Risolutore x³=k
x³ = 8 ha tre soluzioni, non una: la radice reale 2 e la coppia complessa -1 ± i√3. Inserisca un k reale e ottenga le tre radici di x³ = k con parte reale e immaginaria. Gratis nel suo browser.
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Esempio risolto
- K
- 8
- Equazione
- x^3=8
- Radice reale
- 2
L'equazione cubica pura x al cubo uguale a k chiede ogni numero complesso il cui cubo sia la costante reale k. Ogni studente di algebra incontra prima la radice cubica reale, ma il teorema fondamentale dell'algebra garantisce altre due radici fuori dalla retta reale, come coppia coniugata. Questo risolutore accetta un unico numero reale finito k, calcola l'unica radice cubica reale con un primitivo di radice cubica che rispetta il segno, la moltiplica per le tre radici cubiche dell'unità e restituisce la radice reale insieme alle due radici complesse in forma rettangolare (parte reale e immaginaria). Lo usi ogni volta che Le servono tutte e tre le soluzioni di x³ = k senza montare un sistema completo di algebra computazionale.
Cosa significa x³ = k e come nascono le tre radici cubiche
Sui numeri reali l'applicazione che manda x in x al cubo è biiettiva, quindi ogni k reale ha esattamente una radice cubica reale. Sui complessi l'equazione x al cubo uguale a k è un cubico monico e ha quindi tre radici contando la molteplicità.
Quelle tre radici sono i prodotti della radice cubica reale r uguale alla radice cubica di k con le tre radici cubiche dell'unità: uno, omega e omega al quadrato, dove omega vale meno un mezzo più i volte la radice quadrata di tre su due, e omega al quadrato è il suo coniugato.
Quando k è positivo la radice reale è positiva e la coppia complessa ha parte reale negativa; quando k è negativo la radice reale è negativa e la coppia complessa ha parte reale positiva; quando k è zero le tre radici collassano nell'origine come radice reale tripla. Poiché la costruzione usa solo la radice cubica reale e fattori algebrici fissi, il risultato è pienamente deterministico e privo dei tagli di ramo che affliggono le implementazioni della radice cubica complessa principale sui reali negativi.
Dove le equazioni cubiche pure sono utili
Le aule e le piattaforme di tutoraggio usano un risolutore dell'equazione x al cubo uguale a k affinché chi impara veda che x al cubo uguale a otto ha una risposta reale e due complesse, non solo la radice cubica reale di una calcolatrice tascabile. I generatori di preparazione agli esami necessitano di un oracolo deterministico che restituisca coppie rettangolari ordinate invece di angoli polari flottanti che differiscono di due pi tra motori.
I notebook di ingegneria e di elaborazione del segnale spesso riducono rami di radice cubica di equazioni caratteristiche o passi intermedi di Cardano alla forma pura x al cubo uguale a k e hanno bisogno di entrambe le radici complesse senza importare una libreria completa di algebra computazionale. La validazione fallita non consuma saldo. Mantenga le richieste piccole, fissi i componenti rettangolari arrotondati nei test e otterrà radici cubiche riproducibili per i compiti, i plugin LMS e gli edge worker senza montare una propria infrastruttura di matematica simbolica.
Casi d'uso
Controlli in aula e sui compiti
Consenta agli studenti di inviare k per x³ = k e di verificare la radice cubica reale più entrambe le radici complesse rettangolari rispetto ai metodi delle radici dell'unità del libro di testo.
Notebook e intermedi di Cardano
Risolva rami puri x³ = k dentro risoltori cubici o modelli di segnale senza importare un sistema completo di algebra computazionale.
Domande frequenti
Il risolutore restituisce radici complesse?
Sì. Per k reale diverso da zero c'è sempre una radice reale e due radici complesse coniugate. Entrambe sono restituite con i campi re e im.
Cosa succede se k è negativo?
k negativo è ammesso. La radice cubica reale è negativa (Math.cbrt preserva il segno) e la coppia complessa ha parte reale positiva −r/2 con r < 0.
Perché x³ = k ha tre radici e non una?
Nei numeri complessi ogni equazione di terzo grado ha tre radici. Sono la radice cubica reale di k moltiplicata per le tre radici cubiche dell’unità, il che aggiunge una coppia complessa coniugata.
Cosa succede quando k è zero?
Le tre radici coincidono in 0, quindi zero è una radice reale tripla. In questo caso non c’è coppia complessa, perché ogni prodotto per la radice reale 0 vale anch’esso 0.
Come verifico le radici complesse?
Elevi ogni radice al cubo e la confronti con k. Per x³ = 8, le radici -1 + i√3 e -1 - i√3 danno 8 una volta elevate al cubo, come la radice reale 2.
Strumenti correlati
Per sviluppatori — accesso via API
Tutto quello che vedi in questa pagina è disponibile anche via API. Questa sezione è per i team che vogliono integrarlo nei propri sistemi; chi non ne ha bisogno può semplicemente usare lo strumento qui sopra.
Endpoint
Autenticazione con Bearer token: un POST mette in coda l'attività e il risultato arriva via webhook o link firmato.
Chiamala dal tuo stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/solve-cube-equation \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"k":8}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/solve-cube-equation", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"k": 8
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/solve-cube-equation",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"k": 8
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/solve-cube-equation", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"k":8}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"k":8}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/solve-cube-equation", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Esempio di richiesta
{
"k": 8
}Esempio di risposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.solve_cube_equation",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L'API è asincrona: ricevi subito un task_id e puoi fare polling fino a 1 richiesta al secondo.
Prezzi
Prezzo pubblicato, senza token né crediti. Se l'attività fallisce, non paghi.
Errori
| HTTP | Codice | Significato |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Chiave API mancante o non valida: controlla l'header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Credito esaurito: ricarica per continuare a eseguire attività. |
404 | unknown_type | Tipo di attività sconosciuto: controlla il campo type della richiesta. |
429 | rate_limited | Troppe richieste in poco tempo: rallenta e riprova tra qualche secondo. |
Note tecniche
Un k non valido o assente fallisce con invalid_input e non viene addebitato.
Cosa significa x³ = k e come nascono le tre radici cubiche
Sviluppando i prodotti si ottengono le forme rettangolari restituite da questo endpoint: la radice reale r con parte immaginaria zero, e la coppia coniugata meno r su due più o meno i volte r volte la radice quadrata di tre su due. La presentazione rettangolare (parte reale e immaginaria come numeri separati) è ciò che si aspettano la maggior parte delle API numeriche, dei fogli di calcolo e delle librerie di tracciamento; magnitudine polare e argomento non sono necessari per verificare che ogni radice elevata al cubo torni a k.
Contratto di ingresso, forma della risposta e comportamento in errore
Esempio: k uguale a otto produce la radice reale due e la coppia complessa meno uno più o meno i volte la radice quadrata di tre, perché due al cubo è otto e ogni radice complessa elevata al cubo dà pure otto. Esempio: k uguale a meno otto produce la radice reale meno due e la coppia complessa uno più o meno i volte la radice quadrata di tre. Invii con POST un corpo JSON con un solo campo numerico finito obbligatorio chiamato k, il secondo membro di x al cubo uguale a k. Il valore può arrivare come numero JSON o come stringa numerica; campi assenti, stringhe vuote, NaN e Infinity falliscono con invalid_input indicando il campo, e tali fallimenti non vengono addebitati. In caso di successo il corpo restituisce il k ripulito, una stringa di equazione della forma x^3 uguale a k per la visualizzazione, real_root come l'unica radice cubica reale arrotondata a dodici cifre significative decimali per goldens stabili tra runtime, complex_roots come un array di due oggetti con campi re e im ordinati in modo che il membro con parte immaginaria non negativa venga prima, roots come i tre numeri rettangolari con la radice reale per prima e poi la coppia complessa, e una stringa di formula che riformula l'identità delle radici cubiche dell'unità. Abbini le radici numeriche al Suo passo di verifica che moltiplichi ogni complesso per se stesso due volte se Le serve un controllo indipendente; questo endpoint risolve e formatta, non emette prosa passo-passo oltre al campo formula né traccia le radici nel piano complesso.
Dove un'API di equazione cubica pura conviene
Poiché l'implementazione è analisi pura di tier A, ogni chiamata andata a buon fine costa il prezzo base pubblicato di $0.002 senza token di modello né rete in uscita.
Casi di integrazione
Valutazione automatica di esami e LMS
Corregga le voci di equazione cubica pura con un oracolo deterministico che restituisce coppie re/im ordinate e rifiuta un k non finito come invalid_input.
Domande tecniche
Come si risolve x³ = k per tutte e tre le radici?
Invii un numero finito k. L'API restituisce la radice cubica reale r = ∛k e le due radici complesse r·ω e r·ω² in forma rettangolare, dove ω = −1/2 ± i√3/2.
Quale ingresso viene rifiutato?
L'assenza di k, le stringhe vuote, i valori non numerici, NaN e Infinity falliscono con invalid_input e non vengono addebitati.
Quanto costa il risolutore dell'equazione cubica pura?
Lo strumento del browser è gratuito. Le richieste API usano il saldo prepagato KIT a $0.002 per chiamata riuscita; l'ingresso non valido non viene addebitato.