Producto de conjugados complejos
(3 + 4i) por su conjugado (3 − 4i) da 25: indique las partes real e imaginaria y obtenga a² + b², el módulo al cuadrado del número, siempre real y nunca negativo. Gratis en su navegador.
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Ejemplo resuelto
- Parte real
- 3
- Parte imaginaria
- 4
- Conjugado (parte real)
- 3
- Conjugado (parte imaginaria)
- -4
- Producto
- 25
- Módulo al cuadrado
- 25
Todo número complejo z escrito como a más bi tiene un conjugado z barra formado al invertir el signo de la parte imaginaria. El producto de un número complejo y su conjugado es siempre un escalar real no negativo: (a más bi) por (a menos bi) se desarrolla en a al cuadrado más b al cuadrado, que es exactamente el módulo al cuadrado de z. Esa identidad sostiene la normalización de fasores, el cálculo de energía en circuitos, las comprobaciones de magnitud en procesamiento de señales y todo curso de álgebra que introduce |z| antes de la forma polar. Esta calculadora del producto de conjugados complejos acepta los dos coeficientes reales finitos de un único operando rectangular, multiplica z por z barra con redondeo estable y devuelve el producto, las partes conjugadas por eco, cadenas de visualización rectangular y una cadena de fórmula que usted puede mostrar junto a la respuesta.
Por qué z por su conjugado es el módulo al cuadrado
Un número complejo en forma rectangular es un par de números reales escrito a más bi, donde a es la parte real, b es la parte imaginaria e i denota la unidad imaginaria con i al cuadrado igual a menos uno. Algebraicamente el producto se desarrolla con la identidad de diferencia de cuadrados: (a más bi) por (a menos bi) es a al cuadrado menos (bi) al cuadrado.
Como i al cuadrado es menos uno, menos (bi) al cuadrado se convierte en más b al cuadrado, de modo que el producto completo se reduce a a al cuadrado más b al cuadrado sin parte imaginaria residual. Geométricamente esa cantidad es la longitud euclídea al cuadrado del vector desde el origen hasta el punto (a, b) en el plano de Argand, por lo que los libros escriben z por z barra igual a |z| al cuadrado.
El resultado es siempre real y siempre mayor o igual que cero; es cero solo cuando a y b son ambos cero. El campo formula siempre reafirma la identidad para que los tutoriales coloquen la regla junto a la respuesta numérica sin mantener una tabla de contenido aparte.
Qué puede hacer con ella
Revisiones de aula y tareas
Permita que el alumnado envíe las partes real e imaginaria de z y verifique que z por el conjugado es a al cuadrado más b al cuadrado sin parte imaginaria residual.
Calificación automática en exámenes y LMS
Corrija ítems de producto por conjugado y módulo al cuadrado con un oráculo determinista que rechaza coeficientes no finitos y nunca inventa pasos intermedios en forma polar.
Scripts de potencia y magnitud de fasores
Calcule |z| al cuadrado para potencia de circuitos, densidad de energía o filtros de magnitud al cuadrado en automatización sin importar una biblioteca completa de álgebra computacional.
Preguntas frecuentes
¿Cómo calculo el producto de un número complejo y su conjugado?
Envíe dos números finitos: real (a) e imag (b) para z = a+bi.
¿El resultado es siempre real y no negativo?
Sí. El producto z·z̄ es a²+b², siempre un número real mayor o igual que cero. Es cero solo cuando real e imag son ambos cero.
¿Devuelve el módulo |z| o solo |z| al cuadrado?
Tome usted la raíz cuadrada si necesita la longitud euclídea |z| sin elevar al cuadrado.
¿Qué ocurre si falta un coeficiente o no es un número?
La entrada inválida no se factura y no devuelve un producto parcial.
¿Para qué sirve el producto de un complejo por su conjugado?
Da la magnitud al cuadrado sin raíces. Se usa para normalizar fasores, calcular potencia o energía en circuitos y comprobar magnitudes al cuadrado en tratamiento de señales, además de en ejercicios de álgebra previos a la forma polar.
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
Llámela desde su stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-conjugate-product \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"real":3,"imag":4}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-conjugate-product", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"real": 3,
"imag": 4
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-conjugate-product",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"real": 3,
"imag": 4
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-conjugate-product", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"real":3,"imag":4}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"real":3,"imag":4}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/complex-conjugate-product", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Ejemplo de solicitud
{
"real": 3,
"imag": 4
}Ejemplo de respuesta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.complex_conjugate_product",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
Los coeficientes ausentes o no finitos fallan con invalid_input y no se facturan.
Por qué z por su conjugado es el módulo al cuadrado
El conjugado complejo de z se obtiene reflejando respecto al eje real: z barra es a menos bi. Este endpoint no convierte a forma polar, no devuelve el módulo sin elevar al cuadrado a menos que usted tome la raíz cuadrada, y no multiplica dos números complejos no relacionados: solo un número por su propio conjugado.
Contrato de entrada, forma de la respuesta y validación
Los números puramente reales omiten la unidad imaginaria, los puramente imaginarios omiten una parte real nula cuando corresponde, los coeficientes unitarios se muestran como i o menos i en lugar de uno i, y los signos mixtos usan un único más o menos entre las piezas real e imaginaria. Combine la respuesta con su propio gráfico del plano de Argand si necesita un diagrama; esta capacidad solo calcula el producto por el conjugado. Envíe por POST un cuerpo JSON con dos números finitos obligatorios: real para la parte real a de z, e imag para la parte imaginaria b. Cada campo puede llegar como número JSON o como cadena numérica; las cadenas vacías, las claves ausentes, Infinity, NaN y el texto no numérico fallan con invalid_input nombrando el campo, y esos fallos no consumen saldo prepago. Alias opcionales como a, re, real_part, a_real para la parte real y b, im, imag_part, a_imag, imaginary para la imaginaria se asignan a los mismos nombres canónicos para que los clientes generados y los scripts escritos a mano sigan siendo flexibles. En caso de éxito, el cuerpo devuelve por eco los coeficientes de entrada redondeados como real e imag, devuelve conjugate_real y conjugate_imag (iguales a a y a menos b), product y modulus_squared como el mismo valor no negativo a al cuadrado más b al cuadrado redondeado a doce decimales para goldens estables entre entornos, y aporta cadenas de visualización z y conjugate en forma rectangular estándar más product_display para el resultado escalar. Ejemplo: real tres e imag cuatro producen product veinticinco, cadena z tres más cuatro i, conjugado tres menos cuatro i y product_display veinticinco.
Dónde rinde una API de producto por conjugado
Las aulas y las plataformas de tutoría usan una calculadora del producto de conjugados complejos para que quienes aprenden comprueben que z por z barra es real e igual a a al cuadrado más b al cuadrado sin errores de signo cuando la parte imaginaria es negativa. Los generadores de exámenes y los complementos de LMS necesitan un oráculo determinista que siempre devuelva el mismo producto redondeado para las mismas dos entradas, lo que el análisis puro de tier A garantiza sin tokens de modelo ni red saliente. Los cuadernos de ingeniería en circuitos y procesamiento de señales a menudo necesitan |z| al cuadrado para potencia, densidad de energía o filtros de magnitud al cuadrado antes de tomar la raíz para el módulo; llamar a una API diminuta evita cargar un sistema completo de álgebra computacional por dos multiplicaciones y una suma. Como la implementación es análisis puro, cada llamada exitosa cuesta el precio base publicado $0.002.
Preguntas técnicas
¿Cuánto cuesta la calculadora del producto de conjugados complejos?
La herramienta del navegador es gratuita. Las peticiones API usan saldo prepago KIT a $0.002 por llamada exitosa; la entrada inválida no se factura.