ForHosting KIT · الرياضيات

حاسبة حاصل ضرب المترافقين

حاصل ضرب (3 + 4i) في مرافقه (3 − 4i) هو 25: أدخل الجزأين الحقيقي والتخيلي لتحصل على a² + b²، أي مربع مقياس العدد، وهو حقيقي دائمًا وغير سالب. مجانًا في متصفحك.

مجاني
يعمل في متصفحك
دون تسجيل
بياناتك لا تغادر جهازك

شغّل الأداة مجانًا اطّلع على الـAPI

استخدمها من الويبAPIالبريدTelegramالتطبيق قريبًا

مثال محلول

إذا أدخلت

الجزء الحقيقي: 3
الجزء التخيلي: 4

تحصل على

المرافق (الجزء الحقيقي): 3
المرافق (الجزء التخيلي): ‎-4
الناتج: 25
مربع المقياس: 25

كل عدد مركّب z مكتوب على الصورة a زائد bi له مترافق z شريط يتكوّن بعكس إشارة الجزء التخيّلي. حاصل ضرب عدد مركّب في مترافقه دائمًا عدد حقيقي غير سالب: (a زائد bi) في (a ناقص bi) يتوسّع إلى a تربيع زائد b تربيع، وهو بالضبط مربع معيار z. تدعم هذه الهوية تطبيع الفازورات وحسابات الطاقة في الدوائر وفحوصات المقدار في معالجة الإشارات وكل مقرر جبر يقدّم |z| قبل الصورة القطبية. تقبل حاسبة حاصل ضرب المترافقين المركّبين هذين المعاملين الحقيقيين المنتهيَين لمعامل مستطيل واحد، وتضرب z في z شريط مع تقريب مستقر، وتعيد الحاصل وأجزاء المترافق المنعكسة وسلاسل العرض المستطيلة وسلسلة صيغة يمكنكم عرضها بجانب الإجابة.

لماذا يساوي z مضروبًا في مترافقه مربع المعيار

العدد المركّب في الصورة المستطيلة زوج من الأعداد الحقيقية يُكتب a زائد bi، حيث a الجزء الحقيقي وb الجزء التخيّلي وi الوحدة التخيّلية ذات i تربيع يساوي سالب واحد. يُحصل على المترافق المركّب لـ z بالانعكاس عبر المحور الحقيقي: z شريط يساوي a ناقص bi. جبريًا يتوسّع الحاصل بهوية فرق المربعات: (a زائد bi) في (a ناقص bi) يساوي a تربيع ناقص (bi) تربيع.

ولأن i تربيع يساوي سالب واحد، يصبح ناقص (bi) تربيع زائد b تربيع، فينهار الحاصل كله إلى a تربيع زائد b تربيع دون جزء تخيّلي متبقٍ. هندسيًا هذه الكمية هي الطول الإقليدي المربّع للمتجه من الأصل إلى النقطة (a, b) في مستوى أرجان، ولهذا تكتب الكتب z في z شريط يساوي |z| تربيع. النتيجة دائمًا حقيقية ودائمًا أكبر من أو تساوي صفرًا؛ وتكون صفرًا فقط عندما يكون a وb كلاهما صفرًا.

لا يحوّل هذا المسار إلى صورة قطبية، ولا يعيد المعيار غير المربّع ما لم تأخذوا الجذر بأنفسكم، ولا يضرب عددين مركّبين غير مرتبطين — فقط عددًا في مترافقه. يعيد حقل formula دائمًا تأكيد الهوية حتى تضع الدروس القاعدة بجانب الإجابة العددية دون جدول محتوى منفصل.

متى يفيد ضرب العدد المركب في مرافقه

تستخدم القاعات ومنصات التدريس حاسبة حاصل ضرب المترافقين المركّبين ليتحقق المتعلمون من أن z في z شريط حقيقي ويساوي a تربيع زائد b تربيع دون أخطاء إشارة عندما يكون الجزء التخيّلي سالبًا. مولّدات الامتحانات وإضافات LMS تحتاج وحيًا حتميًا يعيد دائمًا نفس الحاصل المقرَّب لنفس الإدخالين، وهو ما يضمنه التحليل الخالص من المستوى A دون رموز نموذج أو شبكة صادرة. تستفيد مواقع المحتوى التي تُرتَّب على حاسبة حاصل ضرب المترافقين المركّبين من أداة حية يطابق مسار المتصفح المجاني فيها مسار الأتمتة المدفوع بايتًا بايتًا على الوحدة نفسها.

حالات الاستخدام

مراجعات القاعة والواجبات

اسمحوا للطلاب بإرسال الجزئين الحقيقي والتخيّلي لـ z والتحقق من أن z في المترافق يساوي a تربيع زائد b تربيع دون جزء تخيّلي متبقٍ.

التصحيح الآلي للامتحانات وLMS

صحّحوا بنود حاصل ضرب المترافق ومربع المعيار بوحي حتمي يرفض المعاملات غير المنتهية ولا يخترع خطوات وسيطة قطبية.

سكربتات قدرة ومقدار الفازور

احسبوا |z| تربيع لقدرة الدائرة أو كثافة الطاقة أو مرشحات المقدار المربّع في الأتمتة دون استيراد مكتبة جبر حاسوبي كاملة.

الأسئلة الشائعة

كيف أحسب حاصل ضرب عدد مركّب في مترافقه؟

أرسلوا رقمين منتهيَين: real (a) وimag (b) لـ z = a+bi.

هل النتيجة دائمًا حقيقية وغير سالبة؟

نعم. الحاصل z·z̄ يساوي a²+b²، وهو دائمًا عدد حقيقي أكبر من أو يساوي صفرًا. يكون صفرًا فقط عندما يكون real وimag كلاهما صفرًا.

هل تعيد المعيار |z| أم |z| تربيع فقط؟

خذوا الجذر بأنفسكم إن احتجتم الطول الإقليدي |z| غير المربّع.

ماذا يحدث إذا نقص معامل أو لم يكن رقمًا؟

الإدخال غير الصالح لا يُحاسب ولا يعيد حاصلًا جزئيًا.

فيمَ يُستخدم حاصل ضرب العدد المركب في مرافقه؟

يعطي مربع المقدار دون جذور تربيعية. ويُستخدم في تسوية المتجهات الطورية وحساب القدرة أو الطاقة في الدوائر والتحقق من مربعات المقادير في معالجة الإشارات، وكذلك في تمارين الجبر قبل الصورة القطبية.

أدوات ذات صلة

للمطوّرين — الوصول عبر API

كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.

الـEndpoint

POSThttps://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-conjugate-product

صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.

استدعِ الخدمة من بيئتك

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-conjugate-product \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"real":3,"imag":4}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-conjugate-product", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "real": 3,
    "imag": 4
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-conjugate-product",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "real": 3,
    "imag": 4
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-conjugate-product", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"real":3,"imag":4}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"real":3,"imag":4}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-conjugate-product", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

مثال على الطلب

{
  "real": 3,
  "imag": 4
}

مثال على الاستجابة

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "algebra.complex_conjugate_product",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.

الأسعار

لكل طلب$0.002

السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.

الأخطاء

HTTP	الرمز	المعنى
`401`	`unauthorized`	مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك.
`402`	`insufficient_balance`	رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة.
`404`	`unknown_type`	نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب.
`429`	`rate_limited`	تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة.

ملاحظات تقنية

يشغّل نفس وحدة التحليل الخالص أداة المتصفح المجانية ومسار API المدفوع مسبقًا، فلا تختلف مراجعة الواجبات ومصحّحات LMS الآلية وسكربتات الأتمتة في خطوة مربع المعيار التي كانت تُكتب يدويًا تحت ضغط الامتحان. المعاملات الناقصة أو غير المنتهية تفشل بـ invalid_input ولا تُحاسب.

عقد الإدخال وشكل الاستجابة والتحقق

الأعداد الحقيقية الخالصة تحذف الوحدة التخيّلية، والتخيّلية الخالصة تحذف جزءًا حقيقيًا صفريًا عند الاقتضاء، ومعاملات الوحدة تظهر كـ i أو ناقص i بدل واحد i، والعلامات المختلطة تستخدم زائدًا أو ناقصًا واحدًا بين القطعتين. اقرنوا الاستجابة برسم مستوى أرجان الخاص بكم إن احتجتم مخططًا؛ هذه القدرة تحسب حاصل الضرب في المترافق فقط. أرسلوا جسم JSON بطريقة POST برقمين منتهيَين إلزاميَين: real للجزء الحقيقي a من z، وimag للجزء التخيّلي b. قد يصل كل حقل كرقم JSON أو سلسلة رقمية؛ السلاسل الفارغة والمفاتيح الناقصة وInfinity وNaN والنص غير الرقمي تفشل بـ invalid_input مع تسمية الحقل، ولا تستهلك تلك الإخفاقات الرصيد المدفوع مسبقًا. تُطابق الأسماء البديلة الاختيارية مثل a وre وreal_part وa_real للجزء الحقيقي وb وim وimag_part وa_imag وimaginary للتخيّلي الأسماء القانونية نفسها حتى تبقى العملاء المولَّدة والسكربتات اليدوية مرنة. عند النجاح يعكس الجسم معاملات الإدخال المقرَّبة كـ real وimag، ويعيد conjugate_real وconjugate_imag (يساويان a وسالب b)، وproduct وmodulus_squared كنفس القيمة غير السالبة a تربيع زائد b تربيع مقرَّبة إلى اثنتي عشرة خانة عشرية لاستقرار الذهبية عبر بيئات التشغيل، ويوفّر سلاسل عرض z وconjugate بالصورة المستطيلة القياسية إضافة إلى product_display للنتيجة السلمية. مثال: real ثلاثة وimag أربعة يعطيان product خمسة وعشرين، سلسلة z ثلاثة زائد أربعة i، مترافق ثلاثة ناقص أربعة i، وproduct_display خمسة وعشرين.

أين تثبت واجهة API لحاصل ضرب المترافق قيمتها

غالبًا ما تحتاج دفاتر الهندسة في الدوائر ومعالجة الإشارات إلى |z| تربيع للقدرة أو كثافة الطاقة أو مرشحات المقدار المربّع قبل أخذ الجذر للمعيار نفسه؛ استدعاء API صغير يتجنّب سحب نظام جبر حاسوبي كامل لضربتين وجمع واحد. ولأن التنفيذ تحليل خالص، تكلّف كل مكالمة ناجحة السعر الأساسي المنشور $0.002. أبقوا الطلبات صغيرة، وثبّتوا product وmodulus_squared في اختبارات الانحدار، فتحصلون على نتائج مربع معيار قابلة لإعادة الإنتاج للواجبات والتقييم وعمال الحافة دون بناء بنية رياضيات رمزية خاصة بكم.

أسئلة تقنية

كم تكلفة حاسبة حاصل ضرب المترافقين المركّبين؟

أداة المتصفح مجانية. طلبات API تستخدم رصيد KIT المدفوع مسبقًا بسعر $0.002 لكل مكالمة ناجحة؛ الإدخال غير الصالح لا يُحاسب.

اطّلع على توثيق KIT الكامل ←

شغّل الأداة مجانًا