Calculadora de inverso módulo
El inverso de 3 módulo 11 es 4, porque 3 por 4 da 12, que deja resto 1. Escriba a y el módulo para obtener el único inverso entre 0 y m menos uno, o un aviso claro cuando no existe. Gratis en su navegador.
- Gratis
- Funciona en su navegador
- Sin registro
- Sus datos no salen de su equipo
Ejecutar — gratis
Ejemplo resuelto
- A
- 3
- M
- 11
- A módulo
- 3
- Inversa
- 4
- Gcd
- 1
- Verificación
- 1
El inverso módulo responde a una sola pregunta de aritmética exacta: dados los enteros a y m, ¿qué residuo x en el rango de cero a m menos uno cumple que a por x es congruente con uno módulo m? Ese residuo es el inverso multiplicativo de a módulo m, y existe si y solo si a y m son coprimos: su máximo común divisor es uno. Las notas de criptografía, las soluciones de concurso de congruencias lineales, la división modular y los deberes de grupos cíclicos piden este inverso, pero muchos lenguajes solo exponen un gcd binario y dejan a usted los coeficientes de Bézout. Esta calculadora de inverso módulo acepta los enteros a y m, ejecuta el algoritmo de Euclides extendido y devuelve el único inverso no negativo junto con un producto de verificación que puede comprobar sin rederivar los pasos.
Qué significa el inverso módulo y cuándo existe el residuo
El inverso módulo nombra al entero x que deshace la multiplicación por a dentro del anillo de residuos de los enteros módulo m. En símbolos escribimos a por x congruente con uno módulo m, o a x ≡ 1 (mod m), y llamamos a x el inverso multiplicativo modular de a módulo m. La aritmética ordinaria siempre tiene inverso para todo número no nulo porque al dividir por él se obtiene uno.
La aritmética modular es más estricta. Los residuos se reinician cada m pasos, de modo que a por cualquier entero es múltiplo de gcd(a, m). Si ese gcd es mayor que uno, el producto nunca puede ser congruente con uno, que no es múltiplo del gcd.
A la inversa, la identidad de Bézout garantiza enteros x e y tales que a x más m y iguala uno exactamente cuando gcd(a, m) vale uno, y reducir x al rango de cero a m menos uno produce el único inverso que esta calculadora devuelve.
El alumnado encuentra la misma condición al dividir en un cuerpo finito, al invertir un exponente público RSA módulo la función totiente de Euler, al deshacer un producto modular en una tubería de hash o al resolver la congruencia lineal a x ≡ 1 (mod m) en programación competitiva. Buscar inverso módulo es la formulación cotidiana de esa pregunta: dados a y m, qué residuo multiplica a de vuelta a uno.
Dónde una calculadora de inverso módulo justifica su lugar
Las aulas y las plataformas de tutoría usan una herramienta dedicada de inverso módulo para que el alumnado compruebe a inverso módulo m sin ejecutar a mano los pasos de Euclides ni fiarse de una calculadora de bolsillo que pierde precisión en silencio más allá de dos a la cincuenta y tres. Los generadores de exámenes y los evaluadores de sistemas de gestión del aprendizaje necesitan un oráculo determinista que marque un par no coprimo como inválido, en lugar de aceptar un centinela que también podría emitir un script defectuoso.
La validación fallida y los pares no coprimos no consumen saldo. Mantenga las peticiones dentro de los límites de magnitud publicados, fije el inverso en las pruebas y obtendrá residuos reproducibles para deberes, complementos LMS y workers en el borde sin montar infraestructura simbólica propia. La capacidad no resuelve congruencias lineales generales a x ≡ b (mod m) para b distinto de uno, no calcula logaritmos discretos y no invierte reales sin un módulo; esas son intenciones de búsqueda distintas que cubren otras entradas del catálogo.
Qué puede hacer con ella
Laboratorios de cripto y ayudas de división modular
Invierta exponentes públicos módulo φ(n), deshaga productos modulares o sustituya fragmentos ad hoc de gcd extendido por una sola llamada exacta dentro de los límites documentados.
Preguntas frecuentes
¿Qué ocurre si a y m no son coprimos?
El mensaje incluye gcd(a, m) para que sepa por qué no existe inverso. La validación fallida no se factura.
¿Qué algoritmo calcula el inverso módulo?
El algoritmo de Euclides extendido. Encuentra coeficientes de Bézout para a mod m y m; cuando el gcd es 1, el coeficiente de a se reduce al rango 0..m−1.
¿Qué rangos de a y m se aceptan?
m debe ser un entero de 2 a 1,000,000,000,000. a debe ser un entero cuyo valor absoluto no supere ese mismo tope. Los valores fuera de esos límites se rechazan.
¿Cómo compruebo que un inverso módulo es correcto?
Multiplique a por el inverso y divida el resultado entre m: el resto debe ser 1. Con a igual a 3 y m igual a 11, el inverso 4 da 12, que deja resto 1. La calculadora le muestra esa comprobación junto al resultado.
¿Para qué sirve el inverso modular?
Para dividir dentro de la aritmética modular, resolver congruencias lineales, trabajar en cuerpos finitos o invertir un exponente público de RSA módulo la función de Euler. Aparece en criptografía, en programación competitiva y en tareas de grupos cíclicos.
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
Llámela desde su stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/inverse-modulo \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":3,"m":11}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/inverse-modulo", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 3,
"m": 11
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/inverse-modulo",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 3,
"m": 11
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/inverse-modulo", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":3,"m":11}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":3,"m":11}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/inverse-modulo", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Ejemplo de solicitud
{
"a": 3,
"m": 11
}Ejemplo de respuesta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.inverse_modulo",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Límites
max_abs | 1000000000000 |
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
Cuando a y m no son coprimos, la tarea falla con invalid_input en lugar de inventar un residuo.
Qué significa el inverso módulo y cuándo existe el residuo
Devolver un error tipado invalid_input cuando el par no es coprimo es más útil que un cero silencioso: el cliente aprende que no existe inverso y puede ramificar según el gcd en lugar de adivinar qué biblioteca devolvió un residuo erróneo. El módulo debe ser un entero de al menos dos para que el sistema de residuos no sea trivial; un módulo de uno colapsa todo entero a la misma clase y se rechaza como invalid_input en vez de un éxito hueco.
Contrato de entrada, algoritmo de Euclides extendido y errores
Comprobaciones clásicas: a igual a tres y m igual a once produce inverse cuatro porque tres por cuatro es doce, que deja resto uno; a igual a siete y m igual a veintiséis produce inverse quince. Acompañe la respuesta con su propia tipografía si necesita un superíndice menos uno; este extremo calcula solo el inverso y no emite gráficos ni prosa paso a paso más allá del campo formula. Envíe un cuerpo JSON con dos enteros obligatorios: a, el entero cuyo inverso módulo m se busca, y m, un módulo de al menos dos. Cada campo puede llegar como número JSON o como cadena de entero decimal; los campos ausentes, las cadenas vacías, las fracciones y los valores no numéricos fallan con invalid_input nombrando el campo. Los valores absolutos no pueden superar un billón, de modo que todo producto intermedio cabe en un aislamiento Worker. La implementación reduce primero a a la clase de residuo no negativa a_mod en cero hasta m menos uno, y luego aplica el algoritmo de Euclides extendido al par a_mod y m. Cada paso registra el cociente entero y actualiza los coeficientes de Bézout para que, al terminar, el coeficiente de a_mod por a_mod más un coeficiente de m iguale el gcd. Si ese gcd no es uno, la petición falla con invalid_input y un mensaje que nombra ambas entradas y el gcd y declara que a y m no son coprimos; no se cobra nada. Si el gcd es uno, el coeficiente de a_mod se reduce al rango de cero a m menos uno y se devuelve como inverse. La respuesta también repite a, m, a_mod, gcd, check igual a a_mod por inverse módulo m (siempre uno si hay éxito) y una cadena formula que reitera la identidad (a por inverse) congruente con uno módulo m.
Dónde una calculadora de inverso módulo justifica su lugar
Los entrenadores de concursos, los laboratorios de enseñanza RSA, las demos de cuerpos finitos y las ayudas de división modular invierten un entero dentro de un rango de residuos fijo; llamar a una API de parse diminuta evita reimplementar el gcd extendido en cada lenguaje y evita arrastrar un sistema de álgebra computacional por dos enteros. Como la implementación es parse puro de nivel A, cada llamada exitosa cuesta el precio base publicado $0.002 sin tokens de modelo y sin red saliente.
Casos de integración
Comprobaciones de inverso módulo en el aula
Permita que el alumnado envíe a y m y verifique el residuo único x con (a · x) ≡ 1 (mod m), o vea un invalid_input claro cuando el par no es coprimo.
Oráculos de concurso y calificación automática LMS
Califique ítems de inverso módulo con un inverso determinista y rechace entradas no coprimas como invalid_input, en lugar de devolver un cero hueco en silencio.
Preguntas técnicas
¿Cómo se calcula el inverso de a módulo m?
Envíe JSON con los campos enteros a y m (m ≥ 2). Si hay éxito, la respuesta devuelve inverse en 0..m−1, más a_mod, gcd (siempre 1), check (siempre 1) y la fórmula de la identidad.
¿Cuánto cuesta la calculadora de inverso módulo?
La herramienta del navegador es gratuita. Las peticiones API usan saldo prepago de KIT a $0.002 por llamada exitosa; la entrada inválida o no coprima no se factura.