القسمة المعيارية
اقسم في الحساب المعياري: 8 مقسومًا على 3 بترديد 11 يساوي 10، لأن معكوس 3 هو 4، و3 في 10 يترك الباقي 8. تحصل أيضًا على المعكوس والقاسم المشترك الأكبر وقيمة للتحقق. مجانًا في متصفحك.
- مجاني
- يعمل في متصفحك
- دون تسجيل
- بياناتك لا تغادر جهازك
شغّل الأداة مجانًا
مثال محلول
- A
- 8
- B
- 3
- N
- 11
- A بالتقابل
- 8
- B بمقياس
- 3
- الدالة العكسية
- 4
- خارج القسمة
- 10
تطلب القسمة المعيارية باقياً q بحيث يكون حاصل b في q موافقاً لـ a modulo n. في الحساب العادي تقسمون ببساطة؛ أما في الحساب المعياري فالقسمة ضربٌ في المعكوس المعياري للمقسوم عليه. يوجد ذلك المعكوس فقط عندما يكون b و n أوليين نسبياً. تحتاج مختبرات التشفير والبرمجة التنافسية وواجبات الحقول المنتهية وتمارين التوافقات الخطية إلى هذه العملية، ومع ذلك تعرض لغات كثيرة GCD فقط أو معكوساً معيارياً مجرداً وتترك خطوة الضرب لكم. تأخذ هذه الحاسبة الأعداد الصحيحة a و b والمعيار n، وتعكس b modulo n بخوارزمية إقليدس الموسّعة عند الإمكان، ثم تضرب في a، وتعيد الحاصل الوحيد غير السالب من صفر إلى n ناقص واحد، مع المعكوس و gcd وحاصل تحقق حتى تتحققوا من النتيجة دون إعادة اشتقاق الخطوات.
معنى القسمة المعيارية ومتى تكون معرّفة
في الأعداد الصحيحة لكل عدد غير صفري مقلوب في الكسور، فالقسمة معرّفة بعيداً عن الصفر. modulo n الصورة أشد صرامة: البواقي تشكّل حلقة، ولا يجوز أن تكون المقسومات عليه القانونية سوى الوحدات—عناصر ذات معكوس ضربي. نقول إن q حاصل معياري لـ a مقسوماً على b modulo n عندما يترك b في q نفس باقي a عند اختزال كلا الحاصلين modulo n. وبالمكافئ يكون q موافقاً لـ a مضروباً في معكوس b modulo n.
يوجد معكوس b إذا وفقط إذا كان gcd لـ b و n واحداً؛ وإلا فإن كل مضاعف لـ b يشارك عاملاً مع n ولا يبلغ كل أصناف الباقي، فلا يصلح q وحيد لـ a اعتباطي. يواجه المهندسون والطلاب هذا الحاجز عند القسمة في معيار مركّب ليس حقلاً أولياً، أو عند إلغاء معامل في توافق خطي، أو عند فك ضرب معياري في خطوة تجزئة أو تشفير. لاحظوا أن a نفسه لا يلزم أن يكون أولياً نسبياً مع n؛ يجب فقط أن يكون المقسوم عليه b وحدة.
يسهل نسيان هذا اللاتماثل إن تذكّرتم فقط الحالة الخاصة للمعكوس المعياري عندما يساوي a واحداً.
الاستخدام العملي والحدود والتسعير والتسليم
استخدموا أداة المتصفح عندما تريدون حاصلًا معيارياً سريعاً أثناء قراءة ملاحظة في نظرية الأعداد، أو التحقق من واجب بالشكل b x موافقاً a mod n، أو تصحيح خط أنابيب معياري يضرب مسبقاً في معكوسات يدوياً. المدخلات المقبولة أعداد صحيحة a و b بقيمة مطلقة لا تتجاوز تريليوناً ومعايير n من اثنين إلى تريليون. النتائج حتمية: يعطي الثلاثي نفسه دائماً حقول quotient و inverse و check ذاتها.
إن احتجتم فقط معكوس b دون الضرب في a ففضّلوا قدرة المعكوس المعياري المخصصة؛ تستهدف هذه الصفحة نية القسمة الكاملة التي يبحث عنها المستخدمون كقسمة معيارية أو a مقسوماً على b mod n.
حالات الاستخدام
مختبرات التشفير والحقول المنتهية
يمكن للمدرّسين والطلاب قسمة عناصر حقل modulo عدد أولي، أو فحص gcd عندما يجعل معيار مركّب نموذجي المقسوم عليه غير قابل للعكس.
مدقّقو الواجبات والتوافقات الخطية
يمكن للمصححات الآلية التحقق من حلول b x ≡ a (mod n) بمقارنة الحاصل المُعاد ورفض الحالات التي لا توجد فيها فئة باقٍ فريدة.
الأسئلة الشائعة
ماذا يحدث إن لم يكن b قابلاً للعكس modulo n؟
تتضمن الرسالة gcd(b, n) لتعرفوا لماذا القسمة المعيارية غير معرّفة. التحقق الفاشل لا يُحسب.
كيف يُحسب الحاصل؟
تجد خوارزمية إقليدس الموسّعة b⁻¹ mod n عندما gcd(b, n) = 1؛ ثم تضرب الحاسبة ذلك المعكوس في a modulo n بحساب صحيح دقيق.
ما النطاقات المقبولة لـ a و b و n؟
يجب أن يكون n عدداً صحيحاً من 2 إلى 1,000,000,000,000. ويجب أن يكون a و b عددين صحيحين لا تتجاوز قيمتهما المطلقة ذلك الحد. تُرفض القيم خارج هذه الحدود.
كم يساوي 8 مقسومًا على 3 بترديد 11؟
النتيجة 10. معكوس 3 بترديد 11 هو 4، وضرب 8 فيه يعطي الحاصل 10. وللتحقق، فإن 3 في 10 يترك الباقي 8 عند القسمة على 11.
هل يجب أن يكون a أيضًا أوليًا نسبيًا مع n؟
لا. المقسوم عليه b وحده يجب أن يكون قابلًا للعكس بترديد n، أي أن يكون القاسم المشترك الأكبر بينه وبين n هو 1. أما المقسوم a فقد يشترك مع n في قواسم.
أدوات ذات صلة
للمطوّرين — الوصول عبر API
كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.
الـEndpoint
صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.
استدعِ الخدمة من بيئتك
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/modular-division \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":8,"b":3,"n":11}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/modular-division", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 8,
"b": 3,
"n": 11
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/numth/modular-division",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 8,
"b": 3,
"n": 11
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/modular-division", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":8,"b":3,"n":11}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":8,"b":3,"n":11}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/modular-division", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)مثال على الطلب
{
"a": 8,
"b": 3,
"n": 11
}مثال على الاستجابة
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "numth.modular_division",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.
الأسعار
السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.
الأخطاء
| HTTP | الرمز | المعنى |
|---|---|---|
401 | unauthorized | مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك. |
402 | insufficient_balance | رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة. |
404 | unknown_type | نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب. |
429 | rate_limited | تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة. |
ملاحظات تقنية
معنى القسمة المعيارية ومتى تكون معرّفة
إرجاع خطأ invalid_input صريح عندما لا يكون b قابلاً للعكس أنفع من باقٍ صامت خاطئ: يتعلم العميل أن القسمة غير معرّفة لهذا الزوج ويمكنه التفرع حسب gcd المبلّغ بدل الثقة بمكتبة ناقصة.
كيف تعكس هذه الحاسبة b وتضرب في a
استدعوا القدرة بالحقول الصحيحة a و b و n حيث n لا يقل عن اثنين. تقلّل التنفيذ أولاً a و b إلى بواقي غير سالبة a_mod و b_mod في المدى من صفر إلى n ناقص واحد، ثم تشغّل خوارزمية إقليدس الموسّعة على b_mod و n. يسجّل كل خطوة الحاصل الصحيح ويحدّث معاملات بيزو بحيث يساوي عند الانتهاء معامل b_mod مضروباً في b_mod زائد معامل لـ n قيمة gcd. إن لم يكن ذلك gcd واحداً تفشل الطلبية بـ invalid_input ورسالة تسمّي b و n و gcd؛ ولا تُحتسب أي رسوم. إن كان gcd واحداً يُختزل معامل b_mod إلى المدى صفر حتى n ناقص واحد ويُحفظ كـ inverse. ثم يُؤخذ الحاصل المعياري لـ a_mod و inverse بحساب BigInt دقيق حتى تبقى البواقي الكبيرة صحيحة حتى الحد المنشور، ويُعاد الحاصل كـ quotient. تعيد الاستجابة أيضاً a و b و n و a_mod و b_mod و gcd و check المساوي لـ b_mod في quotient modulo n، والذي يجب أن يساوي a_mod عند نجاح الاستدعاء. قيم a و b المطلقة والمعيار n محدودة بتريليون واحد ليبقى كل وسيط ضمن نظام أعداد صحيحة آمنة لعازل Worker.
الاستخدام العملي والحدود والتسعير والتسليم
استخدموا API عندما يحتاج سكربت أو مصحح أو منصة تعليمية إلى قسمات كثيرة دون تضمين روتين GCD موسّع وخطوة multiply-mod حذرة. كل طلب ناجح عنصر قابل للفوترة بسعر $0.002؛ ولا تستهلك إخفاقات التحقق والمقسومات عليه غير القابلة للعكس الرصيد. اربطوا نقطة النهاية بمساعدات المسابقات وعروض الحقول المنتهية وصناديق تعليم RSA التي تحتاج أكثر من معكوسات مجردة، أو أي خط أنابيب عددي يفضّل الحساب الدقيق على حدسيات الفاصلة العائمة. لأن الوحدة عنصر واحد والمحرك parse خالص، تبقى الكمون منخفضة وتعكس القناة الويب المجانية API المدفوعة دون مسار شفرة ثانٍ قد ينحرف.
حالات التكامل
البرمجة التنافسية والحساب المعياري
يمكن للمبرمجين التنافسيين حساب a/b mod n تحت معايير أولية أو مركّبة واكتشاف المقسومات عليه غير القابلة للعكس عبر invalid_input بدل مقتطفات GCD موسّع مرتجلة.
أسئلة تقنية
كيف أحسب القسمة المعيارية a ÷ b mod n؟
أرسلوا JSON بالحقول الصحيحة a و b و n (n ≥ 2) إلى numth.modular_division. عند النجاح تعيد الاستجابة quotient في 0..n−1 مع معكوس b و a_mod و b_mod و gcd و check المساوي لـ a_mod.
هل حاسبة القسمة المعيارية مجانية؟
تعمل أداة المتصفح مجاناً على جهازكم. تستخدم استدعاءات API رصيد KIT المدفوع مسبقاً بسعر $0.002 لكل عنصر ناجح؛ ولا تُحسب المدخلات غير الصالحة أو غير القابلة للعكس.