Inverses-modulo-Rechner
Das Inverse von 3 modulo 11 ist 4, denn 3 mal 4 ergibt 12 und lässt den Rest 1. Geben Sie a und den Modul ein und erhalten Sie das eindeutige Inverse zwischen 0 und m minus eins oder einen klaren Hinweis, wenn keines existiert. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- A
- 3
- M
- 11
- A modulo
- 3
- Umkehrfunktion
- 4
- Gcd
- 1
- Prüfung
- 1
Inverses modulo beantwortet eine einzige Frage der exakten Arithmetik: gegeben ganze Zahlen a und m, welcher Rest x im Bereich von null bis m minus eins erfüllt, dass a mal x kongruent eins modulo m ist? Dieser Rest ist das multiplikative Inverse von a modulo m und existiert genau dann, wenn a und m teilerfremd sind — ihr größter gemeinsamer Teiler ist eins. Kryptografie-Notizen, Wettbewerbslösungen linearer Kongruenzen, modulare Division und Hausaufgaben zu zyklischen Gruppen verlangen dieses Inverse, doch viele Sprachen stellen nur einen binären gcd bereit und überlassen Ihnen die Bézout-Koeffizienten. Dieser Inverses-modulo-Rechner nimmt die ganzen Zahlen a und m entgegen, führt den erweiterten euklidischen Algorithmus aus und liefert das eindeutige nichtnegative Inverse zusammen mit einem Prüfprodukt, das Sie ohne erneutes Ableiten der Schritte prüfen können.
Was Inverses modulo bedeutet und wann der Rest existiert
Inverses modulo bezeichnet die ganze Zahl x, die die Multiplikation mit a im Restklassenring der ganzen Zahlen modulo m rückgängig macht. In Symbolen schreiben wir a mal x kongruent eins modulo m, oder a x ≡ 1 (mod m), und nennen x das modulare multiplikative Inverse von a modulo m. Die gewöhnliche Arithmetik hat für jede von null verschiedene Zahl stets ein Inverses, weil Division durch sie eins ergibt.
Die modulare Arithmetik ist strenger. Reste schlagen alle m Schritte um, daher ist a mal jede ganze Zahl ein Vielfaches von gcd(a, m). Ist dieser gcd größer als eins, kann das Produkt nie kongruent zu eins sein, das kein Vielfaches des gcd ist.
Umgekehrt garantiert Bézouts Identität ganze Zahlen x und y mit a x plus m y gleich eins genau dann, wenn gcd(a, m) eins ist; x in den Bereich von null bis m minus eins zu reduzieren liefert das eindeutige Inverse, das dieser Rechner zurückgibt. Lernende treffen dieselbe Bedingung beim Teilen in einem endlichen Körper, beim Invertieren eines öffentlichen RSA-Exponenten modulo Eulers totient, beim Rückgängigmachen eines modularen Produkts in einer Hash-Pipeline oder beim Lösen der linearen Kongruenz a x ≡ 1 (mod m) im Wettbewerbsprogrammieren.
Die Suche nach Inverses modulo ist die alltägliche Formulierung dieser Frage: gegeben a und m, welcher Rest multipliziert a zurück zu eins.
Wo ein Inverses-modulo-Rechner seinen Platz verdient
Klassenzimmer und Tutoriums-Plattformen nutzen ein eigenes Inverses-modulo-Werkzeug, damit Lernende a inverses modulo m prüfen können, ohne euklidische Schritte von Hand zu laufen oder einer Taschenrechners zu vertrauen, der jenseits von zwei hoch dreiundfünfzig still Präzision verliert. Prüfungs-Generatoren und Bewerter von Lernmanagement-Systemen brauchen ein deterministisches Orakel, das ein nicht teilerfremdes Paar als ungültig markiert, statt eine Wächterzahl zu akzeptieren, die auch ein fehlerhaftes Skript ausgeben könnte. Fehlgeschlagene Validierung und nicht teilerfremde Paare werden nicht berechnet.
Halten Sie Anfragen innerhalb der veröffentlichten Größengrenzen, pinnen Sie das Inverse in Tests, und Sie erhalten reproduzierbare Reste für Hausaufgaben, LMS-Erweiterungen und Edge-Worker, ohne eigene symbolische Infrastruktur aufzustellen. Die Fähigkeit löst keine allgemeinen linearen Kongruenzen a x ≡ b (mod m) für b ungleich eins, berechnet keine diskreten Logarithmen und invertiert keine reellen Zahlen ohne Modul; das sind andere Suchabsichten, die andere Katalogeinträge bedienen.
Anwendungsfälle
Krypto-Labore und Hilfen zur modularen Division
Invertieren Sie öffentliche Exponenten modulo φ(n), machen Sie modulare Produkte rückgängig oder ersetzen Sie ad-hoc-Schnipsel des erweiterten gcd durch einen einzigen exakten Aufruf innerhalb dokumentierter Grenzen.
Häufige Fragen
Was geschieht, wenn a und m nicht teilerfremd sind?
Die Meldung enthält gcd(a, m), damit Sie wissen, warum kein Inverses existiert. Fehlgeschlagene Validierung wird nicht berechnet.
Welcher Algorithmus berechnet Inverses modulo?
Der erweiterte euklidische Algorithmus. Er findet Bézout-Koeffizienten für a mod m und m; ist der gcd 1, wird der Koeffizient von a in den Bereich 0..m−1 reduziert.
Welche Bereiche von a und m werden akzeptiert?
m muss eine ganze Zahl von 2 bis 1,000,000,000,000 sein. a muss eine ganze Zahl sein, deren Absolutbetrag höchstens dieselbe Schranke hat. Werte außerhalb dieser Grenzen werden abgelehnt.
Wie prüfe ich, ob ein modulares Inverses stimmt?
Multiplizieren Sie a mit dem Inversen und teilen Sie durch m: Der Rest muss 1 sein. Bei a gleich 3 und m gleich 11 ergibt das Inverse 4 das Produkt 12 mit Rest 1. Der Rechner zeigt diese Probe neben dem Ergebnis.
Wofür braucht man das modulare Inverse?
Zum Dividieren in der modularen Arithmetik, zum Lösen linearer Kongruenzen, zum Rechnen in endlichen Körpern oder zum Invertieren eines öffentlichen RSA-Exponenten modulo der eulerschen Phi-Funktion. Es begegnet Ihnen in Kryptografie, Programmierwettbewerben und Übungen zu zyklischen Gruppen.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/inverse-modulo \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":3,"m":11}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/inverse-modulo", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 3,
"m": 11
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/inverse-modulo",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 3,
"m": 11
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/inverse-modulo", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":3,"m":11}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":3,"m":11}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/inverse-modulo", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"a": 3,
"m": 11
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.inverse_modulo",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Limits
max_abs | 1000000000000 |
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Sind a und m nicht teilerfremd, scheitert die Aufgabe mit invalid_input, statt einen Rest zu erfinden.
Was Inverses modulo bedeutet und wann der Rest existiert
Ein typisierter invalid_input-Fehler bei nicht teilerfremden Paaren ist nützlicher als eine stille Null: der Client erfährt, dass kein Inverses existiert, und kann am gcd verzweigen, statt zu raten, welche Bibliothek einen falschen Rest lieferte. Der Modul muss eine ganze Zahl von mindestens zwei sein, damit das Restsystem nichttrivial ist; ein Modul von eins stürzt jede ganze Zahl in dieselbe Klasse und wird als invalid_input abgelehnt statt als hohler Erfolg.
Eingabevertrag, erweiterter euklidischer Algorithmus und Fehler
Klassische Prüfungen: a gleich drei und m gleich elf liefert inverse vier, weil drei mal vier zwölf ist und Rest eins lässt; a gleich sieben und m gleich sechsundzwanzig liefert inverse fünfzehn. Ergänzen Sie die Antwort um Ihren eigenen Satzspiegel, falls Sie ein gesetztes hochgestelltes Minus eins brauchen; dieser Endpunkt berechnet nur das Inverse und liefert weder Plots noch Schritt-für-Schritt-Prosa jenseits des Felds formula. Senden Sie einen JSON-Körper mit zwei Pflichtganzen: a, die ganze Zahl, deren Inverse modulo m gesucht wird, und m, einen Modul von mindestens zwei. Jedes Feld darf als JSON-Zahl oder als dezimale Ganzzahlzeichenkette eintreffen; fehlende Felder, leere Zeichenketten, Brüche und nichtnumerische Werte scheitern mit invalid_input unter Nennung des Felds. Absolutbeträge dürfen eine Billion nicht überschreiten, damit jedes Zwischenprodukt in einer Worker-Isolierung bleibt. Die Implementierung reduziert a zuerst in die nichtnegative Restklasse a_mod von null bis m minus eins und wendet dann den erweiterten euklidischen Algorithmus auf das Paar a_mod und m an. Jeder Schritt speichert den ganzzahligen Quotienten und aktualisiert die Bézout-Koeffizienten, sodass am Ende der Koeffizient von a_mod mal a_mod plus ein Koeffizient von m den gcd ergibt. Ist dieser gcd nicht eins, scheitert die Anfrage mit invalid_input und einer Meldung, die beide Eingaben und den gcd nennt und festhält, dass a und m nicht teilerfremd sind; es wird nichts berechnet. Ist der gcd eins, wird der Koeffizient von a_mod in den Bereich von null bis m minus eins reduziert und als inverse zurückgegeben. Die Antwort wiederholt außerdem a, m, a_mod, gcd, check gleich a_mod mal inverse modulo m (bei Erfolg stets eins) und eine formula-Zeichenkette, die die Identität (a mal inverse) kongruent eins modulo m erneut formuliert.
Wo ein Inverses-modulo-Rechner seinen Platz verdient
Wettbewerbstrainer, RSA-Lehrsandkästen, Endliche-Körper-Demos und Hilfen zur modularen Division invertieren eine ganze Zahl in einem festen Restbereich; der Aufruf einer kleinen parse-API erspart, den erweiterten gcd in jeder Sprache neu zu schreiben, und erspart, für zwei ganze Zahlen ein Computeralgebrasystem zu ziehen. Weil die Implementierung reines parse der Stufe A ist, kostet jeder erfolgreiche Aufruf den veröffentlichten Grundpreis $0.002 ohne Modell-Token und ohne ausgehendes Netz.
Integrationsbeispiele
Inverses-modulo-Prüfungen im Unterricht
Lassen Sie Lernende a und m senden und den eindeutigen Rest x mit (a · x) ≡ 1 (mod m) prüfen, oder ein klares invalid_input sehen, wenn das Paar nicht teilerfremd ist.
Wettbewerbsorakel und automatische LMS-Bewertung
Bewerten Sie Inverses-modulo-Aufgaben mit einem deterministischen Inversen und lehnen Sie nicht teilerfremde Eingaben als invalid_input ab, statt still eine hohle Null zurückzugeben.
Technische Fragen
Wie berechnen Sie das Inverse von a modulo m?
Senden Sie JSON mit den ganzzahligen Feldern a und m (m ≥ 2). Bei Erfolg liefert die Antwort inverse in 0..m−1, plus a_mod, gcd (stets 1), check (stets 1) und die Identitätsformel.
Was kostet der Inverses-modulo-Rechner?
Das Browser-Werkzeug ist kostenlos. API-Anfragen nutzen vorausbezahltes KIT-Guthaben zu $0.002 je erfolgreichem Aufruf; ungültige oder nicht teilerfremde Eingaben werden nicht berechnet.