Multiplikatives Inverses modulo m
Finden Sie die Zahl, die eine Multiplikation modulo m rückgängig macht: Das Inverse von 3 modulo 11 ist 4, denn 3 mal 4 lässt den Rest 1. Sie sehen auch den ggT und einen Kontrollwert sowie eine klare Meldung, wenn es kein Inverses gibt. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- A
- 3
- Modul m ≥ 2
- 11
- A modulo
- 3
- Inverses
- 4
- Ggt
- 1
- Prüfung
- 1
Das multiplikative Inverse einer ganzen Zahl a modulo m ist der Rest x, der a mal x kongruent eins modulo m erfüllt. Dieses Inverse existiert genau dann, wenn a und m teilerfremd sind — ihr größter gemeinsamer Teiler ist eins. Kryptografie-Tutorials, RSA-Privatschlüssel-Schritte, modulare Division im Wettbewerbscode und zyklische Gruppenrechnungen brauchen diese Operation, doch viele Sprachen stellen nur einen binären GCD bereit und überlassen Ihnen die Bézout-Koeffizienten. Dieser Rechner nimmt a und m, führt den erweiterten euklidischen Algorithmus deterministisch aus und liefert das eindeutige nichtnegative Inverse im Bereich null bis m minus eins, zusammen mit gcd und einem Prüfprodukt, damit Sie das Ergebnis ohne erneutes Ableiten der Schritte prüfen können.
Was ein modulares Inverses ist und wann es existiert
In der gewöhnlichen Arithmetik hat jede von null verschiedene Zahl ein multiplikatives Inverses: Division ergibt eins. In der modularen Arithmetik wird dieselbe Idee zur Kongruenz. Wir sagen, x sei ein modulares Inverses von a modulo m, wenn a mal x bei Division durch m den Rest eins lässt.
Weil Reste alle m Schritte umschlagen, hat nicht jedes a ein solches x. Das Hindernis ist zahlentheoretisch, nicht gleitkommaartig: ist d der gcd von a und m und d größer als eins, so ist a mal jede ganze Zahl ein Vielfaches von d und das Produkt kann nie kongruent zu eins sein, das kein Vielfaches von d ist. Umgekehrt garantiert Bézouts Identität ganze Zahlen x und y mit a x plus m y gleich eins genau dann, wenn dieser gcd eins ist; x modulo m liefert das Inverse.
Ingenieure treffen diese Bedingung beim Teilen in endlichen Körpern, beim Wählen von RSA-Entschlüsselungsexponenten, die den öffentlichen Exponenten modulo phi von n invertieren, beim Rückgängigmachen modularer Multiplikationen in Hash-Pipelines oder beim Lösen linearer Kongruenzen im Wettbewerbsprogrammieren. Ein expliziter Fehler bei nicht teilerfremden Paaren ist nützlicher als stilles Versagen: der Client erfährt, dass kein Inverses existiert, und kann am gcd verzweigen, statt zu raten, welche Bibliothek einen falschen Rest lieferte.
Praktischer Einsatz, Grenzen, Preise und Bereitstellung
Nutzen Sie das Browser-Tool, wenn Sie ein schnelles Inverses beim Lesen einer Krypto-Notiz, Prüfen einer Hausaufgaben-Kongruenz oder Debuggen eines modularen Multiplikationsschritts brauchen. Akzeptierte Eingaben sind ganze Zahlen a mit Absolutwert höchstens einer Billion und Module m von zwei bis einer Billion. Ergebnisse sind deterministisch: dasselbe Paar liefert stets dasselbe Inverse und dasselbe check-Feld.
Verdrahten Sie den Endpunkt in RSA-Lehrsandboxes, Endkörper-Demos, Wettbewerbshilfen oder jede ganzzahlige Pipeline, die exakte Arithmetik heuristischen Näherungen vorzieht.
Anwendungsfälle
Krypto- und RSA-Lehrlabore
Dozierende und Studierende können öffentliche Exponenten modulo φ(n) bei Bedarf invertieren und den gcd prüfen, wenn ein Beispielmodul nicht teilerfremd zum Exponenten ist.
Wettbewerbsprogrammierung und modulare Division
Wettbewerbsprogrammierer können ad-hoc-Snippets des erweiterten GCD durch einen einzigen deterministischen Aufruf ersetzen, wenn sie modulare Division unter primen oder zusammengesetzten Moduln prüfen.
Häufige Fragen
Was passiert, wenn a und m nicht teilerfremd sind?
Die Meldung enthält gcd(a, m), damit Sie wissen, warum kein multiplikatives Inverses existiert. Fehlgeschlagene Validierung wird nicht berechnet.
Welcher Algorithmus berechnet das Inverse?
Der erweiterte euklidische Algorithmus. Er findet Bézout-Koeffizienten für a mod m und m; ist der gcd 1, wird der Koeffizient von a in den Bereich 0..m−1 reduziert.
Welche Bereiche von a und m werden akzeptiert?
m muss eine ganze Zahl von 2 bis 1,000,000,000,000 sein. a muss eine ganze Zahl sein, deren Absolutwert höchstens dieselbe Grenze hat. Werte außerhalb werden abgelehnt.
Was ist das Inverse von 3 modulo 11?
Es ist 4. Multipliziert man 3 mit 4 und teilt durch 11, bleibt der Rest 1, genau das muss ein Inverses leisten. Der Kontrollwert neben dem Ergebnis ist diese 1.
Wofür braucht man ein modulares Inverses?
Damit dividieren Sie modulo m, lösen lineare Kongruenzen und bestimmen in der Kryptografie den RSA-Entschlüsselungsexponenten, der den öffentlichen Exponenten modulo φ(n) invertiert. Auch Lehre und Programmierwettbewerbe brauchen es oft.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/modular-inverse \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":3,"m":11}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/modular-inverse", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 3,
"m": 11
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/numth/modular-inverse",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 3,
"m": 11
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/modular-inverse", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":3,"m":11}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":3,"m":11}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/modular-inverse", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"a": 3,
"m": 11
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "numth.modular_inverse",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Limits
max_abs | 1000000000000 |
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Wie dieser Rechner den erweiterten euklidischen Algorithmus ausführt
Rufen Sie die Capability mit den ganzzahligen Feldern a und m auf, wobei m mindestens zwei ist. Absolutwerte sind durch eine Billion begrenzt, damit jedes Zwischenprodukt im sicheren Ganzzahlbereich von JavaScript bleibt. Die Implementierung reduziert a zuerst in die nichtnegative Restklasse a_mod von null bis m minus eins und wendet dann den erweiterten euklidischen Algorithmus auf das Paar a_mod und m an. Jeder Schritt speichert den ganzzahligen Quotienten und aktualisiert die Bézout-Koeffizienten so, dass am Ende der Koeffizient von a_mod mal a_mod plus ein Koeffizient von m den gcd ergibt. Ist dieser gcd nicht eins, scheitert die Anfrage mit invalid_input und einer Meldung, die beide Eingaben und den gcd nennt; es wird nichts berechnet. Ist der gcd eins, wird der Koeffizient von a_mod in den Bereich null bis m minus eins reduziert und als inverse zurückgegeben. Die Antwort spiegelt auch a, m, a_mod, gcd und check gleich a_mod mal inverse modulo m wider, was bei Erfolg eins sein muss.
Praktischer Einsatz, Grenzen, Preise und Bereitstellung
Nutzen Sie die API, wenn ein Skript, Bewerter oder eine Lernplattform viele Inverse ohne eingebettete erweiterte-GCD-Routine benötigt. Jede erfolgreiche Anfrage ist ein abrechenbarer Posten zu $0.002; Validierungsfehler und nicht teilerfremde Paare werden nicht berechnet. Weil die Einheit ein einzelner Posten ist und die Engine reines parse, bleibt die Latenz niedrig und der freie Webkanal spiegelt die bezahlte API ohne zweiten Codepfad, der abdriften könnte.
Integrationsbeispiele
Hausaufgabenprüfer und zahlentheoretische Pipelines
Automatisierte Bewerter und Skripte können Inverse bestätigen, nicht teilerfremde Eingaben via invalid_input erkennen und jedes Zwischenprodukt in dokumentierten Grenzen halten.
Technische Fragen
Wie berechne ich ein modulares Inverses mit dieser API?
Senden Sie JSON mit den ganzzahligen Feldern a und m (m ≥ 2) an numth.modular_inverse. Bei Erfolg liefert die Antwort inverse in 0..m−1 sowie a_mod, gcd und check gleich 1.
Ist der Rechner für modulare Inverse kostenlos?
Das Browser-Tool läuft kostenlos auf Ihrem Gerät. API-Aufrufe nutzen vorausbezahltes KIT-Guthaben zu $0.002 pro erfolgreichem Posten; ungültige oder nicht teilerfremde Eingaben werden nicht berechnet.