حاسبة المعكوس بالمقاس
معكوس 3 بالمقاس 11 هو 4، لأن 3 في 4 يساوي 12 وباقي قسمته على 11 هو 1. أدخل a والمقاس لتحصل على المعكوس الوحيد بين 0 وm ناقص واحد، أو على تنبيه واضح عندما لا يوجد. مجاني في متصفحك.
- مجاني
- يعمل في متصفحك
- دون تسجيل
- بياناتك لا تغادر جهازك
شغّل الأداة مجانًا
مثال محلول
- A
- 3
- M
- 11
- A بالتقابل
- 3
- الدالة العكسية
- 4
- Gcd
- 1
- التحقق
- 1
يجيب المعكوس بالمقاس عن سؤال واحد في الحساب الدقيق: إذا أُعطي العددان الصحيحان a و m، فأي باقٍ x في المدى من صفر إلى m ناقص واحد يحقق أن a مضروباً في x متطابق مع الواحد modulo m؟ ذلك الباقي هو المعكوس الضربي لـ a modulo m، ويوجد إذا وفقط إذا كان a و m أوليين معاً — أي أن القاسم المشترك الأكبر يساوي واحداً. تطلب ملاحظات التشفير وحلول المسابقات للتطابقات الخطية والقسمة المعيارية وواجبات الزمر الدورية هذا المعكوس، غير أن كثيراً من اللغات تعرض gcd ثنائياً فقط وتترك لكم معاملات بيزو. تقبل حاسبة المعكوس بالمقاس هذه العددين الصحيحين a و m، وتشغّل خوارزمية إقليدس الموسّعة، وتعيد المعكوس غير السالب الوحيد مع جداء تحقق يمكنكم التحقق منه دون إعادة اشتقاق الخطوات.
ماذا يعني المعكوس بالمقاس ومتى يوجد الباقي
يسمي المعكوس بالمقاس العدد الصحيح x الذي يلغي الضرب في a داخل حلقة بواقي الأعداد الصحيحة modulo m. بالرموز نكتب a مضروباً في x متطابقاً مع الواحد modulo m، أو a x ≡ 1 (mod m)، ونسمي x المعكوس الضربي المعياري لـ a modulo m. للحساب العادي دائماً معكوس لكل عدد غير صفري لأن القسمة عليه تعطي واحداً.
الحساب المعياري أشد صرامة. تدور البواقي كل m خطوة، لذا فإن a مضروباً في أي عدد صحيح مضاعف لـ gcd(a, m). إذا كان ذلك gcd أكبر من واحد فلا يمكن للجداء أن يكون متطابقاً مع الواحد الذي ليس مضاعفاً لـ gcd.
وعلى العكس تضمن هوية بيزو عددين صحيحين x و y بحيث a x زائد m y يساوي واحداً بالضبط عندما يساوي gcd(a, m) واحداً، واختزال x إلى المدى من صفر إلى m ناقص واحد يعطي المعكوس الوحيد الذي تعيده هذه الحاسبة. يصادف الطلاب الشرط نفسه عند القسمة في حقل منتهٍ، وعند عكس أس RSA عام modulo دالة أويلر، وعند التراجع عن جداء معياري في مسار تجزئة، أو عند حل التطابق الخطي a x ≡ 1 (mod m) في البرمجة التنافسية.
البحث عن المعكوس بالمقاس هو الصياغة اليومية لذلك السؤال: إذا أُعطي a و m، فأي باقٍ يعيد ضرب a إلى واحد.
أين تستحق حاسبة المعكوس بالمقاس موضعها
تستخدم القاعات ومنصات الإرشاد أداة مخصصة للمعكوس بالمقاس حتى يتحقق المتعلمون من a معكوساً modulo m دون تشغيل خطوات إقليدس يدوياً ودون الثقة بآلة جيب تفقد الدقة في صمت بعد اثنين إلى الثالثة والخمسين. يحتاج مولّدو الاختبارات ومصححو أنظمة إدارة التعلم إلى وحي حتمي يعلّم الزوج غير الأولي معاً باطلاً بدل قبول حارس قد يصدره أيضاً سكربت معيب. تستفيد مواقع المحتوى التي تترتب على حاسبة المعكوس بالمقاس أو معكوس a modulo m من ودجة حية يتطابق مسارها المجاني في المتصفح بايتاً ببايت مع الأتمتة المدفوعة مسبقاً على الوحدة النقية نفسها.
إخفاقات التحقق والأزواج غير الأولية معاً لا تستهلك الرصيد. أبقوا الطلبات داخل حدود المقدار المنشورة، وثبّتوا المعكوس في الاختبارات، فتحصلوا على بواقي قابلة للتكرار للواجبات وإضافات LMS والعاملين على الحافة دون إقامة بنية تحتية رمزية خاصة بكم. لا تحل القدرة التطابقات الخطية العامة a x ≡ b (mod m) عندما لا يساوي b واحداً، ولا تحسب لوغاريتمات متقطعة، ولا تعكس أعداداً حقيقية بلا مقاس؛ تلك نوايا بحث مختلفة تغطيها مدخلات أخرى في الفهرس.
حالات الاستخدام
مختبرات التشفير ومساعدات القسمة المعيارية
اعكسوا الأسس العامة modulo φ(n)، وتراجعوا عن جداءات معيارية، أو استبدلوا قصاصات gcd موسّع مرتجلة بنداء دقيق واحد داخل الحدود الموثّقة.
الأسئلة الشائعة
ماذا يحدث إن لم يكن a و m أوليين معاً؟
تتضمن الرسالة gcd(a, m) لتعرفوا لماذا لا يوجد معكوس. التحقق الفاشل لا يُفوتر.
أي خوارزمية تحسب المعكوس بالمقاس؟
خوارزمية إقليدس الموسّعة. تجد معاملات بيزو لـ a mod m و m؛ عندما يكون gcd مساوياً 1 يُختزل معامل a إلى المدى 0..m−1.
ما نطاقات a و m المقبولة؟
يجب أن يكون m عدداً صحيحاً من 2 إلى 1,000,000,000,000. ويجب أن يكون a عدداً صحيحاً لا تتجاوز قيمته المطلقة ذلك الحد نفسه. تُرفض القيم خارج تلك الحدود.
كيف أتحقق من صحة المعكوس بالمقاس؟
اضرب a في المعكوس واقسم الناتج على m، فيجب أن يكون الباقي 1. فإذا كان a يساوي 3 وm يساوي 11، فإن المعكوس 4 يعطي 12 وباقيه 1. وتعرض الحاسبة هذا التحقق بجانب النتيجة.
فيم يُستخدم المعكوس بالمقاس؟
يُستخدم للقسمة في الحساب المعياري وحل التطابقات الخطية والحساب في الحقول المنتهية وعكس الأس العام في RSA بالمقاس دالة أويلر. ويظهر في التشفير ومسابقات البرمجة وتمارين الزمر الدورية.
أدوات ذات صلة
للمطوّرين — الوصول عبر API
كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.
الـEndpoint
صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.
استدعِ الخدمة من بيئتك
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/inverse-modulo \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":3,"m":11}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/inverse-modulo", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 3,
"m": 11
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/inverse-modulo",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 3,
"m": 11
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/inverse-modulo", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":3,"m":11}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":3,"m":11}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/inverse-modulo", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)مثال على الطلب
{
"a": 3,
"m": 11
}مثال على الاستجابة
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.inverse_modulo",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.
الأسعار
السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.
الحدود
max_abs | 1000000000000 |
الأخطاء
| HTTP | الرمز | المعنى |
|---|---|---|
401 | unauthorized | مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك. |
402 | insufficient_balance | رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة. |
404 | unknown_type | نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب. |
429 | rate_limited | تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة. |
ملاحظات تقنية
عندما لا يكون a و m أوليين معاً تفشل المهمة بـ invalid_input بدل اختراع باقٍ. تشغّل الدالة النقية نفسها أداة المتصفح المجانية ومسار API، فلا يختلف فحص واجب ونص إنتاج على ثلاثة معكوس مقاس أحد عشر.
ماذا يعني المعكوس بالمقاس ومتى يوجد الباقي
إرجاع خطأ منسّق invalid_input عندما لا يكون الزوج أولياً معاً أنفع من صفر صامت: يتعلم العميل أنه لا يوجد معكوس ويمكنه التفريع حسب gcd بدل التخمين أي مكتبة أعادت باقياً خاطئاً. يجب أن يكون المقاس عدداً صحيحاً لا يقل عن اثنين حتى لا يكون نظام البواقي تافهاً؛ مقاس الواحد يطوي كل عدد صحيح في الصنف نفسه ويُرفض كـ invalid_input لا كنجاح أجوف.
عقد الإدخال وخوارزمية إقليدس الموسّعة والأخطاء
فحوص كلاسيكية: a يساوي ثلاثة و m يساوي أحد عشر يعطي inverse أربعة لأن ثلاثة في أربعة اثنا عشر ويترك باقياً واحداً؛ a يساوي سبعة و m يساوي ستة وعشرين يعطي inverse خمسة عشر. أرسلوا جسماً JSON بعددين صحيحين إلزاميين: a وهو العدد الصحيح المطلوب معكوسه modulo m، و m وهو مقاس لا يقل عن اثنين. يمكن أن يصل كل حقل كعدد JSON أو كسلسلة عدد صحيح عشري؛ الحقول الناقصة والسلاسل الفارغة والكسور والقيم غير العددية تفشل بـ invalid_input مع تسمية الحقل. لا يجوز أن تتجاوز القيم المطلقة ترليوناً حتى يبقى كل جداء وسيط داخل عزل Worker. يختزل التنفيذ أولاً a إلى صنف الباقي غير السالب a_mod من صفر إلى m ناقص واحد، ثم يطبق خوارزمية إقليدس الموسّعة على الزوج a_mod و m. تسجّل كل خطوة الحاصل الصحيح وتحدّث معاملات بيزو بحيث عند الانتهاء يضرب معامل a_mod في a_mod زائد معامل m فيساوي gcd. إذا لم يكن ذلك gcd واحداً فشل الطلب بـ invalid_input ورسالة تسمي المدخلين و gcd وتصرّح أن a و m ليسا أوليين معاً؛ لا يُحسب شيء. إذا كان gcd واحداً اختُزل معامل a_mod إلى المدى من صفر إلى m ناقص واحد وأُعيد كـ inverse. يعيد الرد أيضاً a و m و a_mod و gcd و check المساوي لـ a_mod مضروباً في inverse modulo m (واحد دائماً عند النجاح)، وسلسلة formula تعيد صياغة الهوية (a مضروباً في inverse) المتطابقة مع الواحد modulo m. أرفقوا الرد بتنضيدكم إن احتجتم إلى أس سالب واحد مرسوم؛ نقطة النهاية هذه تحسب المعكوس فقط ولا تصدر رسوماً ولا نثراً خطوة بخطوة بعد حقل formula.
أين تستحق حاسبة المعكوس بالمقاس موضعها
مدربو المسابقات وصناديق تعليم RSA وعروض الحقول المنتهية ومساعدات القسمة المعيارية تعكس عدداً صحيحاً داخل مدى بواقي ثابت؛ استدعاء API صغيرة من نوع parse يجنب إعادة تنفيذ gcd الموسّع في كل لغة ويجنب سحب نظام جبر حاسوبي من أجل عددين صحيحين. لأن التنفيذ parse نقي من المستوى A، تكلف كل مكالمة ناجحة السعر الأساسي المنشور $0.002 بلا رموز نموذج وبلا شبكة صادرة.
حالات التكامل
فحوص المعكوس بالمقاس في القاعة
اسمحوا للطلاب بإرسال a و m والتحقق من الباقي الفريد x حيث (a · x) ≡ 1 (mod m)، أو رؤية invalid_input واضح عندما لا يكون الزوج أولياً معاً.
وحي المسابقات والتصحيح الآلي في LMS
صحّحوا بنود المعكوس بالمقاس بمعكوس حتمي وارفضوا المدخلات غير الأولية معاً كـ invalid_input بدل إعادة صفر أجوف في صمت.
أسئلة تقنية
كيف تحسبون معكوس a modulo m؟
أرسلوا JSON بالحقلين الصحيحين a و m (m ≥ 2). عند النجاح يعيد الرد inverse في 0..m−1، مع a_mod و gcd (دائماً 1) و check (دائماً 1) وصيغة الهوية.
كم تكلفة حاسبة المعكوس بالمقاس؟
أداة المتصفح مجانية. تستخدم طلبات API رصيد KIT المدفوع مسبقاً بسعر $0.002 لكل مكالمة ناجحة؛ المدخل غير الصالح أو غير الأولي معاً لا يُفوتر.