Convertitore da numero complesso a forma polare
Descriva un numero complesso con distanza e direzione invece che con coordinate: 3 + 4i ha modulo 5, e 2i punta in alto a 90°, con l'angolo anche in radianti. Sotto l'asse reale l'angolo risulta negativo. Gratis nel suo browser.
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Esempio risolto
- Parte reale
- 1
- Parte immaginaria
- 1
- Modulo
- 1,4142135624
- Angolo (rad)
- 0,7853981634
- Angolo (gradi)
- 45
Il convertitore da numero complesso a forma polare accetta un numero complesso dato dalla sua parte reale e dalla sua parte immaginaria e ne restituisce la forma polare: il modulo, cioè la distanza dall'origine nel piano complesso, e l'angolo (o argomento) misurato in senso antiorario dall'asse reale positivo, riportato sia in radianti sia in gradi. L'angolo è calcolato con l'arcotangente a due argomenti, quindi cade sempre nel quadrante corretto, e una parte immaginaria negativa produce un angolo negativo. Entrambe le parti devono essere numeri finiti; qualsiasi altro valore viene rifiutato con un chiaro errore di validazione.
Da a + bi a modulo e angolo
Un numero complesso scritto come a + bi individua un punto nel piano complesso: la parte reale a misura quanto è spostato lungo l'asse orizzontale, la parte immaginaria b quanto in alto o in basso. La forma polare descrive lo stesso numero tramite una distanza e una direzione. La distanza è il modulo, spesso indicato con r o |z|, calcolato come ipotenusa del triangolo rettangolo formato dalle due parti, quindi 3 + 4i ha modulo esattamente 5.
La direzione è l'angolo, spesso indicato con theta o arg(z), misurato in senso antiorario dall'asse reale positivo, quindi un numero puramente immaginario come 2i si trova a π/2 radianti, cioè 90 gradi.
Inviando le due parti a questo convertitore da numero complesso a forma polare si ottengono modulo e angolo in una sola chiamata, e una volta noti si può scrivere il numero come r(cos theta + i sin theta) o, in forma compatta, come r per e elevato a i theta, la forma che rende semplici moltiplicazioni, divisioni, potenze e radici dei numeri complessi.
Poiché il modulo deriva da un calcolo di ipotenusa e non da una radice quadrata ingenua della somma dei quadrati, il risultato evita l'overflow anche quando le parti sono numeri finiti molto grandi.
Perché l'angolo usa atan2 ed è espresso in due unità
Una semplice arcotangente della parte immaginaria divisa per quella reale non può distinguere un numero nel primo quadrante da uno nel terzo, perché il rapporto è identico, e fallisce del tutto quando la parte reale è zero. L'arcotangente a due argomenti, atan2, esamina i segni di entrambe le parti, quindi l'angolo punta sempre nel quadrante corretto ed è definito per ogni input tranne lo zero esatto.
Il risultato si trova nell'intervallo da −π a π radianti: gli angoli positivi indicano che il numero è sopra l'asse reale, quelli negativi che è sotto, π esatto indica l'asse reale negativo e zero l'asse reale positivo.
Questo convertitore riporta l'angolo due volte, in radianti e in gradi, perché utenti diversi vogliono unità diverse: i radianti alimentano direttamente le funzioni trigonometriche ed esponenziali di ogni linguaggio di programmazione e la formula di Eulero, mentre i gradi sono ciò che la maggior parte delle persone legge nei compiti, nei libri di testo e nelle specifiche ingegneristiche.
Calcolare entrambi in una sola chiamata fa risparmiare un passaggio di conversione e un'ambiguità di arrotondamento, ed entrambi i valori sono arrotondati a dodici cifre decimali, così i risultati sono identici byte per byte su macchine e motori JavaScript diversi.
Validazione, determinismo e ambiti d'impiego
Ogni parte deve essere un numero finito. Il numero complesso zero è un caso speciale deliberato: il suo modulo è zero e il suo angolo è matematicamente indefinito, quindi il convertitore restituisce per convenzione un angolo di zero in entrambe le unità anziché fallire, mantenendo le pipeline totali e prevedibili e documentando la scelta.
Il calcolo è una manciata di operazioni in virgola mobile senza accesso alla rete, senza casualità e senza orologio, quindi lo stesso input produce sempre un output identico byte per byte, proprietà che gli esempi di riferimento pubblicati verificano a ogni modifica. Gli utilizzatori tipici sono strumenti di elettrotecnica che convertono l'impedenza tra forma rettangolare e fasoriale, codice di elaborazione dei segnali che passa tra rappresentazioni cartesiane e modulo-fase, sistemi di controllo che eseguono l'analisi della risposta in frequenza e studenti che verificano i compiti sull'aritmetica complessa.
Casi d'uso
Elettrotecnica e fasori
Converta un'impedenza data come resistenza più reattanza (R + jX) in modulo e angolo di fase in gradi per l'analisi dei circuiti in corrente alternata.
Elaborazione dei segnali
Porti un bin complesso della FFT o un coefficiente di filtro dalla forma reale/immaginaria a modulo e fase in radianti per l'analisi spettrale.
Compiti di matematica e didattica
Verifichi la forma polare di un numero complesso prima di applicare il teorema di De Moivre per potenze e radici, con l'angolo mostrato in entrambe le unità.
Domande frequenti
Quanto costa?
La stessa conversione è gratuita nel browser su questa pagina.
Cosa viene restituito esattamente?
Il modulo (distanza dall'origine), l'angolo in radianti in (−π, π], lo stesso angolo in gradi in (−180, 180] e le parti reale e immaginaria riproposte.
Perché sia radianti sia gradi?
I radianti alimentano direttamente le funzioni trigonometriche, gli esponenziali e la formula di Eulero; i gradi sono ciò che la maggior parte delle persone legge nei libri e nei documenti tecnici. Una sola chiamata restituisce entrambi, senza conversioni da parte Sua.
Cosa succede con 0 + 0i?
Il modulo è 0 e l'angolo è matematicamente indefinito, quindi il convertitore restituisce per convenzione un angolo di 0 in entrambe le unità anziché fallire.
Quali input vengono rifiutati?
Tutto ciò che non è un numero finito: campi mancanti, null, booleani, array, stringhe vuote o non numeriche, NaN e Infinity. Le stringhe numeriche come "3.5" sono accettate.
L'angolo è sempre nel quadrante corretto?
Sì. È calcolato con l'arcotangente a due argomenti atan2(imag, real), che usa i segni di entrambe le parti per collocare l'angolo nel quadrante giusto.
Strumenti correlati
Per sviluppatori — accesso via API
Tutto quello che vedi in questa pagina è disponibile anche via API. Questa sezione è per i team che vogliono integrarlo nei propri sistemi; chi non ne ha bisogno può semplicemente usare lo strumento qui sopra.
Endpoint
Autenticazione con Bearer token: un POST mette in coda l'attività e il risultato arriva via webhook o link firmato.
Chiamala dal tuo stack
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-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"real":1,"imag":1}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/complex-number-to-polar-form", {
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headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
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"real": 1,
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const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/complex-number-to-polar-form",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"real": 1,
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task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/complex-number-to-polar-form", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"real":1,"imag":1}',
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]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"real":1,"imag":1}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/complex-number-to-polar-form", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Esempio di richiesta
{
"real": 1,
"imag": 1
}Esempio di risposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.complex_number_to_polar_form",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L'API è asincrona: ricevi subito un task_id e puoi fare polling fino a 1 richiesta al secondo.
Prezzi
Prezzo pubblicato, senza token né crediti. Se l'attività fallisce, non paghi.
Errori
| HTTP | Codice | Significato |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Chiave API mancante o non valida: controlla l'header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Credito esaurito: ricarica per continuare a eseguire attività. |
404 | unknown_type | Tipo di attività sconosciuto: controlla il campo type della richiesta. |
429 | rate_limited | Troppe richieste in poco tempo: rallenta e riprova tra qualche secondo. |
Note tecniche
La stessa conversione è gratuita nel browser su questa pagina, e il medesimo codice alimenta l'API a pagamento a $0.002 a richiesta.
Validazione, determinismo e ambiti d'impiego
L'endpoint accetta numeri JSON e stringhe numeriche come "3.5" o "-2", comodo quando i valori arrivano da campi di moduli web, ma rifiuta null, stringhe vuote, booleani, array, il testo NaN e qualsiasi valore infinito, rispondendo con un errore di input non valido che nomina il campo incriminato invece di produrre silenziosamente un angolo privo di senso. Viene eseguito sull'edge in millisecondi, non conserva nulla dopo la risposta e costa $0.002 a richiesta tramite l'API, restando gratuito nell'uso interattivo dal browser.