Raíz n-ésima modular
Encuentre todas las raíces k-ésimas de un número módulo un primo: las raíces cuadradas de 2 módulo 17 son 6 y 11, en orden. Si no existe ninguna, recibe una respuesta clara en lugar de una lista vacía. Gratis en su navegador.
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Ejemplo resuelto
- A
- 2
- K
- 2
- Potencia (W)
- 17
- A módulo
- 2
- Cantidad de raíces
- 2
- Raíces
- 6, 11
- MCD de k y φ
- 2
Una raíz k-ésima modular de un entero a módulo un primo p es cualquier residuo x tal que x elevado a k es congruente con a módulo p. Las raíces cuadradas módulo primos aparecen en tutoriales de Tonelli–Shanks, las cúbicas y superiores en el álgebra de cuerpos finitos, y los cursos de criptografía necesitan un oráculo fiable que liste todas las raíces o rechace con claridad cuando no existen. Esta calculadora acepta a, un exponente positivo k y un módulo primo p, reduce a al rango canónico de cero a p menos uno y devuelve la lista ordenada completa de soluciones en ese cuerpo.
Qué son las raíces k-ésimas modulares y cuándo existen
En el grupo multiplicativo de un cuerpo primo todo residuo no nulo tiene un orden bien definido que divide a p menos uno. Elevar x a la k produce una aplicación cuya imagen es el conjunto de residuos potencia k-ésima. Para un objetivo a no nulo la congruencia x a la k congruente con a módulo p tiene soluciones si y solo si a elevado a (p menos uno) dividido por d es congruente con uno, donde d es el máximo común divisor de k y p menos uno.
Cuando se cumple ese criterio hay exactamente d raíces no nulas distintas. El residuo cero es especial: cero a cualquier potencia positiva es cero, así que a congruente con cero tiene la única raíz cero. Los módulos compuestos quedan fuera de este cuadro de grupo cíclico y se rechazan para que el solver nunca finja que un producto por el teorema chino del resto es una respuesta de cuerpo primo.
Los estudiantes encuentran raíces cuadradas al comprobar símbolos de Legendre a mano, raíces superiores al estudiar cosets ciclotómicos o logaritmos discretos, y fallos de existencia cuando un ejercicio pide la raíz cúbica de un no residuo cúbico.
Cómo halla esta calculadora cada raíz
Invoque la capacidad con los campos enteros a, k y p. La implementación comprueba primero que k es un entero positivo y que p es un primo dentro del límite publicado mediante un test de Miller–Rabin determinista. Tras reducir a módulo p, el caso de residuo cero devuelve la única raíz cero.
Para a no nulo calcula d igual al mcd de k y p menos uno y aplica el test de existencia anterior. Cuando d vale uno hay una raíz única obtenida elevando a al inverso modular de k módulo p menos uno, la vía rápida para exponentes coprimos.
Cuando d es mayor que uno el solver encuentra una raíz primitiva g módulo p, recupera el logaritmo discreto de a en base g con baby-step giant-step y resuelve la congruencia lineal k por y congruente con ese logaritmo módulo p menos uno. Cada raíz devuelta se verifica por exponenciación modular antes de emitir la respuesta.
Los valores absolutos de a y k están acotados por un billón y el primo p cerca de mil millones para que la memoria de baby-step giant-step sea práctica; si d superara diez mil raíces la petición se rechaza en lugar de saturar al cliente.
Qué puede hacer con ella
Criptografía y laboratorios de cuerpos finitos
Docentes y estudiantes pueden listar cada raíz cuadrada o superior módulo un primo pequeño, verificar criterios de existencia e inspeccionar gcd(k, p−1) cuando un residuo de ejemplo no tiene raíz k-ésima.
Programación competitiva y álgebra modular
Los programadores competitivos pueden contrastar las soluciones de x^k ≡ a (mod p) con un oráculo determinista en lugar de bucles a fuerza bruta o Tonelli–Shanks caseros.
Preguntas frecuentes
¿Qué ocurre si p no es primo?
Esta calculadora exige un módulo primo para que el grupo multiplicativo sea cíclico y el criterio de existencia sea exacto. La validación fallida no se cobra.
¿Y si no existe raíz k-ésima?
Nunca se devuelve una lista vacía de éxito ante la no existencia.
¿Qué algoritmos usa la calculadora de raíz n-ésima modular?
Miller–Rabin para primalidad, exponentes con inverso modular cuando gcd(k,p−1)=1; en otro caso raíz primitiva, logaritmo discreto baby-step giant-step y resolución de congruencias lineales. Todas las vías son deterministas.
¿Es gratuita la calculadora de raíz n-ésima modular?
La herramienta del navegador se ejecuta gratis en su dispositivo.
¿Cuáles son las raíces cuadradas de 2 módulo 17?
Son 6 y 11. Al elevar cualquiera de ellas al cuadrado y dividir entre 17 queda resto 2. La calculadora las muestra en orden ascendente junto con la cantidad de raíces.
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
Llámela desde su stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/modular-nth-root \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":2,"k":2,"p":17}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/modular-nth-root", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 2,
"k": 2,
"p": 17
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/numth/modular-nth-root",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 2,
"k": 2,
"p": 17
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/modular-nth-root", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":2,"k":2,"p":17}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":2,"k":2,"p":17}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/modular-nth-root", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Ejemplo de solicitud
{
"a": 2,
"k": 2,
"p": 17
}Ejemplo de respuesta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "numth.modular_nth_root",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
Si p es compuesto la petición falla con invalid_input; si el criterio de existencia a elevado a (p menos uno) entre el mcd de k y p menos uno no es uno módulo p, también falla en lugar de devolver una lista vacía de éxito. El mismo módulo puro y determinista alimenta la herramienta gratuita del navegador y la API de prepago, de modo que las demos de aula y los correctores automáticos nunca discrepan en una raíz.
Qué son las raíces k-ésimas modulares y cuándo existen
Devolver invalid_input duro ante la no existencia coincide con los textos de teoría de números que dicen sin solución, y no con una lista vacía que un sistema de facturación podría tratar como éxito.
Cómo halla esta calculadora cada raíz
Cada solución y produce una raíz g a la y, y las raíces distintas se ordenan de forma ascendente para un contrato de API estable.
Uso práctico, límites, precio y entrega
Use la herramienta del navegador cuando desee cada raíz cuadrada o superior al leer una nota de cripto, comprobar salida de programación competitiva o calificar un ejercicio de cuerpos finitos. Se aceptan enteros a con valor absoluto como máximo un billón, exponentes k de uno a un billón y primos p de dos hasta unos mil millones, con el tope de seguridad de número de raíces. Use la API cuando un script, un plugin de LMS o un cuaderno de investigación necesite muchas consultas de raíces modulares sin incrustar Tonelli–Shanks ni un logaritmo discreto. Cada petición exitosa es un ítem facturable a $0.002; los fallos de validación, los módulos compuestos y la no existencia demostrada no consumen saldo. La respuesta devuelve a, k, p, el a_mod reducido, root_count, el array roots ascendente, gcd_k_phi igual a d, una cadena de ecuación para mostrar y una etiqueta method con la vía del algoritmo. Conecte el endpoint a sandboxes de criptografía, ayudas de programación competitiva y demos de teoría de números algebraica que prefieran aritmética modular exacta a aproximaciones flotantes. Como la unidad es un solo ítem y el motor es parse puro, la latencia se mantiene baja y el canal web gratuito refleja la API de pago sin un segundo camino de código que pueda divergir.
Casos de integración
Correctores de tareas y cuadernos de investigación
Correctores automáticos y scripts pueden confirmar conjuntos de raíces, rechazar módulos compuestos vía invalid_input y mantener cada producto intermedio dentro de los límites documentados.
Preguntas técnicas
¿Cómo se calculan raíces k-ésimas modulares con esta API?
Envíe JSON con los campos enteros a, k (≥ 1) y el primo p a numth.modular_nth_root. Si tiene éxito, la respuesta devuelve roots como array ascendente, root_count, a_mod y gcd_k_phi.