Lista de no residuos cuadráticos mod p
Enumera cada resto que nunca es un cuadrado módulo un primo impar: módulo 7 los cuadrados son 1, 2 y 4, así que los no residuos son 3, 5 y 6. El total siempre es (p − 1)/2, una comprobación incorporada. Gratis en su navegador.
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Ejemplo resuelto
- Potencia (W)
- 7
- No residuos
- 3, 5, 6
- Cantidad
- 3
- Cantidad de residuos
- 3
- Cantidad esperada
- 3
Un no residuo cuadrático módulo un primo impar p es una clase de residuo no nula a para la cual la congruencia x al cuadrado congruente con a módulo p no admite solución entera. Para todo primo impar hay exactamente la mitad de las clases no nulas que son residuos y la mitad que son no residuos, de modo que enumerar los no residuos es una respuesta constructiva completa y no un simple sí o no. Estudiantes, programadores de concursos y quienes aprenden criptografía suelen necesitar el conjunto entero para tablas, comprobaciones puntuales del símbolo de Legendre y ejemplos didácticos antes de invocar algoritmos más pesados de raíz cuadrada modular. Esta capacidad acepta un único primo impar p, verifica la primalidad, marca cada clase cuadrada con un barrido determinista y devuelve la lista ordenada de no residuos entre uno y p menos uno junto con los conteos teóricos.
No residuos cuadráticos y por qué la lista es la mitad de 1..p−1
Fije un primo impar p. Para cada entero a no divisible por p, el polinomio X al cuadrado menos a tiene o bien dos raíces o ninguna en el cuerpo de los enteros módulo p. Las clases con raíces son los residuos cuadráticos no nulos; las clases sin raíces son los no residuos cuadráticos.
El cero es siempre un cuadrado (cero al cuadrado) y los manuales suelen tratarlo aparte de la partición entre residuos y no residuos no nulos. La estructura multiplicativa impone un equilibrio perfecto: la aplicación que envía x a x al cuadrado sobre el grupo multiplicativo de orden p menos uno es dos a uno sobre un subgrupo de índice dos, de modo que hay exactamente (p menos uno) entre dos residuos y el mismo número de no residuos.
Las tablas clásicas lo confirman: módulo siete los cuadrados no nulos son uno, dos y cuatro, así que los no residuos son tres, cinco y seis; módulo once los no residuos son dos, seis, siete, ocho y diez. El símbolo de Legendre codifica la misma partición como más uno o menos uno, pero un solo símbolo no enumera el conjunto completo.
Dónde aparecen las listas completas de no residuos en el trabajo real
Los programadores de concursos usan el conjunto como oráculo al construir generadores que muestrean no residuos para pruebas de hash o contraejemplos a conjeturas ingenuas de raíz cuadrada. Los estudiantes de criptografía verifican las afirmaciones del manual sobre el tamaño del conjunto de no residuos antes de estudiar la reciprocidad cuadrática, el criterio de Euler o cifrados al estilo Rabin que dependen de la estructura de residuos.
Los ingenieros que escriben pruebas de propiedades para ayudas de aritmética modular pueden afirmar que el complemento de su buscador de residuos coincide con esta lista para todo primo impar hasta un límite modesto. Si solo necesita un símbolo de Legendre o un sí o no para un a módulo un módulo general, prefiera las herramientas hermanas de residuo y símbolo; esta página se dedica a la lista completa de no residuos de un primo impar.
Qué puede hacer con ella
Claves de ejercicios y tablas
Genere la lista ordenada completa de no residuos cuadráticos módulo un primo impar pequeño para ejercicios, diapositivas y claves de corrección sin construir un solucionador CRT.
Oráculos de concursos y pruebas de propiedades
Afirme que un buscador local de residuos y esta lista de no residuos forman una partición de 1..p-1 para todo primo impar en un rango de prueba.
Ejemplos de cursos de criptografía
Muestree no residuos para demostraciones didácticas de Rabin o de reciprocidad cuadrática cuando necesite clases concretas, no solo el signo del símbolo de Legendre.
Preguntas frecuentes
¿Qué es un no residuo cuadrático módulo p?
Para un primo impar p, un entero a no divisible por p es un no residuo cuadrático módulo p cuando ningún entero x satisface x² ≡ a (mod p). Esta herramienta devuelve todos esos a en 1..p-1, ordenados de forma ascendente.
¿Por qué p debe ser un primo impar?
La partición clásica entre residuos y no residuos no nulos de tamaño (p−1)/2 cada uno se enuncia para primos impares.
¿Qué tamaño de p se admite?
p debe ser un entero entre 3 y 100,000 inclusive y debe ser un primo impar. Los primos mayores quedan fuera de la superficie de producto de este extremo de lista.
¿Cuánto cuesta?
La herramienta del navegador es gratuita y se ejecuta en local.
¿Cuáles son los no residuos cuadráticos módulo 11?
Son 2, 6, 7, 8 y 10. Son cinco, exactamente la mitad de los diez restos distintos de cero, como ocurre con todo primo impar.
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
Llámela desde su stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/quadratic-nonresidues-list \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"p":7}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/quadratic-nonresidues-list", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"p": 7
})
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const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
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headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"p": 7
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/quadratic-nonresidues-list", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"p":7}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"p":7}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/quadratic-nonresidues-list", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Ejemplo de solicitud
{
"p": 7
}Ejemplo de respuesta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "numth.quadratic_nonresidues_list",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Límites
min_p | 3 |
max_p | 100000 |
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
No residuos cuadráticos y por qué la lista es la mitad de 1..p−1
Eso es lo que implementa este extremo: aritmética entera pura, claves JSON estables y sin depender de bibliotecas externas ni de primalidad probabilística más allá de la división de prueba determinista dentro del límite de tamaño documentado.
Contrato de entrada, límites y campos de respuesta
Envíe un único campo entero p, el módulo primo impar. Ejemplo: para p igual a siete el arreglo nonresidues es tres, cinco, seis y count es tres. Objetos vacíos, cadenas decimales y valores por encima del máximo documentado se rechazan con un mensaje en inglés que nombra el campo. Se aceptan los alias opcionales prime, modulus y mod con el mismo significado. El valor debe estar entre tres y cien mil inclusive y debe ser de hecho un primo impar; los pares, los compuestos como nueve o quince, el primo dos, los no enteros y la entrada ausente fallan la validación con invalid_input y no se cobran. En caso de éxito la carga útil incluye p, nonresidues como la lista ascendente de todo a en uno hasta p menos uno que no es cuadrado módulo p, count igual a la longitud de esa lista, residue_count igual al número de residuos cuadráticos no nulos y expected_count igual a (p menos uno) entre dos. Para un primo impar correcto, count, residue_count y expected_count coinciden con esa identidad de la mitad, lo cual es una auto-comprobación útil cuando usted consume la API desde scripts.
Dónde aparecen las listas completas de no residuos en el trabajo real
Los cursos de teoría de números proponen problemas del tipo liste todos los no residuos cuadráticos módulo diecisiete o compare tablas de residuos entre primos pequeños; una lista JSON determinista elimina errores de desfase en las rejillas hechas a mano. Como la capacidad es un motor parse puro no hay deriva de modelo, ni clave de API externa ni estado almacenado: el mismo p produce siempre el mismo arreglo nonresidues. El precio de la API es la base publicada de $0.002 por ítem exitoso; la validación fallida no consume saldo.
Preguntas técnicas
¿Cuántos no residuos hay?
Exactamente (p−1)/2. Los campos de respuesta count y expected_count reportan ese valor; residue_count también lo coincide para los residuos no nulos.