Calculadora de potência módulo
Obtenha o resto de uma potência gigantesca sem calcular a potência: 2 elevado a 10 módulo 1000 deixa 24, e 3 elevado a 5 módulo 13 deixa 9. Inteiros exatos para lição de casa, problemas de olimpíada e contadores cíclicos. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- Base
- 2
- Expoente
- 10
- Módulo
- 1.000
- Resto
- 24
- Expressão
- 2^10 mod 1000
A potência módulo responde a uma pergunta cotidiana de aritmética: que resto sobra quando uma base é elevada a um expoente e depois dividida por um módulo inteiro positivo? Estudantes escrevem esse resto como a base ao expoente, mod m; juízes de concurso, contadores cíclicos, demos de hash de brinquedo e lições de aritmética modular precisam do mesmo valor único no intervalo de zero até m menos um, sem nunca materializar a potência intermediária enorme.
O que a potência módulo calcula e por que a exponenciação rápida importa
Dados inteiros base, exponent e módulo m, a potência módulo devolve o resto único r no intervalo de zero até m menos um tal que a base elevada ao expoente é congruente a r módulo m. Em símbolos, r ≡ base^exponent (mod m). A potência ingênua multiplica a base por si mesma exponent vezes e só então divide, o que faz crescer valores intermediários enormes e estoura o ponto flutuante comum ou inteiros de largura fixa muito antes de um expoente de concurso terminar.
A exponenciação rápida, em vez disso, percorre os bits do expoente do menos ao mais significativo, eleva ao quadrado a base em curso após cada bit, multiplica no resto acumulado quando o bit está ligado e reduz módulo m depois de cada multiplicação, de modo que os intermediários ficam menores que m ao quadrado. Quando m vale um, todo inteiro é congruente a zero, então o resto é sempre zero.
Quando o expoente é zero, o resto é um para qualquer base desde que m seja maior que um, seguindo a convenção do produto vazio de que todo número finito à potência zero vale um. Bases negativas são reduzidas primeiro ao sistema de resíduos não negativos módulo m para que a cadeia de multiplicações nunca misture restos com sinal. Expoentes negativos são recusados porque exigem inversos modulares que podem não existir e são uma intenção de busca distinta do resto de uma potência.
Onde uma calculadora de potência módulo justifica o seu lugar
Salas de aula e plataformas de tutoria usam uma ferramenta dedicada de potência módulo para que o aluno confira a à b, reduzido módulo m, sem multiplicar à mão intermediários enormes nem confiar em uma calculadora de bolso que perde precisão em silêncio além de dois à cinquenta e três. Geradores de prova e corretores de sistemas de gestão da aprendizagem precisam de um oráculo determinístico que marque um módulo não positivo como inválido, em vez de aceitar um sentinela que um script defeituoso também poderia emitir.
A validação falha não consome saldo. Mantenha as requisições dentro dos limites de magnitude publicados, fixe o resto nos testes, e você terá resíduos reproduzíveis para lição de casa, complementos LMS e workers na borda sem montar infraestrutura simbólica própria. A capacidade não calcula inversos modulares, não resolve logaritmos discretos e não eleva um real sem reduzir módulo m; essas são intenções de busca distintas cobertas por outras entradas do catálogo.
Casos de uso
Contadores cíclicos, hashes e scripts de particionamento
Dobre uma potência inteira grande em um intervalo de resíduos fixo para jogos, sistemas de ranking ou passos de hash de brinquedo, sem reimplementar quadrado-e-multiplica em cada linguagem.
Perguntas frequentes
O que acontece se o módulo não for um inteiro positivo?
Zero, um módulo negativo e um módulo não inteiro não definem o resto não negativo padrão usado aqui e não são faturados.
Por que um expoente negativo é recusado?
Expoentes negativos significam potências recíprocas e exigem inversos modulares, que podem não existir quando base e modulus não são coprimos. Esses casos ficam fora do alcance.
Como a exponenciação rápida calcula o resto?
O método binário quadrado-e-multiplica percorre os bits do expoente, eleva ao quadrado a base em curso módulo m a cada passo e multiplica no resto quando um bit está ligado, de modo que o trabalho escala com o comprimento em bits do expoente.
Posso usar uma base negativa na potência módulo?
Sim. A base negativa é levada primeiro para o intervalo de zero a m menos um, então o resto sempre sai zero ou positivo. Só o expoente precisa ser zero ou maior, e o módulo, um inteiro positivo.
Que resto deixa uma potência com expoente zero?
Deixa 1 com qualquer base, desde que o módulo seja maior que 1, porque todo número elevado a zero vale um. Por exemplo, 7 elevado a 0 módulo 5 dá 1. Com módulo 1 o resto é sempre 0.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/power-modulo \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"base":2,"exponent":10,"modulus":1000}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/power-modulo", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"base": 2,
"exponent": 10,
"modulus": 1000
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/power-modulo",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"base": 2,
"exponent": 10,
"modulus": 1000
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/power-modulo", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"base":2,"exponent":10,"modulus":1000}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"base":2,"exponent":10,"modulus":1000}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/power-modulo", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"base": 2,
"exponent": 10,
"modulus": 1000
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.power_modulo",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Limites
max_abs_base | 1000000000000000 |
max_exponent | 1000000 |
max_modulus | 1000000000000000 |
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Esta calculadora de potência módulo aceita três inteiros — base, exponent e um modulus inteiro positivo —, avalia a potência com exponenciação binária rápida reduzindo após cada multiplicação e devolve esse resto junto com uma expressão curta de exibição. Se o módulo não for um inteiro positivo, a tarefa falha com invalid_input em vez de inventar um resto.
O que a potência módulo calcula e por que a exponenciação rápida importa
O módulo deve ser um inteiro positivo; zero, um valor negativo ou uma fração não definem o resto não negativo padrão e a calculadora devolve invalid_input em vez de inventar uma resposta.
Contrato de entrada, algoritmo, forma da resposta e erros
O algoritmo é quadrado-e-multiplica binário sobre inteiros exatos: para cada bit do expoente a base em curso é elevada ao quadrado módulo m e, quando o bit está ligado, multiplicada no resto em curso módulo m. Combine a resposta com a sua própria tipografia se precisar de um sobrescrito renderizado; este extremo calcula só o resto e não emite gráficos nem prosa passo a passo além do campo formula. Envie um corpo JSON com três inteiros obrigatórios: base, o inteiro que será elevado; exponent, uma potência inteira não negativa; e modulus, um inteiro positivo m. Cada campo pode chegar como número JSON ou como cadeia de inteiro decimal; aceitam-se os aliases a para base, exp ou e ou power para exponent, e m ou mod para modulus, resolvidos nessa ordem. Campos ausentes, cadeias vazias, frações e valores não numéricos falham com invalid_input nomeando o campo. O valor absoluto da base não pode ultrapassar um quatrilhão, o expoente não pode ultrapassar um milhão e o módulo não pode ultrapassar um quatrilhão; esses limites mantêm cada multiplicação modular dentro de um isolamento Worker. Em caso de sucesso o corpo ecoa base, exponent e modulus limpos, devolve remainder como o resíduo não negativo de base^exponent mod m, inclui uma cadeia expression como dois circunflexo dez mod mil para exibição, e reitera a identidade remainder = base^exponent mod modulus. Conferências clássicas: base dois, exponent dez, modulus mil produz remainder vinte e quatro; base três, exponent cinco, modulus treze produz remainder nove; base sete, exponent zero, modulus cinco produz remainder um. Um módulo que não é um inteiro positivo — zero, um inteiro negativo ou um não inteiro — é invalid_input e nunca é faturado.
Onde uma calculadora de potência módulo justifica o seu lugar
Treinadores de concurso de programação, demos de hash, contadores cíclicos de jogo e ajudantes de particionamento elevam um inteiro e o dobram em um intervalo de resíduos fixo; chamar uma API de parse minúscula evita reimplementar quadrado-e-multiplica em cada linguagem e evita puxar um sistema de álgebra computacional por três inteiros. Como a implementação é parse puro de nível A, cada chamada bem-sucedida custa o preço-base publicado US$ 0,002 sem tokens de modelo e sem rede de saída.
Casos de integração
Conferência de resto em sala e lição de casa
Deixe o aluno enviar base, exponent e modulus e verificar o resto único de a^b mod m sem estourar uma calculadora de bolso nem uma célula de planilha.
Oráculos de concurso e correção automática LMS
Corrija itens de potência módulo com um resto determinístico e recuse um módulo não positivo como invalid_input, em vez de devolver um zero oco em silêncio.
Perguntas técnicas
O que a calculadora de potência módulo devolve?
Devolve o resto único r em 0 … m−1 tal que base^exponent ≡ r (mod m), mais uma cadeia expression e a identidade remainder = base^exponent mod modulus.
Quanto custa a calculadora de potência módulo?
A ferramenta do navegador é gratuita. As requisições API usam saldo pré-pago de KIT a US$ 0,002 por chamada bem-sucedida; a entrada inválida não é faturada.