Forma polare di un numero complesso

Un numero complesso scritto in forma rettangolare come a più bi è una coppia di coefficienti reali, ma lo stesso numero può essere riscritto come una lunghezza e un angolo orientato. Quella riscrittura è la forma polare di un numero complesso: la magnitudine è il modulo, la distanza euclidea dall'origine nel piano di Argand, e l'angolo è l'argomento principale in radianti, misurato dal semiasse reale positivo. Moltiplicazione, divisione, potenze intere e radici si riducono a prodotti e somme di quei due scalari, ed è per questo che ogni corso di algebra e ogni quaderno di fasori finisce per chiedere la forma polare di a più bi. Questa calcolatrice di forma polare accetta le due parti reale e immaginaria finite di un solo operando rettangolare, calcola la magnitudine con un'ipotenusa numericamente stabile e ottiene l'argomento con un'arcotangente a due argomenti così che l'angolo cada nel quadrante corretto.

Che cosa registra la forma polare: modulo, argomento e identità cis

Un numero complesso in forma rettangolare è la coppia a più bi, dove a è la parte reale, b è la parte immaginaria e i è l'unità immaginaria con i al quadrato uguale a meno uno. Rappresentare quella coppia come un punto nel piano di Argand rende ovvia la riscrittura polare: la magnitudine r è la lunghezza del segmento dall'origine al punto, e l'angolo theta è la rotazione orientata dal semiasse reale positivo fino a quel segmento.

Quando r e theta sono noti, l'identità di Eulero scrive lo stesso numero come r per e elevato a i theta, e la forma trigonometrica lo scrive come r per la quantità coseno di theta più i seno di theta, spesso abbreviata r cis theta. I fogli di ingegneria stampano anche il fasore compatto r angolo theta. Tutte quelle stringhe descrivono un solo numero; cambia solo la notazione.

Parte reale nulla o parte immaginaria nulla sono ammesse: un numero puramente reale ha argomento zero oppure più o meno pi, e uno puramente immaginario ha argomento più o meno pi mezzi. L'origine zero più zero i è una coppia finita, quindi questa calcolatrice restituisce magnitudine zero e angolo zero invece di inventare un fallimento di argomento indefinito che il contratto non promette.

Il campo formula riafferma sempre l'identità magnitudine uguale a hypot di real e imag, argomento uguale a atan2 di imag e real, così un tutorial può mostrare la regola accanto alla risposta numerica senza tenere una seconda tabella di contenuti.

Contratto di ingresso, forma della risposta e convalida

In caso di successo, il corpo riecheggia i due coefficienti di ingresso arrotondati, restituisce magnitude e angle come numeri arrotondati a dodici decimali per goldens stabili tra ambienti, e fornisce tre stringhe di visualizzazione: rectangular per la forma originale a più bi, polar per il fasore compatto r angolo theta, e cis per lo sviluppo trigonometrico r per coseno più i seno.

Esempio: real tre e imag quattro producono magnitude cinque e angle atan2 di quattro e tre, circa zero virgola nove due sette radianti, con stringa polar cinque angolo quello stesso argomento. L'angolo è sempre in radianti, mai in gradi, perché la forma polare di un numero complesso in analisi e nella maggior parte delle librerie di programmazione si definisce sulla retta reale modulo due pi, non su un cerchio di trecentosessanta gradi.

Abbini la risposta al proprio grafico del piano di Argand se serve un diagramma; questa capacità converte soltanto un operando rettangolare in forma polare e non moltiplica, non divide né eleva il risultato a una potenza.

Dove la forma polare semplifica i calcoli

Aule e piattaforme di tutoraggio usano una calcolatrice della forma polare di un numero complesso perché chi impara verifichi il modulo e l'argomento principale senza invertire il quadrante quando a è negativo. I generatori di esami e i plugin LMS hanno bisogno di un oracolo deterministico che restituisca sempre lo stesso modulo e lo stesso angolo arrotondati per gli stessi due coefficienti, cosa che il parse puro di tier A garantisce senza token di modello né rete in uscita.

Gli script di elaborazione del segnale e di controllo spesso memorizzano campioni a più bi e necessitano del modulo per l'energia e dell'argomento per srotolare la fase più avanti nella pipeline. La convalida fallita non consuma saldo. Tenga le richieste piccole, fissi magnitude e angle nei test e otterrà forma polare riproducibile per compiti, valutazione e edge workers senza montare una propria infrastruttura di matematica simbolica.