حلال x³=k
للمعادلة x³ = 8 ثلاثة حلول لا حل واحد: الجذر الحقيقي 2 والزوج العقدي -1 ± i√3. أدخلوا أي k حقيقي واحصلوا على الجذور الثلاثة لـ x³ = k بجزأيها الحقيقي والتخيلي. مجانا في متصفحكم.
- مجاني
- يعمل في متصفحك
- دون تسجيل
- بياناتك لا تغادر جهازك
شغّل الأداة مجانًا
مثال محلول
- K
- 8
- المعادلة
- x^3=8
- الجذر الحقيقي
- 2
معادلة المكعب النقية التي تنص على أن x مرفوعًا إلى القوة الثالثة يساوي k تطلب كل عدد عقدي يكون مكعبه هو الثابت الحقيقي k. يلتقي طالب الجبر أولًا بالجذر التكعيبي الحقيقي، لكن النظرية الأساسية للجبر تضمن جذرين إضافيين خارج المحور الحقيقي على هيئة زوج مترافق. يقبل هذا الحلال عددًا حقيقيًا منتهيًا واحدًا k، ويحسب الجذر التكعيبي الحقيقي الوحيد بمبدئية جذر تكعيبي تحافظ على الإشارة، ويضربه في الجذور التكعيبية الثلاثة للوحدة، ويعيد الجذر الحقيقي مع الجذرين العقديين مكتوبين بالصورة المستطيلة كجزء حقيقي وجزء تخيلي. استخدمه كلما احتجت الحلول الثلاثة لـ x³ = k دون إقامة نظام جبر حاسوبي كامل.
معنى x³ = k وكيف تنشأ الجذور التكعيبية الثلاثة
على الأعداد الحقيقية تكون الخريطة التي ترسل x إلى x مرفوعًا إلى القوة الثالثة تقابلًا تقابليًا، لذا لكل k حقيقي جذر تكعيبي حقيقي واحد بالضبط. على الأعداد العقدية تكون المعادلة التي تنص على أن x مرفوعًا إلى القوة الثالثة يساوي k مكعبًا أحاديًا ولذا تملك ثلاثة جذور مع التعدد. تلك الجذور الثلاثة هي نواتج الجذر التكعيبي الحقيقي r المساوي لجذر k التكعيبي مع الجذور التكعيبية الثلاثة للوحدة: واحد وأوميغا وأوميغا مربع، حيث تساوي أوميغا سالب نصف زائد i مضروبًا في الجذر التربيعي لثلاثة على اثنين، وأوميغا مربع هو مرافقها.
توسيع النواتج يعطي الصور المستطيلة التي يعيدها هذا الطرف: الجذر الحقيقي r بجزء تخيلي صفر، والزوج المترافق سالب r على اثنين زائد أو ناقص i مضروبًا في r مضروبًا في الجذر التربيعي لثلاثة على اثنين. عندما يكون k موجبًا يكون الجذر الحقيقي موجبًا والزوج العقدي ذو جزء حقيقي سالب؛ وعندما يكون k سالبًا يكون الجذر الحقيقي سالبًا والزوج العقدي ذو جزء حقيقي موجب؛ وعندما يكون k صفرًا تنهار الجذور الثلاثة في الأصل كجذر حقيقي ثلاثي.
ولأن البناء يستخدم فقط الجذر التكعيبي الحقيقي وعوامل جبرية ثابتة، تكون النتيجة حتمية بالكامل وخالية من قواطع الفروع التي تؤذي تطبيقات الجذر التكعيبي العقدي الرئيسي على الحقيقيات السالبة.
عقد الإدخال وشكل الاستجابة وسلوك الأخطاء
مثال: k يساوي ثمانية يعطي الجذر الحقيقي اثنين والزوج العقدي سالب واحد زائد أو ناقص i مضروبًا في الجذر التربيعي لثلاثة، لأن اثنين مرفوعًا إلى القوة الثالثة يساوي ثمانية وكل جذر عقدي كذلك. مثال: k يساوي سالب ثمانية يعطي الجذر الحقيقي سالب اثنين والزوج العقدي واحد زائد أو ناقص i مضروبًا في الجذر التربيعي لثلاثة.
اقرن الجذور العددية بخطوة تحقق خاصة بك تضرب كل عدد عقدي في نفسه مرتين إن احتجت فحصًا مستقلًا؛ هذا الطرف يحل وينسق ولا يصدر نثرًا خطوة بخطوة خارج حقل الصيغة ولا يرسم الجذور في المستوى العقدي.
متى تفيد معادلة المكعب النقية
تستخدم القاعات ومنصات التدريس حلال معادلة x مرفوعًا إلى القوة الثالثة يساوي k حتى يرى المتعلمون أن x مرفوعًا إلى القوة الثالثة يساوي ثمانية له جواب حقيقي واحد وجوابان عقديان، لا الجذر التكعيبي الحقيقي الذي تطبعه آلة جيب فحسب. تحتاج مولّدات التحضير للامتحانات وحيًا حتميًا يعيد أزواجًا مستطيلة مرتبة بدل زوايا قطبية عائمة تختلف بمقدار اثنين باي بين المحركات.
غالبًا ما تختزل دفاتر الهندسة ومعالجة الإشارات فروع الجذر التكعيبي لمعادلات مميزة أو خطوات كاردانو الوسيطة إلى الشكل النقي x مرفوعًا إلى القوة الثالثة يساوي k وتحتاج الجذرين العقديين دون استيراد مكتبة جبر حاسوبي كاملة. تستفيد مواقع المحتوى التي تتنافس على حلال معادلة المكعب أو حل x مرفوعًا إلى القوة الثالثة يساوي k من أداة حية يطابق مسارها المجاني في المتصفح مسار الأتمتة المدفوع بايتًا ببايت على الوحدة النقية ذاتها. التحقق الفاشل لا يستهلك الرصيد.
أبقِ الطلبات صغيرة، وثبّت المكوّنات المستطيلة المقربة في الاختبارات، لتحصل على جذور تكعيبية قابلة لإعادة الإنتاج للواجبات وإضافات LMS وعاملات الحافة دون إقامة بنية رياضيات رمزية خاصة بك.
حالات الاستخدام
مراجعة القاعة والواجبات
اسمح للطلاب بإرسال k لـ x³ = k والتحقق من الجذر التكعيبي الحقيقي مع كلا الجذرين العقديين المستطيلين أمام طرائق جذور الوحدة في الكتاب.
دفاتر ووسائط كاردانو
حل فروع x³ = k النقية داخل حلالات المكعب أو نماذج الإشارة دون استيراد نظام جبر حاسوبي كامل.
الأسئلة الشائعة
هل يعيد الحلال جذورًا عقدية؟
نعم. لـ k حقيقي غير صفر يوجد دائمًا جذر حقيقي واحد وجذران عقديان مترافقان. يُعاد كلاهما بحقلَي re وim.
ماذا لو كان k سالبًا؟
يُسمح بـ k السالب. الجذر التكعيبي الحقيقي سالب (Math.cbrt يحافظ على الإشارة)، وللزوج العقدي جزء حقيقي موجب −r/2 مع r < 0.
لماذا للمعادلة x³ = k ثلاثة جذور لا جذر واحد؟
لأن كل معادلة تكعيبية لها ثلاثة جذور في الأعداد العقدية. وهي الجذر التكعيبي الحقيقي لـ k مضروبا في جذور الوحدة التكعيبية الثلاثة، فيُضاف زوج عقدي مترافق إلى الحل الحقيقي.
ماذا يحدث عندما يكون k صفرا؟
تنطبق الجذور الثلاثة على 0، فيكون الصفر جذرا حقيقيا ثلاثيا. ولا يظهر زوج عقدي في هذه الحالة، لأن كل ضرب في الجذر الحقيقي 0 يعطي 0.
كيف أتحقق من الجذور العقدية؟
ارفعوا كل جذر إلى القوة الثالثة وقارنوه بـ k. في x³ = 8 يعطي كل من -1 + i√3 و-1 - i√3 القيمة 8 عند تكعيبه، تماما مثل الجذر الحقيقي 2.
أدوات ذات صلة
للمطوّرين — الوصول عبر API
كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.
الـEndpoint
صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.
استدعِ الخدمة من بيئتك
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/solve-cube-equation \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"k":8}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/solve-cube-equation", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"k": 8
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/solve-cube-equation",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"k": 8
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/solve-cube-equation", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"k":8}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"k":8}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/solve-cube-equation", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)مثال على الطلب
{
"k": 8
}مثال على الاستجابة
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.solve_cube_equation",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.
الأسعار
السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.
الأخطاء
| HTTP | الرمز | المعنى |
|---|---|---|
401 | unauthorized | مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك. |
402 | insufficient_balance | رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة. |
404 | unknown_type | نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب. |
429 | rate_limited | تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة. |
ملاحظات تقنية
يشغّل نفس الوحدة النقية أداة المتصفح المجانية ومسار API المدفوع مسبقًا، فلا تختلف مراجعة الواجبات وخطوط الإنتاج أبدًا في التقريب أو ترتيب الجذور. يفشل k غير الصالح أو المفقود بـ invalid_input ولا يُحاسب.
معنى x³ = k وكيف تنشأ الجذور التكعيبية الثلاثة
العرض المستطيل (الجزء الحقيقي والجزء التخيلي كعددين منفصلين) هو ما تتوقعه معظم واجهات API العددية وجداول البيانات ومكتبات الرسم؛ ولا يلزم المقدار القطبي والزاوية للتحقق من أن كل جذر مرفوع إلى القوة الثالثة يعود إلى k.
عقد الإدخال وشكل الاستجابة وسلوك الأخطاء
أرسل بهيئة POST جسم JSON بحقل رقمي منتهٍ إلزامي واحد اسمه k، وهو الطرف الأيمن من x مرفوعًا إلى القوة الثالثة يساوي k. قد يصل القيمة كرقم JSON أو كسلسلة رقمية؛ والحقول المفقودة والسلاسل الفارغة وNaN وInfinity تفشل بـ invalid_input مع تسمية الحقل، ولا تُحاسب تلك الإخفاقات. عند النجاح يعيد الجسم k المنظف، وسلسلة معادلة من الشكل x^3 يساوي k للعرض، وreal_root كالجذر التكعيبي الحقيقي الوحيد مقربًا إلى اثنتي عشرة خانة عشرية معنوية لأمثلة ذهبية مستقرة عبر بيئات التشغيل، وcomplex_roots كمصفوفة من كائنين لكل منهما الحقلان re وim مرتبين بحيث يأتي العضو ذو الجزء التخيلي غير السالب أولًا، وroots كالأعداد المستطيلة الثلاثة مع الجذر الحقيقي أولًا ثم الزوج العقدي، وسلسلة صيغة تعيد صياغة هوية الجذور التكعيبية للوحدة.
أين تثبت واجهة API لمعادلة المكعب النقية جدواها
ولأن التنفيذ تحليل خالص من الطبقة A، يكلف كل استدعاء ناجح السعر الأساسي المنشور $0.002 بلا رموز نموذج ولا شبكة صادرة.
حالات التكامل
تصحيح آلي للامتحانات وLMS
صحّح بنود معادلة المكعب النقية بوحي حتمي يعيد أزواج re/im مرتبة ويرفض k غير المنتهي بوصف invalid_input.
أسئلة تقنية
كيف أحل x³ = k للجذور الثلاثة كلها؟
أرسل عددًا منتهيًا k. تعيد API الجذر التكعيبي الحقيقي r = ∛k والجذرين العقديين r·ω وr·ω² بالصورة المستطيلة، حيث ω = −1/2 ± i√3/2.
ما الإدخال المرفوض؟
غياب k والسلاسل الفارغة والقيم غير العددية وNaN وInfinity تفشل بـ invalid_input ولا تُحاسب.
كم يكلف حلال معادلة المكعب النقية؟
أداة المتصفح مجانية. تستخدم طلبات API رصيد KIT المدفوع مسبقًا بسعر $0.002 لكل استدعاء ناجح؛ الإدخال غير الصالح لا يُحاسب.