Nœuds max d'arbre binaire
Un arbre binaire parfait de hauteur 3 compte 15 nœuds, dont 8 feuilles, répartis en 1, 2, 4 et 8 par niveau. Indiquez une hauteur de 0 à 52 et obtenez le maximum de nœuds, de feuilles et de nœuds internes. Gratuit dans votre navigateur.
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Exemple résolu
- Hauteur
- 3
- Nombre maximal de nœuds
- 15
- Nombre maximal de feuilles
- 8
- Nombre maximal de nœuds internes
- 7
- Nœuds au niveau
- 1, 2, 4, 8
Lorsque vous dimensionnez un arbre binaire complet ou parfait pour la capacité, la préparation d'entretiens ou des structures basées sur un tas, la première question porte en général sur le nombre de nœuds et de feuilles qui tiennent à une hauteur donnée. Ce calculateur de nœuds maximum d'arbre binaire accepte une hauteur entière non négative selon la convention standard à base zéro —un arbre à un seul nœud a la hauteur zéro— et renvoie les maxima sous forme fermée d'un arbre binaire parfait : nœuds totaux égaux à deux puissance hauteur plus un, moins un, et feuilles égales à deux puissance hauteur. Il indique aussi les nœuds internes et le décompte exact par niveau pour raisonner sur la mémoire, la longueur de tableau d'un tas binaire ou les facteurs de branchement sans dessiner l'arbre à la main.
Convention de hauteur et maxima en forme fermée
La hauteur de l'arbre binaire est définie ici comme le nombre d'arêtes du plus long chemin de la racine à une feuille, de sorte qu'une racine seule a la hauteur zéro, une racine avec deux enfants a la hauteur un, et un arbre parfait à quatre niveaux de nœuds a la hauteur trois.
Sous cette convention, tout arbre binaire parfait de hauteur h est unique en structure : le niveau zéro contient un nœud, le niveau un en contient deux, et le niveau i contient deux puissance i nœuds, jusqu'au niveau h. Sommer la série géométrique de i égal à zéro jusqu'à h produit deux puissance h plus un, moins un nœuds au total —la suite classique 1, 3, 7, 15, 31—.
Le dernier niveau seul contient deux puissance h feuilles, ce qui est aussi le maximum de feuilles qu'un arbre binaire de hauteur h peut avoir lorsque chaque nœud interne est plein et que l'arbre est complet en bas. Les nœuds internes valent nœuds totaux moins feuilles, ce qui se simplifie en deux puissance h moins un.
Ces identités sont celles des manuels, des entretiens d'algorithmes et des formules de capacité de tas ; ce point d'accès les encode pour que vous ne vous trompiez pas d'exposant ni ne confondiez la hauteur à base zéro avec le décompte de niveaux à base un de certaines références anciennes. Si votre source étiquette un arbre à un seul nœud comme hauteur un, soustrayez un avant d'appeler le calculateur afin que les formules restent cohérentes.
Où le calcul de capacité d'arbre binaire est utile
La préparation d'entretiens et les cours d'algorithmes utilisent un calculateur de nœuds max d'arbre binaire pour vérifier les réponses de devoirs sur les arbres parfaits et pour convertir hauteur, décomptes de niveaux et longueurs de tableau de tas binaires en mémoire contiguë. Les ingénieurs systèmes dimensionnent les arbres de fan-out de messages, les arbres de décision à profondeur fixe et les dispositions de type segment tree en demandant combien de feuilles se trouvent à la profondeur h avant d'allouer des tampons ou de fixer un plafond de hauteur.
Le code de jeux et de simulation qui construit des partitions binaires complètes de l'espace a souvent besoin du budget de nœuds à l'avance pour que les object pools et les tampons GPU correspondent au maximum théorique. Une validation échouée ne consomme pas le solde. Gardez height dans la plage documentée, figez les champs entiers dans les tests, et vous obtenez des chiffres de capacité reproductibles pour salles de classe, plugins LMS et edge workers sans monter une bibliothèque de graphes à vous.
Cas d’usage
Contrôles d'entretien et de devoirs
Vérifiez les nœuds et feuilles maximum d'un arbre binaire parfait de hauteur h face aux formules du manuel sans erreur de hauteur d'une unité.
Capacité de tas binaire et de tableaux
Calculez combien d'emplacements de tableau un tas binaire complet de hauteur h nécessite avant d'allouer le stockage ou de fixer une limite de profondeur.
Dimensionnement de fan-out et d'arbres de décision
Planifiez la capacité de feuilles et le budget de nœuds internes pour des partitions binaires à profondeur fixe, des arbres de messages ou des découpages d'espace en simulation.
Questions fréquentes
Combien de feuilles un arbre binaire de hauteur h peut-il avoir ?
Au plus 2^h feuilles dans un arbre binaire parfait. C'est aussi la taille du dernier niveau lorsque tous les niveaux sont pleins.
Pourquoi la hauteur est-elle plafonnée à 52 ?
Pour que 2^(h+1)−1 reste dans les entiers sûrs JavaScript (≤ 2^53−1). Des hauteurs plus grandes perdraient la précision entière exacte dans cet environnement d'exécution.
Quelle est la formule du nombre maximal de nœuds d'un arbre binaire ?
Pour une hauteur h, mesurée en nombre de niveaux sous la racine, c'est 2^(h+1) − 1 : chaque niveau contient deux fois plus de nœuds que le précédent, et leur somme donne la suite 1, 3, 7, 15, 31.
Et si mon manuel donne la hauteur 1 à un nœud seul ?
Ce manuel compte les niveaux de nœuds plutôt que les liens entre eux. Retirez un à cette hauteur avant de la saisir pour garder des formules cohérentes : ici, une racine seule a la hauteur 0 et une racine avec deux enfants la hauteur 1.
Combien de nœuds internes compte un arbre binaire parfait ?
Toujours un de moins que de feuilles : 2^h − 1 nœuds internes pour 2^h feuilles. Un arbre de hauteur 0 est un nœud unique qui est aussi une feuille, il n'a donc aucun nœud interne.
Outils associés
Pour les développeurs — accès API
Tout sur cette page est disponible par programmation. Cette section s'adresse aux équipes qui veulent l'intégrer à leurs systèmes ; les autres peuvent simplement utiliser l'outil ci-dessus.
Endpoint
Authentification par jeton Bearer : un seul POST met la tâche en file d’attente, et le résultat vous parvient par webhook ou lien signé.
Appeler depuis votre stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/dev/binary-tree-max-nodes \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"height":3}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/dev/binary-tree-max-nodes", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
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body: JSON.stringify({
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const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/dev/binary-tree-max-nodes",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
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task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/dev/binary-tree-max-nodes", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"height":3}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"height":3}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/dev/binary-tree-max-nodes", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemple de requête
{
"height": 3
}Exemple de réponse
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "dev.binary_tree_max_nodes",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.
Tarifs
Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.
Erreurs
| HTTP | Code | Signification |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization. |
402 | insufficient_balance | Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche. |
404 | unknown_type | Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête. |
429 | rate_limited | Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez. |
Notes techniques
Les hauteurs invalides échouent avec invalid_input et ne sont pas facturées.
Contrat d'entrée, champs de réponse et bornes sûres
Associez les chiffres à votre propre dessin ou modèle mémoire si vous avez besoin de schémas de disposition ; ce point d'accès ne renvoie que les décomptes de capacité et la répartition par niveau, jamais un objet arbre sérialisé ni une image de graphe. Envoyez en POST un corps JSON avec un champ obligatoire : height, un entier de zéro à cinquante-deux inclus. Les valeurs peuvent arriver en entiers JSON ou en chaînes numériques ; champs manquants, non entiers, négatifs, non finis et hauteurs au-dessus de cinquante-deux échouent avec invalid_input en nommant le problème. La borne supérieure maintient max_nodes égal à deux puissance hauteur plus un moins un dans les entiers sûrs JavaScript (au plus deux puissance cinquante-trois moins un), afin que les goldens et les clients comparent des entiers exacts plutôt que des approximations flottantes. En cas de succès le corps répète height et renvoie max_nodes, max_leaves, max_internal_nodes, nodes_at_level comme un tableau de longueur hauteur plus un où l'indice i vaut deux puissance i, et une courte chaîne formula qui réaffirme les formes fermées. Exemple : hauteur trois donne max_nodes quinze, max_leaves huit, max_internal_nodes sept et nodes_at_level un, deux, quatre, huit. Hauteur zéro donne un seul nœud qui est aussi une feuille : max_nodes un, max_leaves un, max_internal_nodes zéro.
Où le calcul de capacité d'arbre binaire est utile
Comme l'implémentation est pure parse de niveau A, chaque appel réussi coûte le prix de base publié $0.002 sans jetons de modèle ni réseau sortant.
Questions techniques
Quel est le nombre maximum de nœuds dans un arbre binaire de hauteur h ?
Avec hauteur zéro pour un seul nœud, max_nodes vaut 2^(h+1)−1. Envoyez height comme entier 0..52 ; l'API renvoie max_nodes, max_leaves (2^h) et nodes_at_level.
La hauteur zéro est-elle autorisée ?
Oui. La hauteur 0 est un arbre à un seul nœud : max_nodes 1, max_leaves 1, max_internal_nodes 0. Les hauteurs négatives sont rejetées comme invalid_input.
Combien coûte le calculateur de nœuds max d'arbre binaire ?
L'outil navigateur est gratuit. Les requêtes API utilisent le solde prépayé KIT à $0.002 par appel réussi ; une entrée invalide n'est pas facturée.