Calculatrice d'inverse modulo
L'inverse de 3 modulo 11 est 4, car 3 fois 4 font 12, qui laisse un reste de 1. Saisissez a et le module pour obtenir l'unique inverse entre 0 et m moins un, ou un message clair s'il n'existe pas. Gratuit dans votre navigateur.
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Exemple résolu
- A
- 3
- M
- 11
- A modulo
- 3
- Inverse
- 4
- Gcd
- 1
- Vérification
- 1
L'inverse modulo répond à une seule question d'arithmétique exacte : étant donnés les entiers a et m, quel résidu x dans l'intervalle de zéro à m moins un satisfait a fois x congruent à un modulo m ? Ce résidu est l'inverse multiplicatif de a modulo m, et il existe si et seulement si a et m sont premiers entre eux — leur plus grand commun diviseur vaut un. Notes de cryptographie, solutions de concours de congruences linéaires, division modulaire et devoirs sur les groupes cycliques demandent cet inverse, or de nombreux langages n'exposent qu'un gcd binaire et vous laissent les coefficients de Bézout. Cette calculatrice d'inverse modulo accepte les entiers a et m, exécute l'algorithme d'Euclide étendu et renvoie l'unique inverse non négatif avec un produit de contrôle que vous pouvez vérifier sans refaire les étapes.
Ce que signifie l'inverse modulo et quand le résidu existe
L'inverse modulo désigne l'entier x qui annule la multiplication par a dans l'anneau des résidus des entiers modulo m. En symboles on écrit a fois x congruent à un modulo m, ou a x ≡ 1 (mod m), et l'on appelle x l'inverse multiplicatif modulaire de a modulo m. L'arithmétique ordinaire a toujours un inverse pour tout nombre non nul, car diviser par lui donne un.
L'arithmétique modulaire est plus stricte. Les résidus recommencent tous les m pas, donc a fois tout entier est multiple de gcd(a, m). Si ce gcd est supérieur à un, le produit ne peut jamais être congruent à un, qui n'est pas multiple du gcd.
Inversement, l'identité de Bézout garantit des entiers x et y tels que a x plus m y égale un exactement lorsque gcd(a, m) vaut un, et réduire x dans l'intervalle de zéro à m moins un produit l'unique inverse que cette calculatrice renvoie. Les élèves rencontrent la même condition en divisant dans un corps fini, en inversant un exposant public RSA modulo l'indicatrice d'Euler, en annulant un produit modulaire dans un pipeline de hachage, ou en résolvant la congruence linéaire a x ≡ 1 (mod m) en programmation de concours.
Chercher inverse modulo est la formulation quotidienne de cette question : étant donnés a et m, quel résidu ramène a à un.
Où une calculatrice d'inverse modulo justifie sa place
Les salles de classe et les plateformes de tutorat utilisent un outil dédié d'inverse modulo afin que les apprenants vérifient a inverse modulo m sans dérouler à la main les étapes d'Euclide ni se fier à une calculette de poche qui perd silencieusement la précision au-delà de deux à la cinquante-troisième. Les générateurs d'examens et les correcteurs de systèmes de gestion de l'apprentissage ont besoin d'un oracle déterministe qui marque une paire non première entre elle comme invalide, au lieu d'accepter une sentinelle qu'un script défectueux pourrait aussi émettre.
Les échecs de validation et les paires non premières entre elles ne consomment pas le solde. Gardez les requêtes dans les limites de magnitude publiées, figez l'inverse dans les tests, et vous obtenez des résidus reproductibles pour les devoirs, les greffons LMS et les workers en bordure sans dresser votre propre infrastructure symbolique.
La capacité ne résout pas les congruences linéaires générales a x ≡ b (mod m) pour b autre que un, ne calcule pas de logarithmes discrets et n'inverse pas de réels sans module ; ce sont d'autres intentions de recherche servies par d'autres entrées du catalogue.
Cas d’usage
Labs crypto et aides à la division modulaire
Inversez des exposants publics modulo φ(n), annulez des produits modulaires, ou remplacez des extraits ad hoc de gcd étendu par un seul appel exact dans les bornes documentées.
Questions fréquentes
Que se passe-t-il si a et m ne sont pas premiers entre eux ?
Le message inclut gcd(a, m) afin que vous sachiez pourquoi aucun inverse n'existe. La validation en échec n'est pas facturée.
Quel algorithme calcule l'inverse modulo ?
L'algorithme d'Euclide étendu. Il trouve des coefficients de Bézout pour a mod m et m ; lorsque le gcd vaut 1, le coefficient de a est réduit dans l'intervalle 0..m−1.
Quels intervalles de a et m sont acceptés ?
m doit être un entier de 2 à 1,000,000,000,000. a doit être un entier dont la valeur absolue n'excède pas cette même borne. Les valeurs hors de ces limites sont rejetées.
Comment vérifier qu'un inverse modulo est juste ?
Multipliez a par l'inverse et divisez le résultat par m : le reste doit valoir 1. Avec a égal à 3 et m égal à 11, l'inverse 4 donne 12, qui laisse un reste de 1. La calculatrice affiche cette vérification à côté du résultat.
À quoi sert l'inverse modulaire ?
À diviser en arithmétique modulaire, résoudre des congruences linéaires, calculer dans un corps fini ou inverser un exposant public RSA modulo l'indicatrice d'Euler. On le rencontre en cryptographie, en programmation compétitive et dans les exercices sur les groupes cycliques.
Outils associés
Pour les développeurs — accès API
Tout sur cette page est disponible par programmation. Cette section s'adresse aux équipes qui veulent l'intégrer à leurs systèmes ; les autres peuvent simplement utiliser l'outil ci-dessus.
Endpoint
Authentification par jeton Bearer : un seul POST met la tâche en file d’attente, et le résultat vous parvient par webhook ou lien signé.
Appeler depuis votre stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/inverse-modulo \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":3,"m":11}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/inverse-modulo", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 3,
"m": 11
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/inverse-modulo",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 3,
"m": 11
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/inverse-modulo", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":3,"m":11}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":3,"m":11}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/inverse-modulo", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemple de requête
{
"a": 3,
"m": 11
}Exemple de réponse
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.inverse_modulo",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.
Tarifs
Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.
Limites
max_abs | 1000000000000 |
Erreurs
| HTTP | Code | Signification |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization. |
402 | insufficient_balance | Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche. |
404 | unknown_type | Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête. |
429 | rate_limited | Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez. |
Notes techniques
Lorsque a et m ne sont pas premiers entre eux, la tâche échoue avec invalid_input au lieu d'inventer un résidu.
Ce que signifie l'inverse modulo et quand le résidu existe
Renvoyer une erreur typée invalid_input lorsque la paire n'est pas première entre elle est plus utile qu'un zéro silencieux : le client apprend qu'aucun inverse n'existe et peut brancher sur le gcd au lieu de deviner quelle bibliothèque a renvoyé un mauvais résidu. Le module doit être un entier d'au moins deux pour que le système de résidus ne soit pas trivial ; un module égal à un ramène tout entier dans la même classe et est rejeté comme invalid_input plutôt qu'un succès creux.
Contrat d'entrée, algorithme d'Euclide étendu et erreurs
Vérifications classiques : a égal à trois et m égal à onze donne inverse quatre car trois fois quatre vaut douze, qui laisse reste un ; a égal à sept et m égal à vingt-six donne inverse quinze. Associez la réponse à votre propre composition si vous avez besoin d'un exposant moins un rendu ; ce point de terminaison calcule uniquement l'inverse et n'émet ni graphiques ni prose pas à pas au-delà du champ formula. Envoyez un corps JSON avec deux entiers obligatoires : a, l'entier dont on cherche l'inverse modulo m, et m, un module d'au moins deux. Chaque champ peut arriver comme nombre JSON ou comme chaîne d'entier décimal ; champs manquants, chaînes vides, fractions et valeurs non numériques échouent avec invalid_input en nommant le champ. Les valeurs absolues ne peuvent pas dépasser un billion, afin que tout produit intermédiaire tienne dans un isolement Worker. L'implémentation réduit d'abord a à la classe de résidu non négative a_mod de zéro à m moins un, puis applique l'algorithme d'Euclide étendu à la paire a_mod et m. Chaque étape enregistre le quotient entier et met à jour les coefficients de Bézout pour qu'à la fin le coefficient de a_mod fois a_mod plus un coefficient de m égale le gcd. Si ce gcd n'est pas un, la requête échoue avec invalid_input et un message qui nomme les deux entrées et le gcd et indique que a et m ne sont pas premiers entre eux ; rien n'est facturé. Si le gcd vaut un, le coefficient de a_mod est réduit dans l'intervalle de zéro à m moins un et renvoyé comme inverse. La réponse répète aussi a, m, a_mod, gcd, check égal à a_mod fois inverse modulo m (toujours un en cas de succès), et une chaîne formula qui reformule l'identité (a fois inverse) congruent à un modulo m.
Où une calculatrice d'inverse modulo justifie sa place
Les coachs de concours, les bacs à sable d'enseignement RSA, les démos de corps finis et les aides à la division modulaire inversent un entier dans une plage de résidus fixe ; appeler une petite API de parse évite de réimplémenter le gcd étendu dans chaque langage et d'embarquer un système d'algèbre computationnelle pour deux entiers. Comme l'implémentation est parse pur de niveau A, chaque appel réussi coûte le tarif de base publié $0.002 sans jetons de modèle et sans réseau sortant.
Cas d'intégration
Vérifications d'inverse modulo en classe
Laissez les élèves envoyer a et m et vérifier le résidu unique x avec (a · x) ≡ 1 (mod m), ou voir un invalid_input clair lorsque la paire n'est pas première entre elle.
Oracles de concours et notation automatique LMS
Notez les items d'inverse modulo avec un inverse déterministe et rejetez les entrées non premières entre elles comme invalid_input, au lieu de renvoyer un zéro creux en silence.
Questions techniques
Comment calculez-vous l'inverse de a modulo m ?
Envoyez un JSON avec les champs entiers a et m (m ≥ 2). En cas de succès, la réponse renvoie inverse dans 0..m−1, plus a_mod, gcd (toujours 1), check (toujours 1) et la formule d'identité.
Combien coûte la calculatrice d'inverse modulo ?
L'outil du navigateur est gratuit. Les requêtes API utilisent le solde prépayé KIT à $0.002 par appel réussi ; une entrée invalide ou non première entre elle n'est pas facturée.