Inverso moltiplicativo modulare
Trovi il numero che annulla una moltiplicazione modulo m: l'inverso di 3 modulo 11 è 4, perché 3 per 4 lascia resto 1. Vede anche il MCD e un valore di controllo, e un avviso chiaro quando l'inverso non esiste. Gratis nel suo browser.
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Esempio risolto
- A
- 3
- Modulo m ≥ 2
- 11
- A modulo
- 3
- Inverso
- 4
- Mcd
- 1
- Verifica
- 1
L'inverso moltiplicativo modulare di un intero a modulo m è il residuo x che soddisfa a per x congruente a uno modulo m. Tale inverso esiste se e solo se a e m sono coprimi — il loro massimo comune divisore è uno. Tutorial di crittografia, passi di chiave privata RSA, divisione modulare nella programmazione competitiva e calcoli su gruppi ciclici richiedono questa operazione, ma molti linguaggi espongono solo un GCD binario e lasciano a Lei i coefficienti di Bézout. Questa calcolatrice prende a e m, esegue l'algoritmo di Euclide esteso in modo deterministico e restituisce l'unico inverso non negativo nell'intervallo da zero a m meno uno, insieme al gcd e a un prodotto di verifica così può controllare il risultato senza ridisegnare i passaggi.
Cos'è un inverso modulare e quando esiste
Nell'aritmetica ordinaria ogni numero non nullo ha un inverso moltiplicativo: dividendolo si ottiene uno. Nell'aritmetica modulare la stessa idea diventa una congruenza. Si dice che x è un inverso modulare di a modulo m quando a per x lascia resto uno diviso per m.
Poiché i residui si avvolgono ogni m passi, non ogni a ha un tale x. L'ostacolo è aritmetico, non di virgola mobile: se d è il gcd di a e m e d è maggiore di uno, allora a per qualsiasi intero è multiplo di d, quindi il prodotto non può mai essere congruente a uno, che non è multiplo di d.
Viceversa, l'identità di Bézout garantisce interi x e y con a x più m y uguale a uno esattamente quando quel gcd è uno, e ridurre x modulo m produce l'inverso. Gli ingegneri incontrano questa condizione dividendo in un campo finito, scegliendo esponenti di decifratura RSA che invertono l'esponente pubblico modulo phi di n, annullando moltiplicazioni modulari in pipeline di hash o risolvendo congruenze lineari in programmazione competitiva.
Restituire un errore esplicito quando la coppia non è coprima è più utile di un fallimento silenzioso: il client scopre che non esiste inverso e può ramificare sul gcd invece di indovinare quale libreria ha restituito un residuo sbagliato.
Casi d'uso
Laboratori di cripto e insegnamento di RSA
Docenti e studenti possono invertire esponenti pubblici modulo φ(n) su richiesta e ispezionare il gcd quando un modulo di esempio non è coprimo con l'esponente.
Programmazione competitiva e divisione modulare
I programmatori competitivi possono sostituire frammenti ad hoc di GCD esteso con una singola chiamata deterministica verificando la divisione modulare sotto moduli primi o composti.
Domande frequenti
Cosa succede se a e m non sono coprimi?
Il messaggio include gcd(a, m) così sa perché non esiste inverso moltiplicativo modulare. La validazione fallita non è addebitata.
Quale algoritmo calcola l'inverso?
L'algoritmo di Euclide esteso. Trova coefficienti di Bézout per a mod m e m; quando il gcd è 1, il coefficiente di a è ridotto nell'intervallo 0..m−1.
La calcolatrice di inverso modulare è gratuita?
Lo strumento del browser gira gratis sul Suo dispositivo.
Quali intervalli di a e m sono accettati?
m deve essere un intero da 2 a 1,000,000,000,000. a deve essere un intero il cui valore assoluto è al massimo lo stesso limite. I valori fuori vengono respinti.
Qual è l'inverso di 3 modulo 11?
È 4. Moltiplicando 3 per 4 e dividendo per 11 resta 1, che è proprio ciò che deve fare un inverso. Il valore di controllo mostrato accanto al risultato è quell'1.
Strumenti correlati
Per sviluppatori — accesso via API
Tutto quello che vedi in questa pagina è disponibile anche via API. Questa sezione è per i team che vogliono integrarlo nei propri sistemi; chi non ne ha bisogno può semplicemente usare lo strumento qui sopra.
Endpoint
Autenticazione con Bearer token: un POST mette in coda l'attività e il risultato arriva via webhook o link firmato.
Chiamala dal tuo stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/modular-inverse \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":3,"m":11}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/modular-inverse", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 3,
"m": 11
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/numth/modular-inverse",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 3,
"m": 11
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/modular-inverse", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":3,"m":11}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":3,"m":11}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/modular-inverse", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Esempio di richiesta
{
"a": 3,
"m": 11
}Esempio di risposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "numth.modular_inverse",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L'API è asincrona: ricevi subito un task_id e puoi fare polling fino a 1 richiesta al secondo.
Prezzi
Prezzo pubblicato, senza token né crediti. Se l'attività fallisce, non paghi.
Limiti
max_abs | 1000000000000 |
Errori
| HTTP | Codice | Significato |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Chiave API mancante o non valida: controlla l'header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Credito esaurito: ricarica per continuare a eseguire attività. |
404 | unknown_type | Tipo di attività sconosciuto: controlla il campo type della richiesta. |
429 | rate_limited | Troppe richieste in poco tempo: rallenta e riprova tra qualche secondo. |
Note tecniche
Come questa calcolatrice esegue l'algoritmo di Euclide esteso
Chiami la capability con i campi interi a e m, dove m è almeno due. I valori assoluti sono limitati a un bilione affinché ogni prodotto intermedio resti nel range di interi sicuri di JavaScript. L'implementazione prima riduce a nella classe di residuo non negativa a_mod da zero a m meno uno, poi applica l'algoritmo di Euclide esteso alla coppia a_mod e m. Ogni passo registra il quoziente intero e aggiorna i coefficienti di Bézout così che al termine il coefficiente di a_mod moltiplica a_mod più un coefficiente di m uguale al gcd. Se quel gcd non è uno, la richiesta fallisce con invalid_input e un messaggio che nomina entrambi gli input e il gcd; non viene addebitato nulla. Se il gcd è uno, il coefficiente di a_mod è ridotto nell'intervallo da zero a m meno uno e restituito come inverse. La risposta ripete anche a, m, a_mod, gcd e check uguale a a_mod per inverse modulo m, che deve essere uno quando la chiamata ha successo.
Uso pratico, limiti, prezzi e consegna
Usi lo strumento del browser quando desidera un inverso rapido leggendo una nota di cripto, controllando una congruenza per i compiti o debuggando un passo di moltiplicazione modulare. Gli input accettati sono interi a con valore assoluto al massimo un bilione e moduli m da due a un bilione. I risultati sono deterministici: la stessa coppia produce sempre lo stesso inverso e lo stesso campo check. Usi l'API quando uno script, un correttore o una piattaforma educativa serve molti inversi senza incorporare una routine di GCD esteso. Ogni richiesta riuscita è un articolo fatturabile a $0.002; i fallimenti di validazione e le coppie non coprime non consumano saldo. Colleghi l'endpoint a sandbox di insegnamento RSA, demo di campi finiti, ausili di programmazione competitiva o qualsiasi pipeline intera che preferisca aritmetica esatta a euristiche approssimate. Poiché l'unità è un singolo articolo e il motore è parse puro, la latenza resta bassa e il canale web gratuito rispecchia l'API a pagamento senza un secondo percorso di codice che possa divergere.
Casi di integrazione
Correttori di compiti e pipeline di teoria dei numeri
Correttori automatici e script possono confermare inversi, rilevare input non coprimi via invalid_input e mantenere ogni prodotto intermedio entro i limiti documentati.
Domande tecniche
Come si calcola un inverso modulare con questa API?
Invii JSON con i campi interi a e m (m ≥ 2) a numth.modular_inverse. In caso di successo la risposta restituisce inverse in 0..m−1, più a_mod, gcd e check uguale a 1.