Calculadora de inverso modular
O inverso de 3 módulo 11 é 4, porque 3 vezes 4 dá 12, que deixa resto 1. Digite a e o módulo para receber o único inverso entre 0 e m menos um, ou um aviso claro quando ele não existe. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- A
- 3
- M
- 11
- A módulo
- 3
- Inversa
- 4
- Gcd
- 1
- Verificação
- 1
O inverso módulo responde a uma única pergunta de aritmética exata: dados os inteiros a e m, qual resíduo x no intervalo de zero até m menos um satisfaz a vezes x congruente a um módulo m? Esse resíduo é o inverso multiplicativo de a módulo m, e existe se e somente se a e m forem coprimos — o máximo divisor comum é um. Notas de criptografia, soluções de concurso de congruências lineares, divisão modular e lições de grupos cíclicos pedem esse inverso, mas muitas linguagens só expõem um gcd binário e deixam com você os coeficientes de Bézout. Esta calculadora de inverso módulo aceita os inteiros a e m, executa o algoritmo de Euclides estendido e devolve o único inverso não negativo junto com um produto de verificação que você pode conferir sem rederivar os passos.
O que o inverso módulo significa e quando o resíduo existe
Inverso módulo nomeia o inteiro x que desfaz a multiplicação por a dentro do anel de resíduos dos inteiros módulo m. Em símbolos escrevemos a vezes x congruente a um módulo m, ou a x ≡ 1 (mod m), e chamamos x de inverso multiplicativo modular de a módulo m. A aritmética comum sempre tem inverso para todo número não nulo porque dividir por ele produz um.
A aritmética modular é mais rígida. Os resíduos reiniciam a cada m passos, de modo que a vezes qualquer inteiro é múltiplo de gcd(a, m). Se esse gcd for maior que um, o produto nunca pode ser congruente a um, que não é múltiplo do gcd.
Por outro lado, a identidade de Bézout garante inteiros x e y tais que a x mais m y iguala um exatamente quando gcd(a, m) vale um, e reduzir x ao intervalo de zero até m menos um produz o único inverso que esta calculadora devolve.
Estudantes encontram a mesma condição ao dividir em um corpo finito, ao inverter um expoente público RSA módulo a função totiente de Euler, ao desfazer um produto modular em um pipeline de hash ou ao resolver a congruência linear a x ≡ 1 (mod m) em programação competitiva. Buscar inverso módulo é a formulação cotidiana dessa pergunta: dados a e m, qual resíduo multiplica a de volta a um.
Onde uma calculadora de inverso módulo justifica o seu lugar
Salas de aula e plataformas de tutoria usam uma ferramenta dedicada de inverso módulo para que os alunos confiram a inverso módulo m sem executar à mão os passos de Euclides nem confiar em uma calculadora de bolso que perde precisão em silêncio além de dois à quinquagésima terceira. Geradores de prova e avaliadores de sistemas de gestão de aprendizagem precisam de um oráculo determinístico que marque um par não coprimo como inválido, em vez de aceitar um sentinela que um script defeituoso também poderia emitir.
Validação falha e pares não coprimos não consomem saldo. Mantenha as requisições dentro dos limites de magnitude publicados, fixe o inverso nos testes e você obtém resíduos reproduzíveis para lição de casa, plugins LMS e workers na borda sem montar infraestrutura simbólica própria. A capacidade não resolve congruências lineares gerais a x ≡ b (mod m) para b diferente de um, não calcula logaritmos discretos e não inverte reais sem um módulo; essas são intenções de busca distintas cobertas por outras entradas do catálogo.
Casos de uso
Labs de cripto e auxiliares de divisão modular
Inverta expoentes públicos módulo φ(n), desfaça produtos modulares ou substitua trechos ad hoc de gcd estendido por uma única chamada exata dentro dos limites documentados.
Perguntas frequentes
O que acontece se a e m não forem coprimos?
A mensagem inclui gcd(a, m) para você saber por que não existe inverso. Validação falha não é cobrada.
Qual algoritmo calcula o inverso módulo?
O algoritmo de Euclides estendido. Ele encontra coeficientes de Bézout para a mod m e m; quando o gcd é 1, o coeficiente de a é reduzido ao intervalo 0..m−1.
Quais intervalos de a e m são aceitos?
m deve ser um inteiro de 2 até 1,000,000,000,000. a deve ser um inteiro cujo valor absoluto seja no máximo esse mesmo limite. Valores fora desses limites são rejeitados.
Como confiro se um inverso modular está certo?
Multiplique a pelo inverso e divida o resultado por m: o resto deve ser 1. Com a igual a 3 e m igual a 11, o inverso 4 dá 12, que deixa resto 1. A calculadora mostra essa verificação junto com o resultado.
Para que serve o inverso modular?
Para dividir dentro da aritmética modular, resolver congruências lineares, trabalhar em corpos finitos ou inverter um expoente público de RSA módulo a função de Euler. Aparece em criptografia, em programação competitiva e em exercícios de grupos cíclicos.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/inverse-modulo \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":3,"m":11}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/inverse-modulo", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 3,
"m": 11
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/inverse-modulo",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 3,
"m": 11
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/inverse-modulo", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":3,"m":11}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":3,"m":11}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/inverse-modulo", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"a": 3,
"m": 11
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.inverse_modulo",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Limites
max_abs | 1000000000000 |
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Quando a e m não são coprimos, a tarefa falha com invalid_input em vez de inventar um resíduo.
O que o inverso módulo significa e quando o resíduo existe
Devolver um erro tipado invalid_input quando o par não é coprimo é mais útil do que um zero silencioso: o cliente descobre que não existe inverso e pode ramificar pelo gcd em vez de adivinhar qual biblioteca devolveu um resíduo errado. O módulo deve ser um inteiro de pelo menos dois para que o sistema de resíduos não seja trivial; um módulo de um colapsa todo inteiro na mesma classe e é rejeitado como invalid_input em vez de um sucesso oco.
Contrato de entrada, algoritmo de Euclides estendido e erros
Conferências clássicas: a igual a três e m igual a onze produz inverse quatro porque três vezes quatro é doze, que deixa resto um; a igual a sete e m igual a vinte e seis produz inverse quinze. Acompanhe a resposta com a sua própria tipografia se precisar de um superíndice menos um; esta chamada calcula só o inverso e não emite gráficos nem prosa passo a passo além do campo formula. Envie um corpo JSON com dois inteiros obrigatórios: a, o inteiro cujo inverso módulo m se busca, e m, um módulo de pelo menos dois. Cada campo pode chegar como número JSON ou como cadeia de inteiro decimal; campos ausentes, cadeias vazias, frações e valores não numéricos falham com invalid_input nomeando o campo. Os valores absolutos não podem ultrapassar um trilhão, para que todo produto intermediário caiba em um isolamento Worker. A implementação primeiro reduz a à classe de resíduo não negativa a_mod de zero até m menos um e depois aplica o algoritmo de Euclides estendido ao par a_mod e m. Cada passo registra o quociente inteiro e atualiza os coeficientes de Bézout para que, ao terminar, o coeficiente de a_mod vezes a_mod mais um coeficiente de m iguale o gcd. Se esse gcd não for um, a requisição falha com invalid_input e uma mensagem que nomeia ambas as entradas e o gcd e declara que a e m não são coprimos; nada é cobrado. Se o gcd for um, o coeficiente de a_mod é reduzido ao intervalo de zero até m menos um e devolvido como inverse. A resposta também repete a, m, a_mod, gcd, check igual a a_mod vezes inverse módulo m (sempre um em caso de sucesso) e uma cadeia formula que reitera a identidade (a vezes inverse) congruente a um módulo m.
Onde uma calculadora de inverso módulo justifica o seu lugar
Treinadores de concurso, laboratórios de ensino RSA, demos de corpos finitos e auxiliares de divisão modular invertem um inteiro dentro de um intervalo de resíduos fixo; chamar uma API de parse pequena evita reimplementar o gcd estendido em cada linguagem e evita puxar um sistema de álgebra computacional por dois inteiros. Como a implementação é parse puro de nível A, cada chamada bem-sucedida custa o preço base publicado US$ 0,002 sem tokens de modelo e sem rede de saída.
Casos de integração
Conferências de inverso módulo na sala de aula
Permita que os alunos enviem a e m e verifiquem o resíduo único x com (a · x) ≡ 1 (mod m), ou vejam um invalid_input claro quando o par não for coprimo.
Oráculos de concurso e correção automática LMS
Corrija itens de inverso módulo com um inverso determinístico e rejeite entradas não coprimas como invalid_input, em vez de devolver um zero oco em silêncio.
Perguntas técnicas
Como você calcula o inverso de a módulo m?
Envie JSON com os campos inteiros a e m (m ≥ 2). Em caso de sucesso, a resposta devolve inverse em 0..m−1, mais a_mod, gcd (sempre 1), check (sempre 1) e a fórmula da identidade.
Quanto custa a calculadora de inverso módulo?
A ferramenta do navegador é gratuita. Requisições API usam saldo pré-pago de KIT a US$ 0,002 por chamada bem-sucedida; entrada inválida ou não coprima não é cobrada.