الويبAPIالبريدTelegramالتطبيق قريبًا

مثال محلول

إذا أدخلت

البواقي: 2, 3, 2
المعاملات: 3, 5, 7

تحصل على

X: 23
المعامل: 105
الحاصل: 105
الكمية: 3

المسار حساب صحيح خالص: بلا شبكة وبلا عشوائية وبلا ساعة.

ماذا تقول نظرية الباقي الصيني

يبحث نظام التطابقات عن عدد واحد x يترك باقيًا محددًا عند قسمته على عدة قواسم تُسمّى المقاييس. وعندما تكون المقاييس أولية نسبيًا مثنى مثنى، أي لا يشترك أي اثنين منها في عامل، يوجد جواب واحد بالضبط بين الصفر وحاصل ضرب المقاييس ناقص واحد، وتتكرر بقية الأجوبة بقفزات بمقدار ذلك الحاصل. فالمثال الكلاسيكي x ≡ 2 mod 3 وx ≡ 3 mod 5 وx ≡ 2 mod 7 له صنف وحيد هو 23 بمقياس 105.

كيف يعمل الحلّال والأخطاء الشائعة

يدمج الحلّال التطابقات واحدًا تلو الآخر، فيضيف كل تطابق جديد إلى الجواب الذي وصل إليه. وإذا اشترك مقياسان في عامل، يتحقق أولًا من تطابق باقييهما بمقياس قاسمهما المشترك الأكبر، وإلا أخبرك بعدم وجود حل. وعند التطابق يتكرر الجواب كل مضاعف مشترك أصغر للمقاييس لا كل حاصل ضرب. ومن الأخطاء الشائعة توقّع جواب وحيد بمقياس حاصل الضرب مع وجود عوامل مشتركة، وإدخال البواقي والمقاييس بترتيب أو عدد مختلفين، ونسيان أن الباقي السالب يُختزل ببساطة بمقياس قاسمه.

أين تظهر أنظمة CRT في الدراسة وحدس التشفير والبرمجة

ويستطيع المعلمون توليد مفاتيح إجابة لأوراق عمل التطابقات المتزامنة دون الوثوق بحاسبات مبهمة تخفي القواسم المشتركة الوسيطة. ويستخدم المطورون العقد نفسه للتحقق من عمليات إعادة البناء المعيارية في عروض RSA تعليمية، ولبناء متجهات اختبار حتمية لمكتبات الحساب المعياري، وللتحقق من أن خط أنابيب بواقٍ لا يزال يرتفع إلى فئة واحدة بعد تغيير مخطط. وكثيرًا ما تحتاج ممارسة المسابقات إلى حلّال سريع دون اتصال حتى يُتحقَّق العمل اليدوي في ثوانٍ.

اقرن هذه الصفحة بفاحص أعداد أولية نسبية عندما تحتاج فقط القاسم المشترك الأكبر لعددين صحيحين، وبتحليل الأعداد الأولية عندما تحتاج القوى الأولية وراء معامل واحد بدل نظام متزامن.

حالات الاستخدام

تطابقات متزامنة للواجبات والمسابقات

حل أنظمة كتب مدرسية مثل x ≡ 2 mod 3، وx ≡ 3 mod 5، وx ≡ 2 mod 7 وتحقق من الفئة الوحيدة بترديد حاصل ضرب المعاملات.

إعادة البناء المعياري في العروض التعليمية

ارفع قوائم بواقٍ إلى فئة عدد صحيح واحدة عند شرح تماثل التشكل بين الحلقات، أو ألغاز التقويم، أو خطوات CRT تعليمية بنمط RSA.

ثوابت اختبار حتمية لمكتبات معيارية

ولّد حلول CRT قابلة لإعادة الإنتاج لاختبارات الوحدات وتأكيدات التكامل المستمر دون تضمين جداول محسوبة يدويًا تنحرف عن التنفيذ.

الأسئلة الشائعة

هل يجب أن تكون المعاملات أولية نسبيًا في أزواج؟

لا. تعطي المعاملات الأولية النسبية في أزواج دائمًا حلًّا وحيدًا بترديد حاصل ضربها. تُقبل المعاملات غير الأولية النسبية عندما تتفق البواقي بترديد كل قاسم مشترك أكبر؛ وإلا يُرفض النظام بوصفه غير متسق.

هل الخوارزمية عشوائية؟

لا. تستخدم CRT متتاليًا حتميًا بقاسم مشترك أكبر دقيق ومعكوسات معيارية. تنتج البواقي والمعاملات نفسها دائمًا x نفسها والمعامل نفسه.

كيف أحل x ≡ 2 mod 3 وx ≡ 3 mod 5 وx ≡ 2 mod 7؟

أدخل البواقي 2 و3 و2 والمقاييس 3 و5 و7 بالترتيب نفسه. الجواب هو 23، ويصلح أيضًا كل عدد يختلف عن 23 بمضاعف للعدد 105.

ماذا يحدث إذا تناقضت التطابقات؟

يخبرك الحلّال بأن النظام متناقض بدل أن يخترع جوابًا. ولا يوجد حل إلا إذا تطابق كل باقيين بمقياس القاسم المشترك الأكبر لمقياسيهما.

هل يمكنني إدخال بواقٍ سالبة؟

نعم. يُختزل كل باقٍ سالب بمقياس قاسمه الخاص قبل الحساب، فتحصل على النتيجة نفسها التي تعطيها البواقي الموجبة المكافئة.

أدوات ذات صلة

للمطوّرين — الوصول عبر API

كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.

الـEndpoint

POSThttps://api.kit.forhosting.com/numth/chinese-remainder

صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.

استدعِ الخدمة من بيئتك

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/chinese-remainder \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"remainders":[2,3,2],"moduli":[3,5,7]}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/chinese-remainder", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "remainders": [
      2,
      3,
      2
    ],
    "moduli": [
      3,
      5,
      7
    ]
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/numth/chinese-remainder",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "remainders": [
        2,
        3,
        2
    ],
    "moduli": [
        3,
        5,
        7
    ]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/chinese-remainder", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"remainders":[2,3,2],"moduli":[3,5,7]}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"remainders":[2,3,2],"moduli":[3,5,7]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/chinese-remainder", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

مثال على الطلب

{
  "remainders": [
    2,
    3,
    2
  ],
  "moduli": [
    3,
    5,
    7
  ]
}

مثال على الاستجابة

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "numth.chinese_remainder",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.

الأسعار

لكل طلب$0.002

السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.

الأخطاء

HTTP	الرمز	المعنى
`401`	`unauthorized`	مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك.
`402`	`insufficient_balance`	رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة.
`404`	`unknown_type`	نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب.
`429`	`rate_limited`	تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة.

ملاحظات تقنية

يأخذ حلّال نظرية الباقي الصيني نظام تطابقات متزامنة — x يطابق كل باقٍ a_i بترديد كل معامل n_i — ويُعيد فئة الحل الوحيدة عندما توجد. تُدخل مصفوفتين متوازيتين من البواقي والمعاملات؛ ويطويهما المحرك بنظرية الباقي الصيني المتتالية، ويتحقق من الاتساق عندما تشترك المعاملات في عوامل، ويذكر كلًّا من الممثل x بين صفر وناقص واحد من المعامل، ومعامل فئة الحل (حاصل ضرب n_i عندما تكون أولية نسبيًا في أزواج، وإلا مضاعفها المشترك الأصغر). استخدمه مجانًا في المتصفح للواجبات وممارسة المسابقات وعروض الحساب المعياري، أو استدعِ واجهة برمجة التطبيقات (API) بتكلفة $0.002 لكل طلب حل ناجح عندما تحتاج نصوص التصحيح، أو أدوات تدريس التشفير، أو ثوابت التكامل المستمر إجابات CRT قابلة لإعادة الإنتاج.

ماذا تُعيد نظرية الباقي الصيني ومتى تفشل الأنظمة

الثلاثية المدرسية الشهيرة — x ≡ 2 mod 3، وx ≡ 3 mod 5، وx ≡ 2 mod 7 — تعطي x ≡ 23 mod 105. تقبل هذه الأداة أيضًا الصيغة العامة: لا يلزم أن تكون المعاملات أولية نسبيًا في أزواج. كلاسيكيًا، إذا كانت المعاملات أولية نسبيًا في أزواج، توجد فئة باقٍ واحدة بالضبط بترديد حاصل ضرب n_i تحقق كل تطابق في آن واحد. في تلك الحالة يوجد حل إذا وفقط إذا اتفق كل زوج من البواقي بترديد القاسم المشترك الأكبر للمعاملات المقابلة، والحل وحيد بترديد المضاعف المشترك الأصغر لكل n_i. عندما تختلف البواقي، يفشل الطلب برمز invalid_input برسالة تسمّي التناقض بدل ابتكار x زائف. يتضمن رد JSON عند النجاح x وmodulus (معامل CRT لفئة الحل) وproduct (حاصل ضرب المعاملات المُدخلة الخام) والبواقي مختزلة بين صفر وناقص واحد من n_i، ونسخة من المعاملات، وcount. هذا الشكل ثابت للاختبارات المرجعية وعملاء الحزم البرمجية وأدوات المتصفح التي تعرض الجواب بجانب قائمة تحقق. غياب المصفوفات، والأطوال غير المتساوية، والمعاملات غير الموجبة، والأعداد غير الصحيحة، والقيم خارج نطاق الأعداد الصحيحة الآمنة، تفشل أيضًا برمز invalid_input، حتى لا تتحول خلايا جدول بيانات خاطئة إلى إجابات خاطئة صامتة.

كيف تُقرأ البواقي والمعاملات وكيف يبقى CRT المتتالي دقيقًا

يجب أن يكون كل معامل عددًا صحيحًا آمنًا موجبًا. يمكن أن تكون البواقي سالبة وتُختزل إلى الفترة المعيارية قبل الدمج. داخليًا يبدأ المحرك من التطابق الأول ويدمج التالي تكرارًا: بمعرفة x ≡ x0 mod m وx ≡ a mod n، يحسب g كالقاسم المشترك الأكبر ل m وn، ويرفض النظام إن لم يقبل a ناقص x0 القسمة على g، ثم يبني الحل المحدَّث بمعكوس معياري ل m على g بترديد n على g، ويضرب المعامل في n على g للحصول على المضاعف المشترك الأصغر الجديد. كل عمليات الضرب محروسة حتى يبقى الحاصل ومعامل CRT الوسيط ضمن الأعداد الصحيحة الآمنة في جافاسكريبت؛ وتفشل الحواصل الزائدة الحجم بوضوح بدل الالتفاف. الحقلان المفضَّلان هما remainders وmoduli كمصفوفتي JSON متساويتي الطول من الأعداد الصحيحة. تُخطَّط الأسماء البديلة a وai وresidues إلى remainders؛ وn وni وmods إلى moduli، حتى تعيد النماذج وسلاسل الاستعلام ودفاتر الملاحظات القديمة استخدام عقد واحد. يمكن أن يكون كل مدخل عددًا صحيحًا JSON أو سلسلة عشرية بإشارة بادئة اختيارية؛ وتُرفض الكسور والصيغة العلمية والمسافات الداخلية. تلك القابلية لإعادة الإنتاج هي ما يجعل مسار المتصفح المجاني متطابقًا بايتًا بايت مع مسار واجهة برمجة التطبيقات وما يبقي ثوابت التكامل المستمر أمينة.

أين تظهر أنظمة CRT في الدراسة وحدس التشفير والبرمجة

في هذه الصفحة يعمل كل شيء داخل متصفحك بالكامل؛ وعبر واجهة برمجة التطبيقات (API) يكلّف كل حل ناجح $0.002، ولا تُفرض رسوم على التحقق الفاشل، ولا يُخزَّن شيء بعد إعادة الرد.

أسئلة تقنية

كم يكلّف حلّال نظرية الباقي الصيني؟

هو مجاني في متصفحك على هذه الصفحة. وعبر واجهة برمجة التطبيقات (API) يكلّف الطلب الناجح $0.002؛ ولا تُفرض رسوم على المدخلات غير الصالحة.

ماذا يحدث إذا كان النظام غير متسق؟

يفشل الطلب برمز invalid_input برسالة تفيد بعدم وجود عدد صحيح x يحقق النظام كاملًا لأن البواقي تختلف بترديد القاسم المشترك الأكبر للمعاملات.

هل تُسمح البواقي السالبة؟

نعم. يمكن أن تكون البواقي سالبة؛ وتُختزل إلى المدى بين صفر وناقص واحد من n_i قبل دمج CRT. ويجب أن تكون المعاملات أعدادًا صحيحة موجبة.

اطّلع على توثيق KIT الكامل ←

شغّل الأداة مجانًا

مثال محلول

ماذا تقول نظرية الباقي الصيني

كيف يعمل الحلّال والأخطاء الشائعة

أين تظهر أنظمة CRT في الدراسة وحدس التشفير والبرمجة

حالات الاستخدام

تطابقات متزامنة للواجبات والمسابقات

إعادة البناء المعياري في العروض التعليمية

ثوابت اختبار حتمية لمكتبات معيارية

الأسئلة الشائعة

أدوات ذات صلة

للمطوّرين — الوصول عبر API

الـEndpoint

استدعِ الخدمة من بيئتك

مثال على الطلب

مثال على الاستجابة

الأسعار

الأخطاء

ملاحظات تقنية

ماذا تُعيد نظرية الباقي الصيني ومتى تفشل الأنظمة

كيف تُقرأ البواقي والمعاملات وكيف يبقى CRT المتتالي دقيقًا

أين تظهر أنظمة CRT في الدراسة وحدس التشفير والبرمجة

أسئلة تقنية

شكرًا