Resolutor x³=k
x³ = 8 tiene tres soluciones, no una: la raíz real 2 y el par complejo -1 ± i√3. Indique cualquier k real y obtenga las tres raíces de x³ = k con su parte real e imaginaria. Gratis en su navegador.
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Ejemplo resuelto
- K
- 8
- Ecuación
- x^3=8
- Raíz real
- 2
La ecuación cúbica pura x al cubo igual a k pide todo número complejo cuyo cubo sea la constante real k. Todo estudiante de álgebra conoce primero la raíz cúbica real, pero el teorema fundamental del álgebra garantiza dos raíces más fuera de la recta real, como par conjugado. Este resolutor acepta un único número real finito k, calcula la raíz cúbica real única con un primitivo de raíz cúbica que respeta el signo, la multiplica por las tres raíces de la unidad cúbicas y devuelve la raíz real junto con las dos raíces complejas en forma rectangular (parte real e imaginaria). Úselo cuando necesite las tres soluciones de x³ = k sin montar un sistema completo de álgebra computacional.
Qué significa x³ = k y cómo surgen las tres raíces cúbicas
Sobre los números reales, la aplicación que envía x a x al cubo es biyectiva, de modo que todo k real tiene exactamente una raíz cúbica real. Sobre los complejos, la ecuación x al cubo igual a k es un cúbico mónico y por tanto tiene tres raíces contando multiplicidad.
Esas tres raíces son los productos de la raíz cúbica real r igual a la raíz cúbica de k con las tres raíces cúbicas de la unidad: uno, omega y omega al cuadrado, donde omega es menos un medio más i por la raíz cuadrada de tres entre dos, y omega al cuadrado es su conjugado.
Cuando k es positivo la raíz real es positiva y el par complejo tiene parte real negativa; cuando k es negativo la raíz real es negativa y el par complejo tiene parte real positiva; cuando k es cero las tres raíces colapsan en el origen como raíz real triple. Como la construcción usa solo la raíz cúbica real y factores algebraicos fijos, el resultado es plenamente determinista y libre de cortes de rama que afectan a las implementaciones de la raíz cúbica compleja principal sobre reales negativos.
Dónde resultan útiles las ecuaciones cúbicas puras
Las aulas y las plataformas de tutoría usan un resolutor de la ecuación x al cubo igual a k para que quien aprende vea que x al cubo igual a ocho tiene una respuesta real y dos complejas, no solo la raíz cúbica real de una calculadora de bolsillo. Los generadores de preparación de exámenes necesitan un oráculo determinista que devuelva pares rectangulares ordenados en lugar de ángulos polares flotantes que difieren en dos pi entre motores.
Los cuadernos de ingeniería y de procesamiento de señales a menudo reducen ramas de raíz cúbica de ecuaciones características o pasos intermedios de Cardano a la forma pura x al cubo igual a k y necesitan ambas raíces complejas sin importar una biblioteca completa de álgebra computacional. La validación fallida no consume saldo. Mantenga las solicitudes pequeñas, fije los componentes rectangulares redondeados en las pruebas y obtendrá raíces cúbicas reproducibles para tareas, complementos de LMS y edge workers sin montar su propia infraestructura de matemática simbólica.
Qué puede hacer con ella
Revisiones de aula y tareas
Permita que el alumnado envíe k para x³ = k y verifique la raíz cúbica real más ambas raíces complejas rectangulares frente a los métodos de raíces de la unidad del libro de texto.
Cuadernos e intermedios de Cardano
Resuelva ramas puras x³ = k dentro de resolutores cúbicos o modelos de señal sin importar un sistema completo de álgebra computacional.
Preguntas frecuentes
¿El resolutor devuelve raíces complejas?
Sí. Para k real distinto de cero siempre hay una raíz real y dos raíces complejas conjugadas. Ambas se devuelven con campos re e im.
¿Qué ocurre si k es negativo?
Se admite k negativo. La raíz cúbica real es negativa (Math.cbrt conserva el signo) y el par complejo tiene parte real positiva −r/2 con r < 0.
¿Por qué x³ = k tiene tres raíces y no una?
En los números complejos toda ecuación cúbica tiene tres raíces. Son la raíz cúbica real de k multiplicada por las tres raíces cúbicas de la unidad, lo que añade un par complejo conjugado.
¿Qué pasa cuando k es cero?
Las tres raíces se reducen a 0, así que cero es una raíz real triple. En ese caso no hay par complejo, porque cualquier producto por la raíz real 0 también es 0.
¿Cómo compruebo las raíces complejas?
Eleve cada raíz al cubo y compárela con k. Para x³ = 8, las raíces -1 + i√3 y -1 - i√3 dan 8 al elevarlas al cubo, igual que la raíz real 2.
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
Llámela desde su stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/solve-cube-equation \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"k":8}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/solve-cube-equation", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"k": 8
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/solve-cube-equation",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"k": 8
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/solve-cube-equation", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"k":8}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"k":8}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/solve-cube-equation", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Ejemplo de solicitud
{
"k": 8
}Ejemplo de respuesta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.solve_cube_equation",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
Un k inválido o ausente falla con invalid_input y no se factura.
Qué significa x³ = k y cómo surgen las tres raíces cúbicas
Al expandir los productos se obtienen las formas rectangulares que devuelve este endpoint: la raíz real r con parte imaginaria cero, y el par conjugado menos r entre dos más o menos i por r por la raíz cuadrada de tres entre dos. La presentación rectangular (parte real e imaginaria como números separados) es lo que esperan la mayoría de las API numéricas, hojas de cálculo y bibliotecas de trazado; la magnitud polar y el argumento no son necesarios para comprobar que cada raíz elevada al cubo vuelve a k.
Contrato de entrada, forma de la respuesta y comportamiento ante errores
Ejemplo: k igual a ocho produce la raíz real dos y el par complejo menos uno más o menos i por la raíz cuadrada de tres, porque dos al cubo es ocho y cada raíz compleja también eleva al cubo a ocho. Ejemplo: k igual a menos ocho produce la raíz real menos dos y el par complejo uno más o menos i por la raíz cuadrada de tres. Envíe por POST un cuerpo JSON con un único campo numérico finito obligatorio llamado k, el lado derecho de x al cubo igual a k. El valor puede llegar como número JSON o como cadena numérica; los campos ausentes, las cadenas vacías, NaN e Infinity fallan con invalid_input nombrando el campo, y esos fallos no se facturan. En caso de éxito el cuerpo devuelve el k limpio, una cadena de ecuación de la forma x^3 igual a k para mostrar, real_root como la raíz cúbica real única redondeada a doce cifras significativas decimales para valores de referencia estables entre entornos, complex_roots como un arreglo de dos objetos con campos re e im ordenados de modo que el miembro con parte imaginaria no negativa vaya primero, roots como los tres números rectangulares con la raíz real primero y luego el par complejo, y una cadena de fórmula que reexpresa la identidad de las raíces cúbicas de la unidad. Combine las raíces numéricas con su propio paso de verificación que multiplique cada complejo por sí mismo dos veces si necesita una comprobación independiente; este endpoint resuelve y formatea, no emite prosa paso a paso más allá del campo de fórmula ni traza las raíces en el plano complejo.
Dónde rinde una API de ecuación cúbica pura
Como la implementación es análisis puro de tier A, cada llamada exitosa cuesta el precio base publicado de $0.002 sin tokens de modelo ni red saliente.
Casos de integración
Calificación automática en exámenes y LMS
Corrija ítems de ecuación cúbica pura con un oráculo determinista que devuelve pares re/im ordenados y rechaza k no finito como invalid_input.
Preguntas técnicas
¿Cómo resuelvo x³ = k para las tres raíces?
Envíe un número finito k. La API devuelve la raíz cúbica real r = ∛k y las dos raíces complejas r·ω y r·ω² en forma rectangular, donde ω = −1/2 ± i√3/2.
¿Qué entrada se rechaza?
La ausencia de k, las cadenas vacías, los valores no numéricos, NaN e Infinity fallan con invalid_input y no se facturan.
¿Cuánto cuesta el resolutor de la ecuación cúbica pura?
La herramienta del navegador es gratuita. Las solicitudes a la API usan saldo prepago de KIT a $0.002 por llamada exitosa; la entrada inválida no se factura.