المعكوس الضربي modulo n
أوجد العدد الذي يلغي الضرب بالمقياس n: معكوس 3 بالمقياس 11 هو 4، لأن 3 × 4 = 12 يترك باقيًا قدره 1. ولا يوجد المعكوس إلا عندما لا يشترك العدد والمقياس في أي عامل. مجاني في متصفحك.
- مجاني
- يعمل في متصفحك
- دون تسجيل
- بياناتك لا تغادر جهازك
شغّل الأداة مجانًا
مثال محلول
- عدد صحيح
- 3
- المقياس
- 11
- الباقي
- 3
- الدالة العكسية
- 4
- Gcd
- 1
- التحقق
- 1
المعكوس الضربي لعدد صحيح modulo n هو الباقي inverse الذي يحقق أن العدد مضروباً في inverse متطابق مع الواحد modulo n. يوجد هذا inverse إذا وفقط إذا كان العدد الصحيح والمقياس أوليين معاً — أي أن القاسم المشترك الأكبر يساوي واحداً. تحتاج دروس التشفير وخطوات المفتاح الخاص في RSA والقسمة المعيارية في البرمجة التنافسية وحسابات الزمر الدورية إلى هذه العملية، غير أن كثيراً من اللغات تعرض GCD ثنائياً فقط وتترك معاملات بيزو لكم.
ما المعكوس الضربي modulo n ومتى يوجد
في الحساب العادي لكل عدد غير صفري معكوس ضربي: اقسموا عليه فتحصلوا على واحد. في الحساب المعياري تصبح الفكرة نفسها تطابقاً. نقول إن inverse معكوس ضربي لعدد صحيح modulo n عندما يترك العدد مضروباً في inverse باقياً واحداً عند القسمة على المقياس.
لأن البواقي تدور كل n خطوة، ليس لكل عدد صحيح مثل هذا inverse. العائق عددي وليس عشرياً عائماً: إذا كان d يساوي gcd للعدد والمقياس وكان d أكبر من واحد، فإن العدد مضروباً في أي مرشح مضاعف لـ d، فلا يمكن للجداء أن يكون متطابقاً مع الواحد الذي ليس مضاعفاً لـ d. وعلى العكس تضمن هوية بيزو أعداداً صحيحة x و y بحيث العدد في x زائد المقياس في y يساوي واحداً بالضبط عندما يكون ذلك gcd واحداً، واختزال x modulo n يعطي inverse.
يصادف المهندسون هذا الشرط عند القسمة في حلقة منتهية، وعند اختيار أسس فك تشفير RSA التي تعكس الأس العام modulo phi لـ N، وعند التراجع عن ضرب معياري في مسارات التجزئة، أو عند حل التطابقات الخطية في البرمجة التنافسية. إرجاع خطأ صريح عندما لا يكون الزوج أولياً معاً أنفع من فشل صامت: يتعلم العميل أنه لا يوجد inverse ويمكنه التفريع حسب gcd بدل التخمين أي مكتبة أعادت باقياً خاطئاً. لذلك تعامل الحاسبة الزوج غير الأولي معاً كإدخال غير صالح، بدل اختراع inverse وهمي يكسر أي فحص لاحق للتطابق المعرِّف.
كيف تشغّل هذه الحاسبة خوارزمية إقليدس الموسّعة
يختزل التنفيذ أولاً العدد إلى صنف الباقي غير السالب residue من صفر إلى n ناقص واحد، ثم يطبق خوارزمية إقليدس الموسّعة على الزوج residue و modulus. تسجّل كل خطوة الحاصل الصحيح وتحدّث معاملات بيزو بحيث عند الانتهاء يضرب معامل residue في residue زائد معامل المقياس يساوي gcd. إذا كان gcd واحداً، يُختزل معامل residue إلى المدى من صفر إلى n ناقص واحد ويُعاد كـ inverse.
القيم المطلقة محدودة بترليون واحد حتى يبقى كل تضاعف وسيط للجداء المعياري ضمن نطاق الأعداد الصحيحة الآمنة في JavaScript. تُقبل الأعداد الصحيحة السالبة وتُختزل قبل الحلقة الإقليدية، فإدخال سالب ثلاثة modulo أحد عشر يُعامل كـ residue ثمانية ويُعكس في ذلك الصنف.
الاستخدام العملي والحدود والتسعير والتسليم
استخدموا أداة المتصفح عندما تريدون inverse سريعاً أثناء قراءة ملاحظة تشفير أو التحقق من تطابق واجب أو تصحيح خطوة ضرب معياري. المدخلات المقبولة أعداد صحيحة قيمتها المطلقة لا تتجاوز ترليوناً ومقاييس من اثنين إلى ترليون. النتائج حتمية: الزوج نفسه يعطي دائماً inverse نفسه وحقل check نفسه.
أبقوا الزوج داخل الحدود المنشورة، وعاملوا خطأ عدم الأولية معاً كنتيجة من الدرجة الأولى في اختباراتكم، فتحصلون على inverse قابل لإعادة الإنتاج للواجبات وإضافات LMS والعاملين على الحافة دون إقامة نظام جبر حاسوبي خاص بكم.
حالات الاستخدام
مختبرات التشفير وتعليم RSA
يمكن للمدرسين والطلاب عكس الأسس العامة modulo φ(N) عند الطلب وفحص gcd عندما لا يكون مقياس العينة أولياً مع الأس.
البرمجة التنافسية والقسمة المعيارية
يمكن لمبرمجي المسابقات استبدال مقتطفات GCD الموسّع العشوائية باستدعاء حتمي واحد عند التحقق من القسمة المعيارية تحت مقاييس أولية أو مركبة.
الأسئلة الشائعة
كيف تحصلون على المعكوس الضربي لعدد صحيح modulo n؟
عند النجاح يعيد الرد inverse في 0..n−1 مع residue و gcd و check مساوياً لـ 1.
بأي أسلوب يُحسب المعكوس؟
خوارزمية إقليدس الموسّعة. تجد معاملات بيزو لـ residue المختزَل والمقياس؛ عندما يكون gcd 1 يُختزل معامل residue إلى المدى 0..n−1.
ماذا يحدث إذا كان للعدد والمقياس عامل مشترك؟
عندها لا يوجد معكوس، وتنبّهك الحاسبة برسالة تذكر العددين والقاسم المشترك الأكبر بينهما، بدل اختلاق قيمة لا تحقق التطابق.
كيف أتحقق من صحة المعكوس؟
اضرب العدد بعد اختزاله بالمقياس n في المعكوس واقسم على n: يجب أن يكون الباقي 1. ويظهر هذا التحقق بجانب النتيجة مع العدد المختزل والقاسم المشترك الأكبر.
ما الأعداد التي يمكنني إدخالها؟
عدد صحيح حتى تريليون في قيمته المطلقة، سالبًا كان أو موجبًا، ومقياس لا يقل عن 2. ويُختزل العدد أولًا إلى باقيه بين 0 وn ناقص 1، ويقع المعكوس في المجال نفسه.
أدوات ذات صلة
للمطوّرين — الوصول عبر API
كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.
الـEndpoint
صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.
استدعِ الخدمة من بيئتك
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/multiplicative-inverse-modulo \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"integer":3,"modulus":11}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/multiplicative-inverse-modulo", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"integer": 3,
"modulus": 11
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/multiplicative-inverse-modulo",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"integer": 3,
"modulus": 11
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/multiplicative-inverse-modulo", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"integer":3,"modulus":11}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"integer":3,"modulus":11}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/multiplicative-inverse-modulo", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)مثال على الطلب
{
"integer": 3,
"modulus": 11
}مثال على الاستجابة
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.multiplicative_inverse_modulo",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.
الأسعار
السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.
الحدود
max_abs | 1000000000000 |
الأخطاء
| HTTP | الرمز | المعنى |
|---|---|---|
401 | unauthorized | مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك. |
402 | insufficient_balance | رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة. |
404 | unknown_type | نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب. |
429 | rate_limited | تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة. |
ملاحظات تقنية
تأخذ هذه الحاسبة integer و modulus، وتشغّل خوارزمية إقليدس الموسّعة بشكل حتمي، وتعيد inverse غير السالب الوحيد من صفر إلى n ناقص واحد، مع residue المختزَل و gcd وجداء check حتى تتحققوا من النتيجة دون إعادة اشتقاق الخطوات.
كيف تشغّل هذه الحاسبة خوارزمية إقليدس الموسّعة
استدعوا القدرة بالحقلين الصحيحين integer و modulus، حيث لا يقل المقياس عن اثنين. إذا لم يكن ذلك gcd واحداً، يفشل الطلب بـ invalid_input ورسالة تسمي المدخلين و gcd؛ لا يُحسب شيء. يعيد الرد أيضاً integer و modulus و residue و gcd و check المساوي لـ residue مضروباً في inverse modulo n، ويجب أن يكون واحداً عند نجاح الاستدعاء.
الاستخدام العملي والحدود والتسعير والتسليم
استخدموا API عندما يحتاج سكربت أو مصحح أو منصة تعليمية إلى معكوسات كثيرة دون تضمين روتين GCD موسّع. كل طلب ناجح بند قابل للفوترة بسعر $0.002؛ إخفاقات التحقق والأزواج غير الأولية معاً لا تستهلك الرصيد. اربطوا نقطة النهاية بمختبرات تعليم RSA وعروض الحلقات المنتهية ومساعدات البرمجة التنافسية أو أي مسار أعداد صحيحة يفضّل الحساب الدقيق على الاستدلالات التقريبية. لأن الوحدة بند واحد والمحرك parse نقي، تبقى الكمون منخفضة والقناة المجانية تعكس API المدفوعة دون مسار شيفرة ثانٍ قد ينحرف.
حالات التكامل
مدققو الواجبات ومسارات نظرية الأعداد
يمكن للمصححين والسكربتات الآلية تأكيد المعكوسات وكشف المدخلات غير الأولية معاً عبر invalid_input وإبقاء كل جداء وسيط ضمن الحدود الموثقة.
أسئلة تقنية
ماذا ترد API إن لم يكن العدد الصحيح والمقياس أوليين معاً؟
يفشل الطلب بـ invalid_input. تتضمن الرسالة gcd(integer, modulus) لتعرفوا لماذا لا يوجد معكوس ضربي. التحقق الفاشل لا يُحاسب.
هل حساب المعكوس الضربي modulo n مجاني؟
يعمل widget المتصفح مجاناً على جهازكم. كل استدعاء API يستهلك رصيد KIT المدفوع مسبقاً بسعر $0.002 لكل بند صحيح؛ قيم integer أو modulus غير الصالحة أو الزوج غير الأولي معاً لا تُحاسب.
ما قيم integer و modulus المقبولة؟
يجوز أن يكون integer أي عدد صحيح منتهٍ قيمته المطلقة لا تتجاوز ترليوناً. ويجب أن يكون modulus عدداً صحيحاً من 2 إلى ترليون. تُرفض القيم غير الصحيحة.