Potenz modulo
Erhalten Sie den Rest einer riesigen Potenz, ohne die Potenz je auszurechnen: 2 hoch 10 modulo 1000 lässt 24, und 3 hoch 5 modulo 13 lässt 9. Exakte ganze Zahlen für Hausaufgaben, Wettbewerbsaufgaben und zyklische Zähler. Kostenlos in Ihrem Browser.
- Kostenlos
- Läuft in Ihrem Browser
- Ohne Anmeldung
- Ihre Daten bleiben auf Ihrem Gerät
Im Browser ausführen – kostenlos
Rechenbeispiel
- Basis
- 2
- Exponent
- 10
- Betrag
- 1.000
- Rest
- 24
- Ausdruck
- 2^10 mod 1000
Potenz modulo beantwortet eine alltägliche Rechenfrage: welcher Rest bleibt, wenn eine Basis zu einem Exponenten erhoben und anschließend durch einen positiven ganzen Modul geteilt wird? Lernende schreiben diesen Rest als Basis hoch Exponent, mod m; Wettbewerbsrichter, zyklische Zähler, Spiel-Hash-Demos und Hausaufgaben zur modularen Arithmetik brauchen denselben eindeutigen Wert im Bereich von null bis m minus eins, ohne jemals die riesige Zwischenpotenz zu materialisieren.
Was Potenz modulo berechnet und warum schnelle Exponentiation zählt
Zu ganzen Zahlen base, exponent und Modul m liefert Potenz modulo den eindeutigen Rest r im Bereich von null bis m minus eins, sodass die Basis hoch dem Exponenten kongruent zu r modulo m ist. In Symbolen gilt r ≡ base^exponent (mod m). Naives Potenzieren multipliziert die Basis exponent-mal mit sich selbst und teilt erst danach, wodurch riesige Zwischenwerte wachsen und gewöhnliches Gleitkomma oder festbreite Ganzzahlen längst überlaufen, bevor ein wettkampfgroßer Exponent fertig ist.
Schnelle Exponentiation durchläuft stattdessen die Bits des Exponenten vom niedrigst- zum höchstwertigen, quadriert die laufende Basis nach jedem Bit, multipliziert in den laufenden Rest, wenn das Bit gesetzt ist, und reduziert nach jeder Multiplikation modulo m, sodass Zwischenwerte kleiner bleiben als m im Quadrat. Ist m gleich eins, ist jede ganze Zahl kongruent zu null, der Rest also stets null. Ist der Exponent null, ist der Rest eins für jede Basis, sofern m größer als eins ist, gemäß der Leeres-Produkt-Konvention, dass jede endliche Zahl hoch null eins ergibt.
Negative Basen werden zuerst in das nichtnegative Restsystem modulo m reduziert, damit die Multiplikationskette niemals vorzeichenbehaftete Reste mischt. Negative Exponenten werden zurückgewiesen, weil sie modulare Inverse verlangen, die nicht existieren müssen, und eine andere Suchabsicht sind als der Rest einer Potenz.
Wo ein Potenz-modulo-Rechner seinen Platz verdient
Unterrichtsräume und Tutoriumsplattformen nutzen ein eigenes Potenz-modulo-Werkzeug, damit Lernende a hoch b, reduziert modulo m, prüfen können, ohne riesige Zwischenwerte von Hand zu multiplizieren oder einem Taschenrechner zu trauen, der jenseits von zwei hoch dreiundfünfzig still die Genauigkeit verliert. Prüfungsgeber und Korrektoren von Lernmanagementsystemen brauchen ein deterministisches Orakel, das einen nichtpositiven Modul als ungültig markiert, statt eine Wächterzahl zu akzeptieren, die auch ein fehlerhaftes Skript ausgeben könnte. Eine gescheiterte Prüfung wird nicht berechnet.
Halten Sie Anfragen innerhalb der veröffentlichten Größengrenzen, pinnen Sie den Rest in Tests, und Sie erhalten reproduzierbare Reste für Hausaufgaben, LMS-Erweiterungen und Rand-Worker, ohne eigene symbolische Mathematikinfrastruktur aufzustellen. Die Fähigkeit berechnet keine modularen Inverse, löst keine diskreten Logarithmen und erhebt keine reelle Zahl ohne Reduktion modulo m; das sind andere Suchabsichten, die andere Katalogeinträge bedienen.
Anwendungsfälle
Zyklische Zähler, Hashes und Sharding-Skripte
Falten Sie eine große ganzzahlige Potenz in einen festen Restbereich für Spiele, Ranglisten oder Spiel-Hash-Schritte, ohne Quadrieren-und-Multiplizieren in jeder Sprache neu zu schreiben.
Häufige Fragen
Was geschieht, wenn der Modul keine positive ganze Zahl ist?
Null, ein negativer Modul und ein nichtganzzahliger Modul definieren den hier verwendeten nichtnegativen Standardrest nicht und werden nicht berechnet.
Warum wird ein negativer Exponent zurückgewiesen?
Negative Exponenten bedeuten reziproke Potenzen und verlangen modulare Inverse, die nicht existieren müssen, wenn base und modulus nicht teilerfremd sind. Diese Fälle liegen außerhalb des Umfangs.
Wie berechnet schnelle Exponentiation den Rest?
Binäres Quadrieren-und-Multiplizieren durchläuft die Bits des Exponenten, quadriert die laufende Basis modulo m in jedem Schritt und multipliziert in den Rest, wenn ein Bit gesetzt ist, sodass die Arbeit mit der Bitlänge des Exponenten skaliert.
Darf die Basis bei Potenz modulo negativ sein?
Ja. Eine negative Basis wird zuerst in den Bereich von null bis m minus eins gebracht, sodass der Rest immer null oder positiv ist. Nur der Exponent muss null oder größer sein und der Modul eine positive ganze Zahl.
Welchen Rest ergibt eine Potenz mit Exponent null?
Sie ergibt 1 bei jeder Basis, solange der Modul größer als 1 ist, denn jede Zahl hoch null ist eins. So ergibt 7 hoch 0 modulo 5 den Rest 1. Beim Modul 1 ist der Rest immer 0.
Wie groß dürfen Basis, Exponent und Modul sein?
Die Basis darf im Betrag höchstens eine Billiarde betragen, der Exponent höchstens eine Million und der Modul höchstens eine Billiarde. Innerhalb dieser Grenzen rechnet das Werkzeug jede Multiplikation exakt, ohne dass Ihnen Stellen verloren gehen.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/power-modulo \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"base":2,"exponent":10,"modulus":1000}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/power-modulo", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"base": 2,
"exponent": 10,
"modulus": 1000
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/power-modulo",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"base": 2,
"exponent": 10,
"modulus": 1000
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/power-modulo", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"base":2,"exponent":10,"modulus":1000}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"base":2,"exponent":10,"modulus":1000}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/power-modulo", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"base": 2,
"exponent": 10,
"modulus": 1000
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.power_modulo",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Limits
max_abs_base | 1000000000000000 |
max_exponent | 1000000 |
max_modulus | 1000000000000000 |
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Dieser Potenz-modulo-Rechner nimmt drei ganze Zahlen entgegen — base, exponent und einen positiven ganzen modulus —, wertet die Potenz mit schneller binärer Exponentiation aus, reduziert nach jeder Multiplikation und liefert diesen Rest zusammen mit einem kurzen Anzeigeausdruck. Ist der Modul keine positive ganze Zahl, scheitert die Aufgabe mit invalid_input, statt einen Rest zu erfinden.
Was Potenz modulo berechnet und warum schnelle Exponentiation zählt
Der Modul muss eine positive ganze Zahl sein; null, ein negativer Wert oder ein Bruch definieren den üblichen nichtnegativen Rest nicht, und der Rechner liefert invalid_input statt einer erfundenen Antwort.
Eingangsvertrag, Algorithmus, Antwortform und Fehler
Der Algorithmus ist binäres Quadrieren-und-Multiplizieren über exakten ganzen Zahlen: für jedes Bit des Exponenten wird die laufende Basis modulo m quadriert und, wenn das Bit gesetzt ist, in den laufenden Rest modulo m multipliziert. Verbinden Sie die Antwort mit Ihrer eigenen Satztechnik, wenn Sie einen gesetzten Hochindex brauchen; dieser Endpunkt berechnet nur den Rest und gibt weder Diagramme noch Schritt-für-Schritt-Prosa jenseits des Feldes formula aus. Senden Sie einen JSON-Körper mit drei erforderlichen ganzen Zahlen: base, die zu erhebende ganze Zahl; exponent, eine nichtnegative ganze Potenz; und modulus, eine positive ganze Zahl m. Jedes Feld darf als JSON-Zahl oder als dezimale Ganzzahlzeichenkette eintreffen; die Aliase a für base, exp oder e oder power für exponent sowie m oder mod für modulus werden angenommen und in dieser Reihenfolge aufgelöst. Fehlende Felder, leere Zeichenketten, Brüche und nichtnumerische Werte scheitern mit invalid_input und nennen das Feld. Der Absolutbetrag der Basis darf eine Billiarde nicht überschreiten, der Exponent eine Million nicht und der Modul eine Billiarde nicht; diese Grenzen halten jede modulare Multiplikation in einer Worker-Isolierung. Bei Erfolg wiederholt der Körper die gereinigten Felder base, exponent und modulus, liefert remainder als den nichtnegativen Rest von base^exponent mod m, enthält eine expression-Zeichenkette wie zwei Zirkumflex zehn mod eintausend zur Anzeige und bekräftigt die Identität remainder = base^exponent mod modulus. Klassische Prüfungen: base zwei, exponent zehn, modulus eintausend ergibt remainder vierundzwanzig; base drei, exponent fünf, modulus dreizehn ergibt remainder neun; base sieben, exponent null, modulus fünf ergibt remainder eins. Ein Modul, der keine positive ganze Zahl ist — null, eine negative ganze Zahl oder eine Nichtganzzahl — ist invalid_input und wird nie berechnet.
Wo ein Potenz-modulo-Rechner seinen Platz verdient
Wettbewerbscoaches, Hash-Demos, zyklische Spielzähler und Sharding-Helfer erheben eine ganze Zahl und falten sie in einen festen Restbereich; ein winziger parse-API-Aufruf erspart, Quadrieren-und-Multiplizieren in jeder Sprache neu zu schreiben, und erspart, für drei ganze Zahlen ein Computeralgebrasystem heranzuziehen. Weil die Umsetzung reines parse der Stufe A ist, kostet jeder erfolgreiche Aufruf den veröffentlichten Grundpreis $0.002 ohne Modelltoken und ohne ausgehendes Netz.
Integrationsbeispiele
Restprüfungen im Unterricht und bei Hausaufgaben
Lassen Sie Lernende base, exponent und modulus senden und den eindeutigen Rest von a^b mod m prüfen, ohne einen Taschenrechner oder eine Tabellenzelle überlaufen zu lassen.
Wettkampforakel und automatische LMS-Bewertung
Bewerten Sie Potenz-modulo-Aufgaben mit einem deterministischen Rest und weisen Sie einen nichtpositiven Modul als invalid_input zurück, statt still eine hohle Null zu liefern.
Technische Fragen
Was liefert der Potenz-modulo-Rechner?
Er liefert den eindeutigen Rest r in 0 … m−1 mit base^exponent ≡ r (mod m), dazu eine expression-Zeichenkette und die Identität remainder = base^exponent mod modulus.
Was kostet der Potenz-modulo-Rechner?
Das Browser-Werkzeug ist kostenlos. API-Anfragen nutzen vorausbezahltes KIT-Guthaben zu $0.002 je erfolgreichem Aufruf; ungültige Eingabe wird nicht berechnet.